книги / Строительная механика стержневых систем. Ч. 2

R1P 2,5 4,583 9 21,333,	R2P 21,333 5,583 3,
R1P 10,25,		R2P 12,75.
Получим систему канонических уравнений
1,5Z1 0,5Z2 10,25 0,
0,5Z1 3Z2 12,75 0.
Решением системы будут Z1 8,735 и		Z2 5,706.

Построим исправленные эпюры моментов (рис. 11.23)

М1 М1Z1 и М2 М2 Z2 .

Рис. 11.23

Просуммируем только опорные моменты исправленных эпюр и грузовой эпюры моментов по формуле М М1 М2 МР

ипостроимэпюру опорных моментов (рис. 11.24)

М0 5 кНм;

101

М1лев 4,367 9 4,583 2,5 15,45;

M1прав 8,735 2,853 21,333 15,45;

M1лев М1прав 15,45 кНм.

Это означает, что узел 1 находится в равновесии.

M2лев 4,367 5,706 21,333 19,99;

M2прав 11,412 5,583 3 19,99.

Опорный момент M2 19,99 кНм.

M3 5,706 1,083 3 7,62 кНм.

Эпюру опорных моментов Моп покажем относительно за-

данной неразрезной балки (см. рис. 11.24). Эпюра опорных моментов, полученная методом перемещений, совпадает с такой же эпюрой, но построенной по уравнению трех моментов.

Рис. 11.24

Дальнейший расчет неразрезной балки показан в под-

разд. 11.2.6.

11.4. Расчет неразрезной балки методом моментных фокусных отношений

Метод моментных фокусных отношений позволяет избежать совместного решения системы канонических уравнений

102

при нагрузке только в одном пролете или только на консоли неразрезной балки.

11.4.1. Понятие моментных фокусных отношений

Рассмотрим неразрезную балку с нагрузкой разного вида в одном пролете. Очертание эпюры моментов приведено на рис. 11.25, а, б. Эпюра моментов в каждом пролете слева и справа от загруженного есть прямая, пересекающая ось балки.

Опорные моменты загруженного пролета неразрезной балки уменьшаются (гаснут) по мере удаление влево и вправо от него.

Рис. 11.25

Точки пересечения эпюры моментов с осью балки в пролетах слева и справа от нагрузки называются моментными фокусами. Моментные фокусы в пролетах слева от нагрузки называются левыми моментными фокусами и обозначаются Fn . Индекс

n указывает на номер пролета. Моментные фокусы справа от загруженного пролета называются правыми моментными фокусам и обозначаются Fn . Положение моментных фокусов

в одной и той же балке не зависит от вида и величины нагрузки

(см. рис. 11.25, а, б).

103

Выделим эпюру моментов n-го пролета, находящегося слева от загруженного пролета (рис. 11.26).

Моментный фокус (точка Fn ) находится на расстоянии сn от левой опоры и dn от правой. Составим отношение большего

отрезка к меньшему, т.е.	dn .
	сп
Из подобия треугольников
		dn			Мп		.
		с
					М	п 1
		п

Отношение правого опорного момента n-го пролета к левому опорному моменту обозначается Kn и называется левым моментным фокусным отношением.

K	n		Мп	.	(11.15)
			Мп 1

Аналогично рассмотрим эпюру моментов n-го пролета, находящегося справа от нагруженного пролета (рис. 11.27).

Рис. 11.26	Рис. 11.27
Правый моментный фокус Fn	находится на расстоянии сп

от левой опоры и на dn от правой опоры.

104

	сn	Найдем отношение большего отрезка к меньшему:
			Мп 1 .
	dп
			Мп

Отношение левого опорного момента n-го пролета к правому опорному обозначается Kn и называется правым моментным фокусным отношением.

K Мп 1 .

(11.16)

n	Мп

Определим левое моментное фокусное отношение первого пролета неразрезной балки, когда крайняя левая опора шарнирная, и правое моментное фокусное отношение последнего пролета при крайней правой шарнирной опоре (рис. 11.28).

Рис. 11.28

Пользуясь формулами (11.14) и (11.15), получим

K1 М1 и Ki Мi 1 .

М0 Мi

M0 0 , тогда K1 М01 ,

Mi 0 , тогда Ki М0i 1 .

Таким образом, для неразрезной балки с левой крайней шарнирной опорой левое фокусное отношение 1-го пролета

равно ∞, т.е. K1 , и если правая крайняя опора шарнирная, то

правое моментное фокусное отношение последнего пролета равно ∞, т.е. Ki .

105

11.4.2.Формулы зависимостей левых фокусных отношений

иправых фокусных отношений

Выделим из неразрезной балки два смежных пролета слева от загруженного пролета (рис. 11.29, а) и соответствующую часть основной системы метода сил (рис. 11.29, б).

Рис. 11.29

Запишем уравнение трех моментов, учитывая, что пролеты неразрезной балки и основной системы без нагрузки и фиктивные реакции равны нулю (см. подразд. 11.2.2).

