книги / Твердотельная фотоэлектроника. Физические основы

2.1 О КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ 91

При переходе атома из одного состояния в другое, например из состоя­ ния тп в состояние п, распределение заряда электрона в нем, по крайней мере за время волнового цуга, определяется стационарными волновыми функциями начального и конечного состояний электрона фт {т) и фп {г). Однако принцип Гейзенберга (2.1.15) допускает возможность определения энергии системы (а, следовательно, и состояния, в котором она находится) только с неопределен­ ностью во времени S t ^ h / |<gm - &п\. Поэтому нельзя предсказать изменение со временем волновой функции для отдельной квантовой системы. Удается рассчитать только временные зависимости волновой функции и вероятности квантового перехода, усредненные для большого числа систем, находящихся в одинаковых условиях (это и будет далее проиллюстрировано).

Однако для определения частоты излучения, возникающего при переходе электрона с уровня m непосредственно на уровень п, достаточно рассмотреть соответствующий дипольный момент

D mn (t) = qJФп (г, t) г фп (г, t) dV =

v
= exp ^ (<gm -	<Sn) t j q j v4 ( r ) r ^ (r) dV =
	—DmnCXp |	((§m -<gn) ^ .	(2.1.17)
Величина Dmn называется	матричным дипольным	моментом	перехода

т -»■ п. Если Dmn ф 0, при таком переходе возникают осцилляции дипольного момента с собственной частотой колебаний, равной боровской частоте штп = = |(§m - <Sn|//i. Количественные соотношения при этом совпадают с формулами классической электродинамики для осциллирующего электрического диполя, если в качестве Do в формулу (2.1.16) подставить амплитуду колебаний D mn и учесть населенность энергетических уровней.

Совокупность матричных дипольных моментов D mn для всех переходов в квантовой системе принято записывать в виде двумерной матрицы, недиаго­ нальные элементы которой при т ф п соответствуют испусканию или погло­ щению излучения на частотах, определяемых правилом Бора.

Вынужденные переходы электронов между уровнями (определяющие по­ глощение или стимулированное излучение) вызываются, например, взаимодей­ ствием между электрическим полем электромагнитной волны и электрическим дипольным моментом атома. При этом энергия возмущения представляется в

виде
1У = 9Е (М )г.	(2.1.18)

Здесь Е (г ,t) — вектор напряженности электрического поля электромагнитной волны. Длина волны оптического излучения обычно много больше размеров

92 ОПТИЧЕСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ Гл. 2

атома и так называемые матричные элементы возмущения для переходов т —у п выражаются соотношением

w mn = q j (r)E(r,t)ry>„(r) dV =

V

= E(0,t)qJ<p*m (r)r<pn (r)dV = E (0 ,i)D mn. (2.1.19)

v

Теперь может быть оценена вероятность квантовых переходов при воздей­ ствии на систему внешних электромагнитных полей.

Обычно возмущение, под воздействием которого происходит квантовый пе­ реход, мало по сравнению с внутренней энергией системы Wmn <С |<ВТО—£n| и поставленная задача решается с помощью теории возмущений.

При возникновении возмущения W в уравнении Шредингера (2.1.7) вместо £„ следует записать d>„ + W — к невозмущенному гамильтониану добавляется энергия взаимодействия с внешним полем. Волновая функция нового уравнения Шредингера ищется в виде ряда, составленного из невозмущенных стационар­

ных волновых функций ipk{r,t):
</>М = Е С* (О V* (г, О = £	Ск(0 4>k(г, t) exp		.	(2.1.20)
к	к	4	'

Очевидно, что квадраты модулей зависящих от времени коэффициентов \Ck{t)\2 равны вероятностям того, что в момент времени t система находится в

состоянии щ (г).	При этом	|Ст (0)|2 = 1 |Сп (0)|2 = 0, а условие нормировки
коэффициентов	\Ск (£)|2	= 1.

Проведя обычные для теории возмущений преобразования и применив для нахождения зависящих от времени коэффициентов С'к (0 метод последователь­ ных приближений (с промежуточными выкладками читатель Может ознако­ миться в учебниках по квантовой электродинамике), получают следующее вы­ ражение для полной вероятности перехода за единицу времени из начального состояния т в конечное п через все доступные благодаря возмущению проме­ жуточные СОСТОЯНИЯ Пь П2'.

