книги / Проблемы теории пластичности и ползучести

для деформаций. Существо дела здесь состоит в следующем. Пусть, к примеру, на оболочку типа сферического купола дей­ ствует постоянное внешнее давление. За счет ползучести про­ гибы оболочки растут, но скорость этого роста затухает, и этот процесс деформирования до некоторых значений нагру­ зок будет устойчивым на бесконечном интервале времени по отношению к малым возмущениям. Верхняя граница таких нагрузок будет длительной критической нагрузкой. При боль­ ших значениях нагрузки несмотря на затухание скоростей де­ формации за конечное время могут накопиться достаточно большие перемещения, оболочка станет более пологой и про­ изойдет ее прощелкивание. Для таких значений нагрузки ста­ новится правомерным определение критического времени в ус­ ловиях ползучести как времени, когда произойдет смена форм равновесия.

Пологий сферический купол из железобетона под дейст­ вием внешнего давления рассматривал Г. С. Григорян [43]. Арматура считается упругой, ползучесть бетона описывается линейной наследственной теорией Маслова — Арутюняна. Уравнения для прогибов с учетом геометрической нелинейно­ сти исследуются на устойчивость, и определяется максималь­ ное значение нагрузки, при которой оболочка устойчива на бесконечном интервале времени. Пологая сферическая обо­ лочка из линейного вязкоупругого материала под действием внешнего давления с учетом геометрической нелинейности рассматривалась в работах [114, 200, 249, 278, 300]. На основе анализа роста прогибов определялось критическое время прощелкивания.

Для оболочек с начальными неправильностями геометри­ чески нелинейные задачи выпучивания при учете линейной ограниченной ползучести композитного материала изучались в книге [146] и в работах [16, 17]. Здесь рассмотрена цилин­ дрическая оболочка при сжатии и давлении, сферическая обо­ лочка под давлением.

Пологая цилиндрическая панель с начальным прогибом из материала с ограниченной ползучестью при сжатии вдоль образующей рассматривалась в [133]. Длительная критиче­ ская нагрузка здесь определяется выражением Гв/( 1 + с ) , где Гв — верхняя критическая нагрузка при сжатии упругой панели с начальным прогибом.

Пологая круговая арка из материала с ограниченной пол­ зучестью (линейная наследственная теория) под действием по­ перечной нагрузки рассматривалась в [81]. Арка имеет упру­ гую затяжку. Учитывается геометрическая нелинейность. При достижении некоторой критической деформации происходит

прощелкивание. Длительная критическая нагрузка опреде­ ляется условием, чтобы за бесконечное время не была достиг­ нута критическая деформация.

КРИТИЧЕСКОЕ ВРЕМЯ

В настоящей работе основное внимание уделяется вопро­ сам расчета устойчивости элементов тонкостенных конструк­ ций (стержней, пластин и оболочек) из металла, обладающего при высоких температурах свойством неограниченной ползу­ чести. При растяжении образцов из такого материала при высоких температурах скорости деформаций ползучести убы­ вают лишь на начальном участке испытаний, затем обычно следует фаза установившейся скорости ползучести; на заклю­ чительном участке, предшествующем разрушению, может на­ чаться возрастание скорости. Для системы из такого мате­ риала под действием нагрузки в условиях ползучести может существовать такое конечное время, когда из-за больших де­ формаций ползучести наступит недопустимое изменение фор­ мы конструкции. Так, у сжатого постоянной силой стержня в условиях ползучести может произойти быстрое возрастание прогибов; сжатая цилиндрическая оболочка может выпу­ читься; под действием внешнего давления оболочка может сплющиться.

Таким образом, для системы из материала с неограничен­ ной ползучестью под действием нагрузки в условиях ползуче­ сти даже при малых возмущениях существует такое значение времени (критическое время), по истечении которого возму­ щенное состояние будет существенно отличаться от основного невозмущенного состояния. Постановка задачи устойчивости такой системы в условиях ползучести на бесконечном интер­ вале времени оказывается невозможной, и интервал времени необходимо ограничивать. Задача определения критического времени в условиях ползучести возникает и для конструкций, выполненных из материала с ограниченной ползучестью в тех случаях, когда нагрузка, действующая на конструкцию, пре­ вышает длительную критическую нагрузку.

Критическое состояние может достигаться за счет резкого возрастания скоростей деформирования, обусловленного не­ линейной зависимостью скорости ползучести от напряжения. Этот случай характерен для выпучивания продольно сжатых стержней. Для оболочек критическое состояние может быть обусловлено геометрической нелинейностью, которая в про­ цессе накопления деформаций ползучести может привести к резкому возрастанию скоростей деформаций (выпучива­ нию).

