книги / Математические модели элементов интегральной электроники

ить в соответствие распределенную линию, состоящую из стандарт­ ных элементов теории электрических цепей. .Поэтому для того, чтобы учесть уравнение Пуассона в эквивалентной схеме рис. 1Л1, введем новый элемент EPj с пятью выводами, который удобно называть

Рис. 1.12. Символическое обозначение элемента Пуассона (а) и ней­ тральности заряда (б).

элементом Пуассона {11] (рис. 1.12). Токи через выводы элемента определяются следующими выражениями:

	/ 1- / а-	/	а= / 4-1 0,		(1.81)
/5= k	1 1 +i — VI 41— У/ - 1	|	q (bxi + bxj+i)	' Q Ы »	*я/. <?/)]•
	Дх/		2епзо		(1.82)

где k — коэффициент, имеющий размерность А-см/В.

Правая часть выражения (1.82) представляет собой модифици­ рованное уравнение Пуассона, записанное в конечно-разностном ви­

де. Очевидно, что в точке решения систе­
мы уравнений	(1.67) — (1.73) имеет место
тождество	/ы = 0 .	(1.83)
Поскольку тождества (1.81) и (1.83) со­
впадают с формулировкой первого зако­
на Кирхгофа	(сумма	токов <в /-м узле
равна нулю	2 /j = 0 )	для каждого из
узлов, к которым -подключаются выводы
элемента Пуассона, то включение этого
элемента в эквивалентную схему рис. 1.11			Рис. 1.13. Контакт ме­
не нарушает	первого	закона Кирхгофа	талл — полупроводник.

для схемы (в целом.

■Вывод полупроводникового прибора рассматривается как кон­ такт между металлом и полупроводником (рнс. 1.13). При управле­

нии от	генератора	напряжения из условия электронейтральности
(1.15)	можно получить схему контакта, изображенную на		рис. 1.14,
а э. д. с. источника		£ НОп определяется из решения уравнения
	Fp(U, Яксн) — Fn (U, —£кон) Ч~ WAI — Wai = О,		(1.84)

где U — напряжение, приложенное к контакту.

Ёсли прибор управляется генератором тока / г, то эквивалентна*! схема контакта имеет вид, показанный на рис. 1.14,6. Элемент CN можно назвать элементом «нейтральности» заряда. Он является частным случаем элемента Пуассона и имеет три вывода, токи через которые равны:

/ ,= / 2 = 0 ,			(1.85)
/з = kiQ (fpi,			(1.86)
где ki — коэффициент, имеющий размерность А-см2/'В.		имеет	место
В точке решения системы уравнений	(1.67)— (1.73)
равенство /э = 0, т. е. цепь, содержащая	элементы Сft,	также	удов­
летворяет теории электрических цепей.

•I

л

РЧ 1 1 1 1 1

аи)	Рт
гр	Gp
	а

в * &

Рис. 1.14. Эквивалентная схема модели электрического контакта полупроводникового прибора при управлении генератором напряже­ ния (а) и генератором тока (б).

Таким образом, системе уравнений (1.67)— (1.73) соответствует нелинейная символическая цепь на рис. 1.11,а, состоящая из много­ полюсных элементов, изображенных на рис. 1.15. Потенциалами в узлах эквивалентных схем рис. 1.11 являются квазипотенциалы Ферми (рРз- и (pnj и электростатический потенциал ср;\ Расчет этих схем может быть осуществлен с помощью автоматизированных про­ грамм анализа электрических цепей, в которых реализован метод узловых потенциалов.

Метод моделирования с помощью эквивалентных сосредоточен­ ных элементов дает возможность помимо физических эффектов, от­ раженных в эквивалентных схемах рис. 1.11, достаточно просто учесть, во-первых, влияние внешних паразитных элементов (межэлектродных емкостей и индуктивностей выводов) и, во-вторых, вести анализ работы прибора с учетом внешних воздействий (тем­ пературных градиентов, фотоэлектрических явлений, влияния элек­

тромагнитных полей,	действия	ядерной и космической радиации).
В первом случае эквивалентные		схемы рис. 1.11 дополняются	пара­
зитными элементами	типа LC,	а во втором — генераторами	тока,

учитывающими соответствующие явления. Методы расчета эквива­ лентных схем при этом не меняются/

Учет влияния внешних воздействий проиллюстрируем на следу­ ющих примерах.