Рт/1 — |с .(0 Г	= f ' M”	—&п)	(2.1.21)

Соотношение (2.1.21) справедливо при достаточно больших временах по сравнению с периодом колебаний. Здесь <5 — дельта-функция Дирака, равная

нулю при всех энергиях, не равных Sm -			&п (подробнее о 5-функПии — в гл. 4).
Матричный элемент перехода Мтп имеет вид
Мпп = W„	w mni Wnin			w,mni Wninj Wn2„
	>n.	+ £		(2.1.22)
ni				(Sm Sni) (<£ni Sn3)
		Hjn2

2.2 О КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ 93

Первому слагаемому в (2.1.22) соответствует первое приближение теории воз­ мущений, второму — второе и т. д.

Соотношение (2.1.21) свидетельствует, что в любом приближении вероят­ ность перехода отлична от нуля только при выполнении закона сохранения энергии, когда энергия поглощенного или испускаемого фотона равна разности энергетических уровней квантовой системы |<8m -<Sn| в начальном и конечном состояниях.

Непосредственный переход между состояниями т и п возможен, если мат­ ричный элемент возмущения между этими состояниями Wmn не равен нулю. Тогда остальными членами в (2.1.22) можно пренебречь из-за их малости.

Некоторые из матричных элементов возмущения могут оказаться равными нулю — соответствующие переходы невозможны в дипольном приближении и называются запрещенными. Принадлежность перехода к разрешенным или запрещенным определяется «правилами отбора», которые диктуются главным образом симметрией волновых функций в начальном и конечном состояниях. Дипольный матричный элемент Dmn отличен от нуля только для уровней с различной четностью. Матричный элемент возмущения Wmn зависит также и от взаимной ориентации векторов D тп и Е.

Если Wmn = 0 и переход т —>• п запрещен в первом приближении теории возмущений, он может осуществиться через промежуточное состояние nj, если не равны нулю матричные элементы возмущения Wmni и Wnin. В промежуточ­ ном состоянии щ система может находиться лишь очень короткое время St, определяемое соотношением неопределенностей StS&~h, при этом закон со­ хранения энергии не соблюдается. Однако для перехода в целом соблюдение закона сохранения энергии по-прежнему необходимо. Состояния пх и переход в эти состояния называются виртуальными.

Вероятность перехода в третьем приближении теории возмущений (после­ довательно через два промежуточных состояния) оказывается меньше, чем во втором приближении.

В следующей главе уравнение Шредингера использовано для решения небольшого числа математически простых стационарных задач, дающих пред­ ставление об энергетических уровнях электронов в полупроводниковых кри­ сталлах и квантоворазмерных структурах. Для объяснения оптических свойств этих объектов привлекаются вероятности переходов и правила отбора, рассчи­ танные методами квантовой электродинамики.

94

ОПТИЧЕСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

Гл. 2

2.2. Волновые и корпускулярные свойства оптического излучения

В классической волновой оптике, базирующейся на системе феноменологи­ ческих уравнений Максвелла, оптическое излучение представляется в виде поперечных электромагнитных волн. Напряженности электрического Е и маг­ нитного Н полей в волне колеблются синхронно, направления векторов Е и Н взаимно перпендикулярны и перпендикулярны направлению распространения излучения (рис. 2.2.1). Переменное электрическое поле создает переменное маг­ нитное поле и наоборот. В результате этого и распространяется в пространстве

электромагнитная волна, причем на­ правление распространения энергии волны, вектор Пойнтинга, определяет­ ся векторным произведением

		S = [Е х Н]
		(направление S находится по «правилу
		буравчика» при повороте его ручки от
		вектора Е к направлению вектора Н).
Р и с . 2.2.1. Плоская линейно поляризован­		В вакууме электромагнитная вол­
ная электромагнитная волна		на распространяется с наибольшей воз-
можнои скоростью	скоростью света с = 1/^/еоМо ~ 3 • Ю10 см/с (ро — маг-

нитная проницаемость вакуума). При переходе из вакуума в другую среду частота v электромагнитной волны не меняется.

Интенсивность излучения, усредненная за время, много большее периода электромагнитного поля, составляет

/ = |S| = рс,

где р = еоЕ2/2 + роН2/2 — объемная плотность энергии электромагнитного излучения.

Кроме энергии, электромагнитная волна переносит импульс (количество движения), распределенный в пространстве с объемной плотностью:

р	[Е х Н]	S
	с2	“ с2 *

Откуда |Р| = р/с.

