книги / Методы принятия технических решений

182 Глава 12

курирующие цели. Рассмотрение нейтральных или кооператив­ ных целей не представляет особых трудностей, так что пробле­ мы, ориентированные на множество целей, прежде всего долж­ ны быть рассмотрены в части конкурирующих целей, коль скоро все они вместе не могут быть выражены одномерным парамет­ ром.,’Чаще всего это выглядит так, что каждый раз последова­ тельно считают переменной одну из целей и оптимизируют ее, а остальные цели рассматриваются как ограничения.'Это весьма рациональный метод, в процессе которого одна задача сводится к другой, ориентированной на единственную цель. В общем случае сильные ограничения сужают пространство оптимиза­ ции в большей или меньшей степени произвольно. Это нередко может привести к такой ситуации, когда оптимум достигнут не будет и оптимальный вариант решения найти не удается.

(Если отдельные цели удается расположить в определенном иерархическом порядке и благодаря разному весу целей этот порядок ярко выражен, то можно выбрать лексикографический метод решения. На первом этапе определяют множество вари­ антов решения, которые удовлетворяют цели наивысшего ранга. При определенных условиях здесь может быть предварительно задана область равноценных применительно к желаемой цели решений. Сформированное таким образом множество решений на втором этапе ограничивается дальше, так же, как на первом, но уже применительно к следующей по важности цели в ряду приоритетов, и этот процесс продолжается, пока не останется один вариант решения. Если не удается прийти к единственно­ му решению, то из нескольких оставшихся приходится делать субъективный выбор. Поскольку это становится необходимым только по отношению к целям низшего ранга, нежелательное влияние такого субъективного вмешательства обычно достаточ­ но ограничено. Описанный метод прост и его широко практику­ ют при решении технических задач [30], Оптимальность здесь не гарантируется. Хотя обычно нельзя категорически указать или однозначно назвать одну доминирующую цель из множест­ ва данных, выстраивание целей по ранжиру по существу зара­ нее предполагает наличие некоторой метацели.

Описываемый ниже путь исходит из наличия такой домини­ рующей цели; при этом различие в размерности обходят путем нормирования. В качестве метацелей рассматриваются макси­ мизация, минимизация или оптимизация в направлении дости­ жения нормированных частных целей оценочной функции рас­ сматриваемой задачи.

В заключение затронуты математические концепции полиоп­ тимизации и теория нечетких множеств в порядке подготовки к более подробному рассмотрению решений, ориентированных на множество целей.

Многоцелевые решения

183

12.2. Реализация целей

Если необходимо принять решение, имея в виду К конкури­ рующих целей, то на основе оценки К получают матрицу реше­ ний ||е»/А||, k —\, .. . , К, где ецк — полезность при состоянии

исходных данных F/ и варианте решения Ei применительно к цели Zk■ Каждая из К (двумерных) матриц определяется по известным оценочным функциям. В результате для каждой мат­ рицы Це/iJI при определенном k получают матрицу решений

Еок. При этом часть вариантов решения выделяется для опти­

мизации. Уже это часто позволяет прояснить ситуацию с выбо­ ром решения. В частности, множество

Ео — U Еок к—1

может состоять из единственного варианта, и в этом случае за­ дача решается однозначно. Если множество вариантов решения существенно ограничено, то оптимальный вариант может быть выбран субъективно.

Если не удается прийти к определенному решению уже на этой стадии, то следует сначала пронормировать реализацию цели, например, следующим образом:

гиг—{Zik — min Zift)/(max Zm — min Zm),			(12.1)
i	i	t
где Zik — k-e значение цели варианта Eiy		пн — степень	реализа­
ции k-й цели t'-ro варианта.
Во многих встречающихся на практике случаях не удается
определить min Zlk и (или)	max Zik. Тогда приходится		идти по
i	i

другому пути нормирования. Если не удается определить min Z,*,

то можно пронормировать rik следующим образом:	i
rik = Ziklmax Ziky	( 12.2)
i
а если нельзя определить т а xZt*, то, соответственно,
i
rik^ZiklminZik.	(12.3)
t

Если же неизвестны оба экстремальных значения, то удовлет­ ворительный результат дает нормировка относительно прини­ маемой за базовую величины Z^:

rik= Z ikIZhk.