Эффекты оптической генерации. Пусть на полупроводник пер­ пендикулярно его поверхности действует поток фотонов фх

(рис. 1Л6,а). Положим, что все фотоны поглощаются и каждый поглощенный фотон создает пару электрон — дырка; поглощение описывается экспоненциальной функцией с коэффициентом погло-

2*0.__/	\—1					'	pif)		п(Н)
			-в».					(
г (Л- ггРр	\ СР	b ___		РтМп'			ип		ьл
р		Дх1'*1	С° V	W	" *				йхи'*"
JT. Элементрекомбинации				Щ. Элемент накопления
П)		/п		п. Г ®
				*®	ч	-	II		ГР-
				ГР	и
				1 °— II		1	II		°з
	2 l p (Jl					2\	р 'ь
'г'-ЧШ		Ч>.*п)

с°>ф*}Ы

Щ.Элементнейтральности заряда

9й

1<{wt

A i t г*

№

. \ р ,М-УЛ / V

1 L

Рис. 1.15. Многополюспые элементы, отраж аю щ ие физические про­

цессы в полупроводнике.

щения а, зависящим от длины волны X. Скорость генерации носи­ телей для этого случая

goirr = f а (X) Фх ехр [—а (Л)] dX,

(1.87)

£

где Xt и Хо — нижняя и верхняя границы спектра падающего, света. Эффект оптической генерации в объеме полупроводника на рас­ стоянии Xj и xj+i от поверхности можно представить в эквивалент­ ной схеме двумя генераторами тока, включенными на границах Xj

xj xj+f

а

6

Рис. I./6. Облученный светом объем полупроводника (а) и его экви­ валентная схема (б).

и Xj+i, как показано на рис. 1.16,6. Фотогенерационные токи описы­ ваются следующими выражениями (4]:

/опт/ =	Г Фх [exp (—axf) — w j w \ dX,		(1.88)
	t
/опт/+1 =	qA j* Фх [ w j w — exp (—« * /+ 1)] dX,		(1.89)
где	Xi
У ы ( х ) ,		T ' N ( X)	C-90)
w=J T O ‘dA::“'»=		J T W e~*xdx’>
X J		X J

N(x) — суммарная концентрация легирующей примеси; D(x) — коэффициент диффузии неосновных носителей.’

Эффекты ядерной и космической радиации. Когда полупровод­ ник подвергается воздействию радиации Y или импульсному потоку нейтронов (рис. 1.17,а), то в материале образуются электронно­ дырочные пары, создающие дополнительный ток. Это эквивалентно включениюгенераторов радиационного тока всхему рис. 1.17,6.

Величина радиационных токов равна

/рад/ = qAbxjYgoh (/),

(1.91)

где ? — интенсивность радиации, рад/с; go— коэффициент создания пар электрон— дырка; k[t) — переходная функция для тока, завися­

щая от источника радиации. Например, для прямоугольного импуль­ са излучения длительностью Т переходная функция для тока имеет вид

erf^/x)^2	при t<*T,
erf(<Л)1/2 — erf[(< — Г)Л]1/2	при i > T
где т — время жизни носителей заряда.

Рис. 1.17. Объем полупроводника, подвергнутый воздействию радиа­ ции (а), и его эквивалентная схема [б).

Приведенные		примеры	показывают, что с		помощью	модели
в виде	эквивалентной электрической			ЯС-цепи	можно достаточно
полно	и в удобной	форме	отразить	физические	процессы	в полу­

проводниковом приборе.

Параметры каждого элемента эквивалентной схемы однозначно связаны с его геометрическими размерами и электрофизическими свойствами материала. Для каждого элемента в явной форме опре­ делены соотношения на выводах, что делает модель пригодной как для аналитического, так и для физического рассмотрения работы прибора. Анализ электрических характеристик прибора, смоделиро­ ванного в виде эквивалентной RC-цепи, проводится с использова­ нием математического аппарата теории цепей.

1.5. Макромодели цифровых ИС

Традиционное моделирование систем, содержащих большое количество элементов (более 1000), становит­ ся невозможным из-за огромных вычислительных за­ трат. Поэтому «элементный подход», предусматриваю­ щий построение моделей электронной схемы на основе законов Кирхгофа с использованием моделей отдельных компонентов (транзисторов, диодов, резисторов и т. д.), заменяется подходом, базирующимся на макромоделях.

Макромодель —это упрощенная модель целого элек­ тронного узла, связывающая его входные и выходные характеристики.