Электромагнитная волна называется плоской, если векторы Е и Н зависят от времени и только одной декартовой координаты — все лучи параллельны этой координате. Для плоской волны £QE 2/2 = р.0Н 2/2 и / = £QE 2C.

Электромагнитную волну называют монохроматической, если векторы Е и Н электромагнитного поля совершают гармонические колебания. Длина волны

2.2

ВОЛНОВЫЕ И КОРПУСКУЛЯРНЫЕ СВОЙСТВА ОПТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

95

монохроматического излучения определяется очевидным соотношением

с2жс

иы

{и = 2жи — угловая частота) и представляет собой расстояние, на которое по­ верхности равной фазы, перемещающиеся в вакууме со скоростью света vф = с, смещаются за один период колебания

у1 _27г

ии

Вектор к = А;п = (27г/А)п {к = 2ж/\ — волновое число, п — единичный вектор в направлении распространении волны) называется волновым. С его ис­ пользованием вектор электрического поля плоской монохроматической волны, распространяющейся, например, в направлении оси можно представить в комплексной форме Е = E0e x p (j(u t - kz)). Здесь Е0 — амплитудное значение вектора Е, {ut - kz) — фаза волны.

Плоско- (или линейно) поляризованным называют излучение, у которого направление колебаний векторов Е и Н в любой точке пространства остаются неизменными во времени. В этом случае плоскостью поляризации называется плоскость, проходящая через вектор Е и направление распространения излу­ чения. У неполяризованного или естественного излучения векторы электриче­ ского и магнитного полей изменяют свое направление хаотически.

Любую реальную электромагнитную волну можно представить набором (су­ перпозицией) плоских монохроматических волн с разными частотами, амплиту­ дами и поляризацией. Для того, чтобы охарактеризовать распределение энергии реального излучения по частоте, используется функция спектральной плотно­ сти р{и), удовлетворяющая соотношению

ОО

Jp{u)du = р.

о

При распространении электромагнитного излучения в других средах вли­ яние свойств среды учитывается с помощью трех величин: ее относительной диэлектрической проницаемости ег, относительной магнитной проницаемости рг и удельной электропроводности а на частоте волны.

В квантовой физике элементарную частицу (квант) электромагнитного из­ лучения называют фотоном. Фотон является нейтральной частицей, не име­ ющей электрического заряда. Масса покоя фотона равна нулю, а скорость в вакууме равна скорости света. Энергия £ф0Т и импульс фотона РфОТ связаны с частотой v и волновым вектором к эквивалентной плоской монохроматической

Р и с . 2.2.2. Спектральные зависимости кван­ тового выхода гц (/) и токовой чувствительно­ сти 5,- (2) идеального квантового фотоприем­ ника с граничной длиной волны Ат

96

волны соотношениями

ОПТИЧЕСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

Гл. 2

^ ф о т — h i s — h b j ,

his

Р Фот “ h\t — и*

с

Спин фотона равен единице. Следовательно он относится к Бозе-частицам, описываемым статистикой Бозе-Эйнштейна. Известно, что Бозе-частицы стре­ мятся занять квантовое состояние в неограниченном количестве — на них не действует запрет Паули, согласно которому энергетическое состояние могут занимать не более двух частиц с различными спинами.

Наконец, каждый фотон может быть охарактеризован некоторым состояни­ ем поляризации: линейно-поляризованное электромагнитное излучение пред­ ставляется совокупностью линейно-поляризованных в той же плоскости фото­ нов.

Каждое из состояний фотона связывается с волновой вероятностной функ­ цией де Бройля, параметры которой (частота, волновой вектор и поляризация) совпадают с соответствующими параметрами электромагнитной волны. Прин­ цип суперпозиции этих волновых функций позволяет объяснить такие явления как интерференция, дифракция, поляризация отдельных фотонов и примирить противоречия между корпускулярными и волновыми свойствами света.

Принципиально важным моментом квантовой теории электромагнитного по­ ля является то, что обмен энергией и импульсом между фотонной и атомной (электрон, атом, молекула и т. д.) си­ стемами происходит путем рождения одних и исчезновения других квантов света. Это отличает фотонный газ от газа, состоящего из неизменного чис­

ла частиц.