(12.4)

184

Глава 12

При нормировке по формуле (12.4) предполагается, что су­ ществует приемлемое решение, которое может рассматриваться как достаточное н использоваться в качестве базового.

При субъективно устанавливаемых весах целей g* удается получаемую двумерную матрицу ||rv*|| преобразовать в один вектор. Компоненты этого вектора определяются аддитивным сочетанием взвешенных степеней реализации:

ri = 4 - ( 2

(12.5)

Вектор Гг теперь можно вновь интерпретировать как матри­ цу решений и соответствующим образом оценивать.

Здесь нужно особо упомянуть доминирующий на практике случай, когда цели связаны дизъюнктивно (т. е. по принципу ИЛИ). Таким образом связаны цели, которые можно сравнить друг с другом, так что меньшая степень реализации одной цели может быть скомпенсирована лучшим исполнением другой. На­ оборот, для конъюнктивно (т. е. по принципу И) связанных це­ лей характерно положение, когда невыполнение одной частной цели ведет к тому, что не достигается итоговая цель.

Часто из-за низкой точности интуитивной оценки веса целей дальнейшее рассмотрение теряет смысл.

Конъюнктивная связь целей приводит, например, в частном случае к соотношению

n={mmrikgk).		(12.6)
	k
При смешанной связи {Z\\JZi\JZ%)f\Zn получают,		например,
i’ll = min	(гл+Г/г+^з); Гм j •

Примером нелинейного взвешивания является

r« = 1 — [1 — lZik— min Ztk)/(max Zik— min Zik)Ylek.
i	t	i

(12.7)

Однако прежде чем предпринимать усилия в этом направлении, следует здраво оценить, не ведут ли к цели более рациональ­ ным путем другие теоретические предпосылки.

12.3.Выбор внутри эффективных множеств

Вразд. 11.3 и на рис. 11.2 уже упоминались эффективные множества, которые называются также множествами Парето или компромиссными. Полиоптимизация [16] ставит задачу

Многоцелевые решения

185

найти множество решений, заданных таким эффективным мно­ жеством. При этом нужно избежать принятия преждевремен­ ного поспешного компромисса, исходящего из решения, не при­ надлежащего эффективному множеству, чтобы не упустить тем самым оптимального варианта.

Решение Уi предпочитается решению У2> что символически записывается У[)>У2, когда эти решения обладают свойствами

2Л(У1)> 2Л(У2) при k = l ,

и по меньшей мере для одного k0 справедливо соотношение

3£0 :zk(i (Yi)>~zko (У2),

где zk — k-я целевая функция, a k — текущий индекс.

Из всех таких решений Ур и составляется эффективное мно­ жество:

{Ур} = {У1е У | зУ 1е У :У ,> У /}.

Внутри этого множества следует искать компромисс другими вспомогательными средствами, поскольку множество эффектив­ ных решений в рамках теории полиоптимизации нельзя еще более упорядочить.

Если имеются другие возможности для упорядочения, то следует посмотреть, что рациональнее — применить их сразу к множеству всех возможных решений {У} или сделать проме­ жуточный шаг к эффективному множеству. Одно из таких вспомогательных средств для дальнейшего упорядочения пред­ ставляет приведенная в разд. 13.3 теория нечетких множеств [18].

Целевая функция

z=f(Xi) при i= l, .. . ,n ,

где Xi — дискретное множество реализаций параметра х, х-^Х% перекрывается характеристической функцией (разд. 13.3)

В результате возникает нечеткое множество

Z={z(Xi), ц(г(л:г))|У(хге=Х, Д i= 1,

п)},

(12.8)

где z(xi)—дискретная реализация целевой функции, ц(г(л:,))— характеристическая функция, X — вектор возможных реали­ заций.