Мn 1 ln 2Mn ln ln 1 Mn 1 ln 1 0.

Разделим обе части уравнения на Mn :
Мn 1 ln 2 ln ln 1					Мn 1 ln 1 0,
Mn					Mn
где
Мn 1	1	;	Мn 1 Kп 1.
Mn	Kп		Mn
После некоторых преобразований получим формулу зави-
симости левых моментных фокусных отношений:
						1
Kп 1 2			ln	2			.	(11.17)
			ln 1			Kn

106

Аналогично, рассматривая два смежных пролета неразрезной балки справа от загруженного пролета, получим формулу зависимости правых моментных фокусных отношений:

							1
	Kп 2	ln	1		2			.	(11.18)
							K
		l
		n					п 1

По формуле (11.16) получим левое моментное фокусное отношение первого пролета, когда крайняя левая опора неразрезной балки неподвижная заделка.

Заменим заделку пролетомнулевой длины и получим нулевой пролет скрайней шарнирнойлевойопорой(рис. 11.30, а).

		Рис. 11.30
	По формуле (11.16)
					1
	K1	2 l0	2			.
					K0
		l1

Так как K0 , а l0 0, то K1 2.

По формуле (11.17) получим правое моментное фокусное отношение последнего пролета, когда крайняя правая опора – неподвижная заделка (рис. 11.30, б).

По формуле (11.17)

					1
	Ki 2 li 1		2					,
					K
	l
	i				i	1

107

Так как Ki 1 и li 1 0, то Ki 2.

Таким образом, можно указать моментные левые и правые фокусные отношения для каждого пролета неразрезной балки. Левые моментные фокусные отношения находят слева направо.

Зная K1, по формуле (11.16) находим левые моментные фокус-

ные отношения всех остальных пролетов.

Правые моментные фокусные отношения находят справа налево, начиная с последнего пролета. Зная Ki последнего про-

лета, по формуле (11.17) определим правые моментные фокусные отношения для всех остальных пролетов.

11.4.3.Формулы опорных моментов загруженного пролета

Выделим из неразрезной балки и ее основной системы три смежных пролета с нагрузкой в среднем (рис. 11.31, а) и запишем канонические уравнения, используя уравнение трех момен-

тов (11.6).

Рис. 11.31

108

Первое каноническое уравнение запишем, принимая за промежуточную опору n–1, а для второго уравнения трех моментов опору n (рис. 11.31, б).

			ln 1 ln Mnln 6Anф		J	0
	Мп 2ln 1 2Mn 1							,
					Jn
					J0
	Мп 1ln	2Mn ln	ln 1 Mn 1ln 1 6Bnф				.
					Jn

Выразим Мп 2 и Mn 1 через опорные моменты соответственно Mn 1 и Mn , применим формулы (11.16), (11.17). После преобразований, решив систему уравнений с неизвестными Mn 1 и Mn , получимформулыопорных моментовзагруженного пролета

Мп 1			6 АпфKп Впф				,	(11.19)
				ln Kn Kп 1
Мп		6		Вфп Kп Апф		,		(11.20)
			ln Kn Kп 1

где Апф, Вфп – фиктивные реакции опор в простой балке основной системы n-го пролета (находим по прил. 3); ln – длина загруженного пролета; Kп,Kп – моментные фокусные отношения

(левое и правое) n-го пролета.

При нагрузке в первом пролете неразрезной балки с край-

ней левой	шарнирной опорой формула (11.19)			преобразуется
в формулу
	Мn	6Вф	,
		1		(11.21)
		l1K1

где В1ф – фиктивная реакция правой опоры простой балки, соответствующей первому пролету; l1 – длина первого пролета; K1 – правое моментное фокусное отношение первого пролета.

109

Аналогично, раскрывая неопределенность при опреде-

лении предпоследнего опорного момента при загруженном последнем i-м полете неразрезной балки с крайней правой шарнирной опорой, получим

		Мi 1	6Aф
				i	,	(11.22)
			li
				Ki
где	Aф	– фиктивная реакция левой опоры простой балки, соот-
	i
ветствующей последнему загруженному пролету; li						– длина i-го

пролета; Ki – левое моментное фокусное отношение последнего i-го пролета неразрезной балки.

11.4.4.Порядок расчета неразрезной балки

снагрузкой в одном пролете

Рассмотрим, например, неразрезнуюбалку (см. рис. 11.25, а).

1. Определить приведенные длины пролетов.

	EJ0	EJ0	EJ0	EJ0	EJ0
l1 l1		; l2 l2 EJ2	; l3 l3 EJ3	; l4 l4 EJ4	; l5 l5 EJ5	,
	EJ1

где EJ0 – жесткость какого-либо пролета или любое постоянное

число.

2. Найти моментные фокусные отношения для каждого пролета.

Левые моментные фокусные отношения:

K1 ,

110