В задачах длительной устойчивости исследование прово­ дится на основе линейных или линеаризованных уравнений для малых возмущений. Величина самих возмущений, как правило, не влияет на значение критической нагрузки.

Принципиально иначе обстоит дело в задачах, связанных с определением критического времени. Исследование устойчи­ вости основного состояния системы в условиях ползучести тре­ бует рассмотрения некоторого возмущенного движения, т. е. введения в расчет возмущений того или иного типа. При этом оказывается, что в возмущенном движении система достигает некоторой критической ситуации (бесконечные скорости, не­ допустимое искажение исходной формы и т. д.) за время, ко­ торое зависит от характера и величины вводимых в расчет возмущений. Таким образом, интервал времени (критическое время), в котором основное невозмущенное состояние можно считать устойчивым, зависит от вводимых в расчет возму­ щений.

ВЕТВЛЕНИЕ ФОРМ РАВНОВЕСИЯ ПРИ УБЫВАНИИ ЖЕСТКОСТИ

Стремление при решении задач устойчивости в условиях ползучести избавиться от введения в расчет детерминирован­ ных возмущений послужило причиной появления некоторых предложений, в которых по аналогии с эйлеровой постановкой задачи упругой устойчивости критическое время в условиях ползучести определяется как время, при котором произойдет ветвление форм равновесия. В таких постановках весьма су­ щественное значение имеет формулировка закона ползучести.

Рассмотрим постановку, в которой для деформаций пол­ зучести принимается уравнение теории старения

p = f{a, t).

На основе кривых p(t), полученных при испытаниях образцов на ползучесть при разных уровнях напряжения о, строятся кривые о(р)у соответствующие одному и тому же отсчету вре­ мени. Этим изохронным кривым приписывается смысл кривых мгновенного деформирования при данном значении времени. Таким образом, конструкция из такого материала будет об­ ладать разными жесткостными свойствами в разные моменты времени.

На этой основе были предложены две близкие по содер­ жанию постановки задачи устойчивости. В постановке, пред­ ложенной Шэнли [295], критическое время для сжатого иде­ ально прямого стержня определяется из уравнения

а = n2Et (а, /)/Я2,

(в)

где Et — касательный модуль, определяемый семейством изо­ хронных кривых а{р) (параметр семейства — время). С ро­ стом времени значение Et уменьшается, так как при задан­ ном о определяется для каждого момента времени по своей кривой. Когда значение Et достигает величины, при которой о, определяемое по формуле (6), станет равным действую­ щему напряжению, произойдет потеря устойчивости.

Введение в расчет начального прогиба в схеме Шэнли было проведено Карлсоном [202, 204]. В случае наличия на­ чального прогиба напряжения по сечению стержня различны и значения Et, определяемые для данного момента времени и трактуемые как мгновенные касательные модули, различны. При отсутствии начального прогиба результаты расчета кри­

тического	времени	по Шэнли	и Карлсону	совпадают. Кри­
тический	анализ	постановки	Шэнли был	дан в обзоре
Хоффа [237].

В другой постановке того же типа, предложенной Джерар­ дом [222], по изохронным кривым определяется секущий мо­ дуль и соответствующее критическое напряжение в условиях ползучести как функция времени. В этой постановке для сжа­ того стержня деформация, накопленная к моменту потери устойчивости в процессе ползучести, оказывается равной кри­ тической деформации при упругой потере устойчивости [223]. Постулирование Джерардом независимости величины крити­ ческой деформации от величины нагрузки явилось основой для ряда работ, в которых эта концепция была распростра­ нена на устойчивость в условиях ползучести пластин и обо­ лочек [224—230, 310]. Для подтверждения этой концепции экспериментальные исследования устойчивости стержней, пла­ стин и- оболочек в условиях ползучести проводились как Дже­ рардом и его последователями [225, 226, 228, 230, 276, 277, 180], так и во многих более поздних работах [5, 9, 34, 75, 80, 112, 113, 152, 153, 164, 198, 214, 255].

Большинством экспериментальных исследований концеп­ ция Джерарда, так же как и концепция Шэнли, не была под­ тверждена. Критическая деформация и соответственно кри­ тическое время в условиях ползучести оказываются, как пра­ вило, существенно большими величин, полученных по этим теориям. Еще в работах Хоффа [237, 238] отмечалось, что при­ писывание изохронным кривым смысла кривых мгновенного деформирования лишено физического содержания, и мгновен­ ные жесткостные характеристики в процессе ползучести не меняются. Весь накопленный к настоящему времени экспери­ ментальный материал вынуждает признать, что эти подходы к задаче устойчивости в условиях ползучести себя не оправ­ дали.

УСЛОВНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Другое направление в исследовании устойчивости, свобод­ ное от необходимости введения в расчет детерминированных возмущений, основано на использовании закона ползучести в виде уравнения состояния с упрочнением. Эти постановки берут свое начало от работ Ю. Н. Работнова. При малых про­ гибах напряжения и деформации по сечению искривленного стержня, пластинки или оболочки мало отличаются от напря­ жений и деформаций основного состояния (прямолинейное со­ стояние стержня, безмоментное состояние оболочки), что по­ зволяет провести линеаризацию уравнений ползучести отно­ сительно этих малых величин и использовать варьированное уравнение состояния. На этой основе линейные уравнения для

прогибов стержней	и	пластин были	получены в работе
Ю Н. Работнова и	С.	А. Шестерикова	[139, 286].

Исходя из выведенных уравнений, проводился анализ дви­ жения стержня в условиях ползучести в зависимости от вре­ мени. Оказалось, что в результате учета упрочнения скорость движения в некоторый момент времени обращается в нуль. Это значение времени трактовалось как критическое. Анализ такой постановки показал, что для реализации движения, ис­ ходя из которого делается суждение об устойчивости, на стер­ жень или пластинку необходимо воздействовать некоторым возмущением специального вида, т. е. к полученным уравне­ ниям должны быть присоединены некоторые специальные на­ чальные условия. Движение стержня в условиях ползучести во многом зависит от характера возмущающего воздействия, в соответствии с которым может быть сформулирован тот или иной условный критерий устойчивости. В результате упрочне­ ния воздействие, прикладываемое в разные моменты времени, вызывает разный характер возмущенного движения. Крити­ ческому моменту времени можно поставить в соответствие выполнение того или иного условия для возмущенного движе­ ния в начальный момент времени. Если в качестве возмуще­ ния ввести малый начальный прогиб, появляющийся у стерж­ ня в некоторый момент времени, то в качестве критерия устойчивости можно рассматривать ускорение в начале выну­ жденного движения [83].

Анализ этих постановок и обобщение их на задачи устой­ чивости пластин и оболочек проводился в работах Ю. Н. Ра­ ботнова [135, 285], С. А. Шестерикова [173], а также в рабо­ тах [76, 77, 78, 91, 82, 84, 85]. Расчеты критического времени в условиях ползучести по условным критериям устойчивости не обнаруживают соответствия данным эксперимента. Напри­ мер, результаты испытаний на сжатие стержней из дюралю-

9 За к. 1229

мина [75, 164, 255] свидетельствуют о том, что критическое время по условным критериям значительно меньше устана­ вливаемого в экспериментах. То же имеет место для пластин и оболочек.

Не изменила положения и попытка усовершенствовать тео­ рию путем учета разгрузки [256]. Здесь на примере стержня в виде идеализированного двутавра при записи уравнения ко­ лебаний ползучесть учитывалась лишь в зонах, где знаки на­ пряжений и их скоростей одинаковы, в зонах же разгрузки ползучесть отсутствует. Критическое время по критерию ско­ рости при этом несколько возрастает.

Ю. Н. Работнов в книге [135, стр. 719] отмечает: «Как по­ казывает сравнение с экспериментом, условные критерии ус­ тойчивости, описанные выше, дают чрезвычайно заниженную величину критического времени. Это само собою очевидно, поскольку фиксируемые этими критериями качественные из­ менения в ходе кривой ползучести незначительны и факти­ ческий рост прогибов происходит довольно медленно». К это­ му следует добавить, что полученные результаты основаны на постулировании условных критериев устойчивости, подчи­ ненных характеру выбираемого возмущающего воздействия. Эта весьма существенная, с нашей точки зрения, сторона дела, несмотря на то что полная ясность по этому вопросу была достигнута в работах, отмеченных выше, но не нашла отражения в ряде более поздних работ, посвящнных анализу или использованию условных критериев.

Чтобы пояснить начальные условия, которые позволяют выделить класс возмущенных движений, допускающий при­ менение тех или иных условных критериев устойчивости, рас­ смотрим ползучесть шарнирно-опертого стержня длиной /, на­ груженного постоянной осевой силой Т. Пусть уравнение со­ стояния при ползучести имеет вид

p = Ao*p~* (р = е — о/Е).

(7)

Здесь а — напряжение, р — деформация ползучести, е — пол­ ная деформация.