186	Глава 12

а

V Л

Z Z Z

Б

v Z

Рис. 12.1. Двусторонние (а) и односторонние (б) ограниченные характеристи­

ческие функции.

r 1 при z < £ при z<&

а) иг— |	при *<zs£z	б)
г — е
. О	при Z > 2	а, Ь>О

Такие характеристические функции устанавливаются веду­

щим обработку субъективно. Пример				двух	употребительных
функций показан на рис. 12.1.
Если существует множество целей
zk	при	k=\
то при введении соответствующей			функции		|л*. fe = 1........ К,
получается К нечетких множеств
Zk={zk(Xi), р* (г* (*,))\ х ^ Х ,				i = l ,	. . . . /г).
Оптимизация с помощью	целевой		функции		может принять
форму
2опт —	V	т	Zj (X/)
		/ \
х , € Х		/= 1
	1=1, .... П.
Для связи целей используются операторы
Л : £		[шах]

V : П [min]

Многоцелевые решения

187

Выбор их в значительной мере произволен.		Приведем вы­
бранные наугад две возможности:
2опт = max min Zf(Xi),		(12.10)
t	/
	п m
2о„т= —	y U Z j i X i ) .	(12.11)

n Я /

Расчет, особенно в случае линейных характеристических функ­ ций, очень прост. В трудно обозримых случаях при выборе ре­ шений нужно сначала переходить к множеству Парето и лишь затем оптимизировать нечеткие множества, так как на них субъективные факторы оказывают большее влияние.

13

АЛЬТЕРНАТИВНЫ Е МЕТОДЫ

13.1. Основные пути выбора решения

Для решения проблем, связанных с недостатком информа­ ции, имеются прежде всего следующие пути: либо стараются уменьшить дефицит информации, либо примиряются с недостат­ ком информации и продолжают исследование в таких условиях.

Дефицит информации может быть уменьшен различными способами в зависимости от того, где он возникает. Дефект мо­ жет возникнуть уже в момент получения информации, когда какая-либо величина искажается из-за ошибки измерения. Такие ошибки удается обычно в большей или меньшей степени исправить за счет повышения затрат на измерение, например, путем повторения измерений при случайных ошибках. Дефицит информации может остаться, если затраты на его уменьшение велики, недостаточно время, которым мы располагаем, или изза ограниченности знаний какой-то принципиальный недостаток не может быть устранен.

Так же, как и при получении информации, на ее качество может оказывать аналогичное влияние обработка — дефицит информации может возникнуть вследствие недостатков модели объекта или методов обработки.

Можно попробовать выбрать более адекватные модели или принять более целесообразные методики. Границы и здесь опре­ деляются допустимыми затратами, отпущенным временем или недостатком знаний.

Один весьма радикальный для технической проблематики путь уменьшения дефицита информации нужно упомянуть осо­ бо. Речь идет о выборе решения с повышенной адаптивной спо­ собностью. Во многих проектах решение по частным вопросам можно принять позже, используя при этом более новую и пол­ ную информацию (принцип минимальной заблаговременности). Как правило, большая адаптивность требует и больших затрат, что может определенным образом ограничивать возможности таких решений.

Разнообразные способы устранения данного недостатка ин­ формации при решении некоторой технической проблемы наукой и практикой, уже найдены и используются — при условии, что затраты оправданы..

Альтернативные методы

189

Если же недостаток информации по уже названным или ка­ ким-либо иным причинам может быть допущен, то опять можно выбрать один из трех путей: а) оценочные методы; б) анализ чувствительности; в) методы принятия решений.

Для установления однозначного эквивалентного значения некоторого параметра из множества значений имеются матема­ тические оценочные методы, которые часто, однако, не учиты­ вают технических последствий. Примером здесь может служить метод максимального правдоподобия.

Полученный однозначный параметр облегчает дальнейшую обработку. Содержание информации остается, однако, неизмен­ ным. Поэтому в отдельных случаях можно получить неоправ­ данное отклонение от оптимума.

Анализ чувствительности основывается на том, что опти­ мальный облик технической системы или процесса не всегда заметно меняется, когда варьируют исходные данные. Ищут решение, которое слабо зависит или вообще не зависит от не­ известных исходных данных и, соответственно, определяют для этого оптимального решения диапазон нечувствительности по отношению к входным данным.

Анализ чувствительности также не дает никакого прироста информации относительно параметров внешних состояний. В разд. 13.2 схематично описан такой испктанный на практике метод.