Генерация электромагнитного из­ лучения осуществляется при осцил­ ляции объемной плотности электри­ ческого заряда (момента электри­ ческих диполей), сопровождающей спонтанные или индуцированные пе­ реходы квантовых систем из одного энергетического состояния в другое.

Идеальным фотонным (кванто­ вым) приемником можно назвать та­ кой фотоэлектрический приемник из­

лучения, который на каждый падающий на него квант реагирует прохождением в электрической цепи одного электрона и не имеет собственных темнового тока и шумов. Спектральная характеристика квантового выхода такого приемника

2.3 ИЗЛУЧЕНИЕ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА 97

представлена на рис. 2.2.2 (кривая /). Длинноволновая граница спектраль­ ной чувствительности ограничивается энергией активации, например, шири­ ной запрещенной зоны полупроводника &g = hu = h c /\m. Откуда Am = hc/£s или Атомкм = l,24/(<Sg3B)

Токовая чувствительность идеального фотонного приемника (с квантовым выходом равным единице и без усиления) на любой длине волны при А < Ато равна

Siгид

Спектральная зависимость токовой чувствительности идеального квантового фотоприемника также приведены на рис. 2.2.2 — кривая 2.

Идеальные тепловые фотоприемники, преобразующие в выходные ток или напряжение мощность падающего на них излучения, обладают не зависящей от длины волны чувствительностью.

2.3. Излучение абсолютно черного тела

Фундаментальным понятием при рассмотрении источников оптического излу­ чения является понятие об абсолютно черном теле. Абсолютно черным телом называется тело, поглощающее падающее на него излучение полностью, неза­ висимо от длины волны, направления распространения, поляризации и прочих характеристик излучения.

Еще в середине XIX века немецкий физик Густав Кирхгоф, исходя из прин­ ципа термодинамического равновесия («в системе тел, имеющих одинаковую температуру, взаимное излучение не нарушает равновесия»), пришел к выво­ ду, что отношение излучательной способности (энергетической яркости) тела к его поглощательной способности не зависит от природы тела и, следователь­ но, одинаково для всех тел. Это отношение является универсальной функцией температуры Т и длины волны А и равно излучательной способности тела, поглощающего весь падающий на него поток излучения.

Возможность получения излучения, равновесного с телом, находящимся при некоторой температуре, а также теоретической оценки мощности этого излучения выделяет абсолютно черное тело среди других тепловых источни­ ков. Очевидно, что температурное излучение любого тела при любых Г и А не может превышать излучения абсолютно черного тела. В частности, даже поглощающее излучение тело (например, металл) с зеркальной (хорошо отра­ жающей) поверхностью само практически не испускает тепловое излучение и как бы является антиподом абсолютно черного тела.

Моделью абсолютно черного тела является полость с непрозрачной оболоч­ кой и небольшим отверстием. Такая полость ведет себя как абсолютно черное тело, так как проникающие в полость извне лучи полностью поглощаются в ней после одноили многократного попадания на внутренние стенки, не зависимо от материала стенок полости и их обработки.

4 -7 4 7

98

ОПТИЧЕСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

Гл. 2

Вспомним зрачок глаза, имеющий черный цвет. Внутренняя поверхность глазного яблока включает слой пигментного эпителия, поглощающего свет.

Если внутренние стенки непрозрачной полости поддерживаются при опре­ деленной температуре, то электромагнитное излучение в полости, создаваемое тепловым движением электрических зарядов в материале ее стенок, является термодинамически равновесным в системе тело-поле. Через небольшое отвер­ стие часть равновесного теплового излучения выпускается наружу. Независи­ мость параметров излучения абсолютно черного тела от любых факторов, кро­ ме температуры полости, делают его эталонным температурным излучателем. Если в конструкции абсолютно черного тела полость погружена в расплавлен­ ный металл, она поддерживается при температуре точки затвердевания этого металла, обычно известной с точностью до долей градуса.

2.3.1. Плотность равновесного теплового излучения. Распределение мощности равновесного температурного излучения по спектру оказалось воз­ можным теоретически рассчитать в результате драматического преодоления «ультрафиолетовой катастрофы» в классической физике XIX века и создания

на основе гипотезы Планка об испускании и поглощении электромагнитного излучения квантами (фотонами) квантовой механики.