Линеаризуя уравнение (7) при малых прогибах стержня,

получаем уравнение
бр = Апап~]р~а6а — Ааапр~а~1Ьр,	(8)

где р и о относятся к оси стержня, а бр, бо означают малые приращения соответствующих величин по толщине стержня.

Пусть в момент времени t = t0, когда р = р0 в результате воздействия некоторых возмущений стержень имеет началь­ ный прогиб Wo и неравномерную по сечению часть деформа­ ции ползучести бро. Интегрируя уравнение (8) при началь-

ном условии бр =	бро при р =		ро и вводя вместо переменной
t переменную ру получаем				р
бр = (р/р0) - абр0 +			Ш	р~а 5 рабa dp.			(9)
Учтем соотношения				Ро
Ьр = бв — ба/£,	6 е= — z(wxx — w0tXX),				6р = — zvxx		(10)
и условие
	^ z6odF = Twy						(И)
	F
где F — площадь сечения стержня. Полагаем
w = f (р) sin ух,	w0 = f0sin уху			v = g(p) sin ух (у =			Jt//).
Тогда
бе = zy2[f (р) — /о] sin ух,		бр0 =		zg0y2sin \х,		go = g(po)-
Согласно (10), имеем
	Ьа = Ezy2[f (р) — g(p) — fo\.						(12)
При помощи (11) получаем
(1 - а°) f (р) = g (р) +		/о,	а0 = Т/Тв,		Те=	я2£///2,	(13)
так что	бег = Ezy2o°f (р) sin ух.						(14)

Уравнение (9) принимает вид

р

0 — or0) f (Р) — /о — (р/РоГа go — (Еп/а) а р~а $ paf (р) dp=0, (15)

Ро

и его решение можно записать так:

f (р) — [fo/(l — ff0)] {(р/Ро)~аexp [k (р — ро)] +

П

+ ар- а ехр (kp) ^ ра~' exp (— kp) dpj +

Ро
+ [ga/i 1 — (Т0)] (р/ро)_а exp [k (р — ро)],	k = [<т°/(1 — ст0)] Еп/а.
			(16)
Как видим, при отсутствии возмущений (/0 =		g0 =	0) имеет
место только тривиальное решение [82].		Р =	Ро имеем
В начальный момент движения при t =
/(Ро) = (/о + Ы/(1 -	о0).		(17)

Скорость и ускорение возмущенного движения в началь­ ный момент выражаются в виде

f = [ ( k - а/р0) g0+ kf0] p/d ~ А

f = { [а (2а + 1)/pl - Заk/p0 + k2] g0+

+ [ - 2аk/pQ+ k2] f0} p2/(1 - <x°).

(18)

В возмущенном движении можно распорядиться двумя па­ раметрами: f0 и go — начальным остаточным прогибом и на­ чальным прогибом за счет ползучести.

Пусть fo = 0, тогда

(flf) = (6 — ct/Ро) р	при t — to-	(19)
Таким образом, при условиях
go 0,	/о= 0	(20)

характер возмущенного движения за счет упрочнения зави­ сит от момента времени, в который было приложено возму­ щение. Если возмущение подействовало на стержень в мо­ мент времени, когда деформация ползучести невелика: р0 < < a/k, то в возмущенном движении f/f < 0 при t = t0 и про­ гиб убывает; если же возмущенное движение начинается при

ро > a/6, то прогиб	возрастает. Критическому состоянию	со­
ответствует момент	времени, когда f = 0 и рКр = a/k.	Эта

трактовка [85] условного критерия несколько отличается от трактовки авторов этого критерия [139, 135, 285]. Ю. Н. Ра­ ботное [285] показал, что рассматриваемое возмущенное дви­ жение (начальные условия (20)) реализуется после того, как на продольно сжатый стержень подействовала некоторая по­ перечная нагрузка, которая затем была снята.

Задав начальные условия
go = 0»	fo ^	0>	(21)
согласно (18), получаем
(f/f) = {k — 2а/ро) kp2		при	/ = t0

и критическому состоянию можно поставить в соответствие условный критерий, связанный с обращением в нуль ускоре­ ния вынужденного движения [83]. В этом случае

/?кр = 2a/k.

Естественно, что за счет возможности распоряжаться на­ чальными условиями можно предложить и другие варианты

условного критерия устойчивости. Так, например,	полагая
go = —fo (неравномерная начальная деформация	ползуче­

сти компенсируется начальным остаточным прогибом), будем иметь в начальный момент движения

/ = 07 / = ар/о/ГРо (1 — а0)],

f = а [(2а + \)/р0 — k] p2fo/[Po(1 — а0)].