Обычно цифровые системы и БИС (арифметические блоки, ЗУ и т. д.) строятся на базе стандартных схем: логических элементов, триггеров, сдвиговых регистров и т. д. Для каждой такой схемы можно построить ма­ кромодель и уже на ее основе -проводить машинное мо­ делирование системы.

Рис. 1.18. Принципиальная схема двухвходового логического элемен­ та НЕ—И на ТТЛ ИС (а) и эквивалентная схема, соответствующая его макромодели (б).

Параметры макромоделей определяются эксперимен­ тально или с предварительным моделированием схемы (для которой строится макромодель) на элементном уровне. Обычно макромодели носят формальный харак­ тер и строятся относительно электрических параметров,

переменными являются напряжения и токи	на входах
и выходах схемы.
Рассмотрим принцип построения макромоделей на
примере двухвходового вентиля НЕ — И на	ТТЛ ИС
[12]. Для ТТЛ-вентнля НЕ — И (рис. 1.18,а)	логическое

срст’ояине на выходе Y = A x B , где А и В —входные ло­ гические состояния. При работе в системе такой вентиль характеризуется входными и выходными уровнями на­ пряжений логической I(UJU) и логического 0(£/ло), а также задержками распространения сигналов. Так как выходные уровни напряжений могут изменяться в неко1ч>рых интервалах, то экспериментально или с по-

46

Мощью поэлементного моделирования устанавливаются границы этих интервалов.

Для рассматриваемой схемы минимальное напряжение

логической 1 на выходе

= 3,1В, а максимальное

напряжение логического 0 У™*акс= 0»ЗВ. На входе вен­ тиля U™m = 1>9В, ^лшаКС= 0,8В. Максимальные задержки

при спаде и при нарастании выходного сигнала пример­ но равны между собой и составляют 60 нс.

Простейшая эквивалентная схема, реализующая эти характеристики, приведена на рис. 1.18,6. Импедансы входов вентиля представлены генераторами токов /а и /в , вольт-амперные характеристики которых могут быть заданы уравнениями диодов. Напряжение зависимого генератора Е\ определяется в соответствии с логической

таблицей истинности Y = A xB следующим образом. Если хотя бы один из входных сигналов меньше или равен 0,8 В, то значение Е\ равно минимальному уров­ ню логической 1, т. е. 3,1 В. Если оба входных сигнала равны или превышают уровень 1,9 В, то значение Е\ вычисляется равным уровню логического 0, т. е. 0,3 В. При любых других состояниях, например во время из­ менения входного состояния, Е\ вычисляется равным

разности между =3,1 В и минимальным из вход­ ных напряжений. Напряжение зависимого генератора Е2

ввыходной цепи равно напряжению на емкости С\. Задержки переключения можно изменять с помощью

варьирования емкостью Ci, приводящего к изменению постоянной времени R\Ci. Сопротивление Rz определяет выходное сопротивление вентиля. Его можно принять постоянным и равным 30 Ом. Реально выходное сопро­ тивление ТТЛ ИС зависитот режима работы. Поэто­ му для повышения точности расчетов в выходную цепь включен генератор тока /о, позволяющий учесть (если это необходимо) изменение выходного сопротивления схемы при изменении режима. Аналогично могут быть построены простейшие макромодели других электронных схем: триггера, формирователя и т. д. [12].

Эквивалентная схема рис. 1.18 является простейшей формальной макромоделыо, отражающей только основ­ ные характеристики ТТЛ-вентиля. Для повышения точ­ ности можно использовать более сложные модели, уравнения которых получаются из приближенного реше­

ния системы дифференциальных уравнений, описываю­ щих схему.

Таким образом, макромодели ИС, так же; как и мо­ дели элементов ИС, могут иметь разный уровень слож­ ности и быть построены относительно различных пара­ метров. Основное назначение макромоделей —уменьше­ ние вычислительных затрат, что позволяет моделировать большие электронные системы. Макромодель строится путем упрощения системы дифференциальных уравне­ ний (заменой ее системой более низкого порядка), опи­ сывающих модель рассматриваемой схемы (логического элемента, триггера и т. д.), до уровня, определяемого требуемой точностью моделирования ее внешних харак­ теристик (логических уравнений, задержек и т. д.) с точки зрения функционирования всей электронной си­ стемы.