Методы решения не влияют на содержание информации об исходных данных, но необходимую для решения дополнитель­ ную информацию можно получить, анализируя последствия.

В качестве альтернативной концепции в разд. 13.3 кратко изложена теория нечетких множеств. Там даны результаты, по­ лученные на основе найденных или субъективно определенных характеристических функций.

Из упомянутых до сих пор выпадают методы однозначных или детерминированных эквивалентов. При использовании этих методов сначала решают проблему недостатка информации од­ ним из трех указанных выше способов. Потом из множества значений многозначного параметра определяют такие дискрет­ ные реализации *д, которые при однозначном решении задачи ведут к тем же результатам.

13.2. Критериальный анализ

Метод критериального анализа для технических применений на основе теории подобия был развит главным образом Венцг ковым [31]. Существенные положения критериального анализа состоят в том, чтобы исследовать, как себя ведут решения при

190

Глава 13

определенных изменениях входных величин и, в частности, на­ сколько стабильными они остаются.

Системы или процессы называются подобными, если они формально описываются одной и той же математической мо­ делью, а их переменные величины связаны между собой коэф­ фициентами подобия. Например, подобие между величиной х<> в рассматриваемом физическом процессе и соответствующей величиной хм в описывающей процесс модели определяется ко­ эффициентом c*= x0/xM. На рис. 13.1 показаны подобные про­ цессы U=f(t) при различных коэффициентах подобия.

Рис. 13.1. Ход функции U=((t) при различных коэффициентах подобия.

Системы или процессы называются математически подоб­ ными, если их можно описать подобными уравнениями. Подо­

бие уравнений в свою очередь означает,				что коэффициенты с,-,
i= l, . . . , п, вкупе с параметрами		хь	. .. ,	хп и уи . . . ,	уп моде­
лей yt=CiXi, удовлетворяют условию
f(yu •••, yn)=f(cu ..., c„)f{xu ..., Хп).					(13.1)
Для целевой функции исходной модели
		а		а
z=z(x 1,	Хп) -	I	сi П xfil		(13.2)
		i=i	/=1

при дополнительных условиях

		т	п
	Zk =	2J	Cki П	x * i t = 1;	& = 1 ,	к ,	(13 .3)
где z — целевая		*=i	/-1
		функция, т — число слагаемых функции, п —
число переменных,			с/, ск1— коэффициенты подобия,				xi — пере­
менные, ац — показатели				степени,	К — число	дополнительных
условий,
d,	когда i-e слагаемое содержится в дополнительном
Cih	условии		k
0	в противном случае,

Альтернативные методы

191

следует, например, задачу минимизации
z(x)	— ►min
решать, полагая	хен‘
Zk (х) < 1;	... К
Ci> 0;	* - l, •
	t= 1, .... m
x i> 0;	*=1.......п
—оо<а«< + оо
Уравнение (13.2) можно сокращенно записать в форме
z -	m	(13.4)
	D A it
	i=\
где	f m
		(13.5).
Ai=ci П Ai.
	i = l

Веса Wi слагаемых Л,- относительно значения функции опреде­ ляются уравнением

w, = * L =	xfu,	(13.6)
г	z i=i

причем w,-^0.

Благодаря этому нормированию по отношению к z имеем:

т	(13.7)
D Wi=1
(=i

откуда следует ау,-^:1.

Соотношения весов оптимального варианта целевой функции o>i* : w2*:...: wm* определяют так называемую соразмерность. Критериальный анализ включает исследование хода целевой функции близ оптимума путем рассмотрения весов и»*. Эти веса легко определить с помощью уравнений (13.6) и (13.7). Целе­ вые функции с гладким максимумом следует рассматривать, как нечувствительные, а с острым максимумом — как чувстви­ тельные. Путем задания допустимых отклонений определяется область нечувствительности целевой функции. Для этого варьи­

руют входные величины xt в интервале неопределенности xi, xi и прослеживают с помощью уравнения (13.5) влияние этих ве­ личин на целевую функцию. Если мы при этом не выходим из пределов нечувствительности, то недостатком информации мож­ но пренебречь.

Особую ценность этот метод представляет, когда не поддаю­ щимся учету факторам или техническим условиям при принятии