Такое вынужденное движение обусловлено чисто внутрен­ ними для стержня причинами (/ = 0 при t = /0), и критиче­ ское значение деформации ползучести можно связать со зна­ ком ускорения прогиба, так что

Лр = (2а+1)/А.

(22)

Этот результат, очевидно, имеет то же отношение к реаль­ ному процессу выпучивания стержней в условиях ползучести и позволяет еще раз обратить внимание на вопрос о зависи­ мости поведения сжатых стержней при ползучести с упрочне­ нием от начальных условий.

Отметим еще одно соображение, связанное с трактовкой

критерия / = 0. Согласно				(10),	(12) и (7), в начальный						мо­
мент	(/ = t0)
	(Ьа/Ьр) = Ео°(1 +			fo/g0)/(1 — о°)				при	t = /0.		(23)
С другой стороны, положив 6р =							0 в	(8),	получаем
	(бсг/бр) =		ааЦпр)		при		р =	const.			(24)
В	случае, если	/о =	0,	имеют		место		начальные		условия
(20), и при р < ркР = a/k будет
		(б<т/бр),=<> < (6o/6p)._const.									(25)
Критическая деформация ркр =							a/k	соответствует в			(25)
знаку	равенства.	Неравенство				(25) при р < ркр				означает
6р <	0 в возмущенном движении. Это положение было отме­

чено Хоффом в ряде работ [237, 239] и названо им обратной ползучестью. С проявлением обратной ползучести Хофф свя­ зывает критическое состояние стержня по условному крите­ рию / = 0. Очевидно, что проявление этого эффекта есть пря­ мое следствие задаваемых начальных условий. Так, напри­ мер, при условиях (21) в возмущенном движении будет (ба/6р) = 0 при t = t0.

Динамическая трактовка условного критерия устойчиво­ сти [139, 239] для стержня обнаруживает, что осциллирующая часть не имеет отношения к медленному (квазистатическому) движению в условиях ползучести и при учете зависимости ко­ эффициентов уравнения от времени [306] быстро затухает.

Уместно отметить, что анализ квазистатического движе­ ния вида (16) (при /о = 0) в связи с критерием устойчивости

f = О, проведенный Ямамото в работе [306], проделан без учета работ [135, 173, 285, 82—85] и повторяет известные ре­ зультаты.

Для решения различных задач условные критерии устой­ чивости использованы в некоторых работах последнего вре­ мени [7, 48, 68, 305].

Оценивая в целом постановку задач устойчивости в усло­ виях ползучести, основанную на постулировании условных критериев устойчивости, приходится признать, что на этом пути в приложении к поведению реальных конструкций не было получено обнадеживающих результатов. Некоторые критерии, предлагавшиеся в исследованиях С. А. Шестерикова [169] и Г В. Иванова [57, 58], также по существу при­ надлежат к условным. Развитие этого направления, с другой стороны, имело значение в связи с тем, что на основе идеи Ю. Н. Работнова о возможности линеаризации уравнения со­ стояния была разработана техника решения задач для иссле­ дования возмущенных движений при нелинейной ползучести стержней, пластин и оболочек, в том числе с учетом геометри­ ческой нелинейности [139, 83, 173, 87, 8].

ВЫПУЧИВАНИЕ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ

Обратимся к вопросу об устойчивости стержней, пластин и оболочек в условиях неограниченной ползучести. Этот воп­ рос имеет особое значение для конструкций из металла, ра­ ботающих в условиях высоких температур. В задачах этого типа определяется критическое время. На постановки этих за­ дач имеются разные точки зрения, причем некоторые из них являются следствием определенной терминологической неяс­ ности. В связи с этим прежде, чем обращаться к выполнен­ ным в этом направлении исследованиям, остановимся на не­ которых общих аспектах проблемы.

У стержня, ось которого имеет некоторое начальное откло­ нение от прямой (начальный прогиб), при продольном изгибе постоянной силой в условиях неограниченной ползучести за счет нелинейной зависимости скоростей ползучести от напря­ жений скорость роста прогиба (или прогиб) в некоторый мо­ мент времени станет сколь угодно большой. Критическое время можно определить как экспериментальным, так и рас­ четным путем. Очевидно, что эта задача не есть задача устой­ чивости. Это задача выпучивания стержня в условиях ползу­ чести (creep buckling).

Но если стержень конструктивно выполнен как стержень с прямолинейной осью, такой стержень в условиях неограни­ ченной ползучести при сжатии за счет даже весьма малых, но