Глава 2

БИПОЛЯРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ. ФИЗИКО-ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Расчет полупроводниковых приборов и компонентов ИС предусматривает выбор исходного полупроводнико­ вого материала с необходимыми электрофизическими свойствами, параметров профиля -примеси, геометриче­ ских размеров и конфигурации диффузионных областей и омических контактов, которые обеспечивают требуе­ мые электрические характеристики. Задача расчета может быть успешно решена при наличии модели, свя­ зывающей выходные электрические характеристики при­ бора с параметрами его физической структуры и топо­ логии. Для любой из структур транзистора такая модель в общем виде описывается трехмерной системой уравнений переноса тока, непрерывности и Пуассона

( 1 . 4 ) — (1 . 9 ) .

Решение трехмерной задачи чрезвычайно громоздко и требует очень больших затрат машинного времени. Трехмерную задачу необходимо корректно упростить, сведя ее к совокупности одномерных или в крайнем слу­ чае двумерных задач.

Как правило, у интегральных транзисторов глубины залегания р — л-переходов значительно меньше разме­ ров диффузионных областей в плоскости кристалла, по­ этому иногда можно пренебречь краевыми эффектами

18

у границ/; —/l-переходов [I]. Вследствие этого физиче­ ские процессы в приборе можно разделить на одномер­ ные и двумерные.

Одномерные процессы связаны с переносом носите­ лей заряда в глубь диффузионной структуры в направ­ лении от эмиттера к коллектору. Математически эти процессы описываются одномерной системой уравнений (1.4) —(1.9), решение которой позволяет связать элек-

Рис. 2.1. Трехмерная структура интегрального транзистора.

трические характеристики (токи, емкости, коэффициенты передачи по току, проводимости и т. д.) р —//-переходов и диффузионных областей с параметрами профиля при­ меси (с поверхностными концентрациями на различных этапах диффузии, глубинами залегания р —/t-переходов

ит. д.) и электрофизическими свойствами материала. Двумерные процессы обусловлены специфическими

особенностями топологии интегрального транзистора. Из рис. 2.1 видно, что омические контакты расположены на поверхности кристалла и занимают значительную пло­ щадь над диффузионными областями. Следовательно, помимо переноса носителей заряда в глубь диффузион­ ной структуры будет наблюдаться их диффузионное и дрейфовое-растекание по области базы и коллектора в плоскости YZ. Интегральные транзисторы имеют срав­ нительно большие сопротивления базового слоя под эмиттером и высокоомную коллекторную область, поэто­ му эффект растекания может быть значительным. При описании эффектов растекания тока предполагают, что

они	обусловлены основными носителями Ш ;	поэтому
при	решении системы уравнений (1.4) —(1.9)	можно

Пренебречь составляющей тока неосновных носителей. Математически задача расчета полей потенциалов сво­ дится к решению двумерных уравнений Пуассона и Лапласа в многосвязных областях сложных конфигура­ ций [2].

Решение двумерной задачи в плоскости кристалла YZ позволяет связать выходные электрические характе­ ристики и параметры прибора с геометрическими раз­ мерами и конфигурацией диффузионных областей и омических контактов.

Методы машинного расчета транзисторных структур можно разделить на две категории. К первой относятся методы, базирующиеся на предположении, что транзи­

сторная структура может быть разделена на	области
с объемным зарядом (р— я-переходы) п без	него [3].

Для каждой из областей в отдельности находится при­ ближенное решение, а затем они «сшиваются» в гранич­ ных точках, и таким образом формируется решение для структуры в целом. Такой подход дает удовлетворитель­ ные результаты для структур с достаточно протяженны­ ми областями эмиттера, базы и коллектора при низком уровне инжекции.

В последнее время возникла настоятельная необходи­ мость в разработке более точных и общих методов рас­ чета полупроводниковых приборов. Это объясняется тем, что усложнение структуры приборов, уменьшение их геометрических размеров и переход к функциональным приборам не позволяет получить необходимую точность расчета с помощью методов первой категории. Наи­ большую погрешность вносит деление прибора на ха­ рактерные области. В современных высоко- и сверхвысокочастотиых транзисторах установить границы между р — ^-переходами и нейтральными областями можно лишь весьма условно.

Методы второй категории используют численное ре­ шение основных уравнений полупроводника без введе­ ния упрощающих допущений и разбиения структуры на отдельные области. Естественно, что получение решения в этом случае по сравнению с методами первой катего­ рии связано с гораздо большими математическими и вычислительными трудностями. Методы второй катего­ рии представляют собой наиболее эффективное средство для точного моделирования электрических характери­ стик интегральных компонентов и анализа отдельных