Плотность равновесного теплового излучения рассчитывается исходя из представления о системе осцилляторов с квантованными уровнями энергии — стоячих электромагнитных волн с частотами находящихся в термодина­ мическом равновесии со стенками замкнутой полости. Фотоны как частицы со спином, равным атомной единице (h/(2n)) момента импульса, подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна, когда, как упоминалось в разделе 2.2, любое со­ стояние системы может быть занято любым числом частиц. При этом каждый осциллятор может иметь энергию, равную целому числу п квантов (нулевыми колебаниями с энергией hi//2 пренебрежено). Вероятность занятости каждого уровня рп пропорциональна фактору Больцмана exp{-n h u / (кТ))'-

где А — коэффициент пропорциональности, определяемый из условия, что сум­ ма вероятностей занятости всех уровней равна единице:

^2exp[-nhv/(kT)]’

П

Тогда среднее число фотонов с энергией hv

(2 .3 .1 )

П

2.3	ИЗЛУЧЕНИЕ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА	99
В последнем уравнении через х обозначена величина exp [-h v/(kT )\.		Оче­
видно, что	при любом значении hv/(kT) значение х < 1. Тогда сумма	ряда
£ ]xn = (1 -	г)-1 . Продифференцировав это выражение, получим
П

Умножив левую и правую часть последнего соотношения на х, получим

	Х > " = (1 -		г ) ‘	(2.3.2)
И, наконец, среднее число фотонов на уровне с энергией hv
х/(1 — х)2	X	1	_	1
1/(1 — х)	1 — х	1/х — 1		exp[/u//(/tT)] — 1

Остается вычислить, сколько состояний в интервале частот от v до v + dv имеется в единичном объеме электромагнитного поля. При квантовом подходе каждому энергетическому состоянию приписывается объем в шестимерном фа­ зовом пространстве, равный h3 Это является следствием соотношения неопре­ деленностей Гейзенберга, устанавливающего, что для каждого из трех про­ странственных направлений ДхДрх ~ h.

Так как направления импульсов фотонов распределены изотропно, то по­ верхностью равных импульсов является сфера с радиусом р, а объем шарового слоя толщиной dp составляет 4тгp2dp. Очевидно, что число ячеек с объемом h3 в шаровом слое 4жp2dp/h3 Заменив импульс по формуле р = hv/c, получим для числа ячеек величину 4тгv2dp/с3 Постоянная Планка h сократилась. Это озна­ чает, что формулу для числа состояний возможно получить и в классической физике, что и было сделано в свое время Рэлеем.

Так как каждое состояние характеризуется не только энергией и импульсом, но и поляризацией вправо или влево по кругу, то полное число состояний в объеме 1 см3 и в интервале частот от v до v + dv найдем, умножив полученное выражение на 2:

и2 S(v)dv = 87Г — dv.

cJ

Умножив спектральную плотность состояний на среднюю энергию состоя­ ний Tihv, получим энергию электромагнитного поля в единице объема в интер­ вале частот dv:

(v,T)dv = 8тгhvJ	1	■dv.
с3	exp(hv/(kT)) — 1

Это выражение известно как формула Планка для излучения абсолютно черного тела.

4*

100

ОПТИЧЕСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

Гл. 2

Абсолютно черное тело по определению является идеальным диффузным (ламбертовским) излучателем: энергетическая яркость его отверстия не зави­ сит от угла а между нормалью к отверстию и направлением распространения излучения. Следовательно, в элементарный телесный угол dQ из отверстия площадью 1 см2 испускается поток энергии излучения (рис. 2.3.1)

dQ,

dM (v,T) dv = c&(v,T) d v — cos a.

4?r

Здесь 4л- — полный телесный угол; площадь единичной излучающей площадки, наблюдаемой под углом а, составляет cosa. А спектральная плотность мощно­ сти излучения в полусферу (спектральная энергетическая светимость абсолют­ но черного тела)

2тг	w/2
М2ж(и, Т) dv = -^-S(v, Т) dv i f	cos adQ, =
ip=Q ar=0
	2тг	W/2
= j-& (v,T)dv j		dip j	sin a:cos a; = ^S(v,T)dv.

Обратим внимание на то, что мощность диффузного излучателя,

излучаемая в пределах конуса с углом а ^ а тах составляет
	м аш.х {v,T) = M2v {v,T) sin2
	так как
	С*max		_
	/ cos a sin a da =		sin omax
	Множитель	перед	интегралом
	cS (v,T) / (47г) =	В (v ,T ) представляет
	собой спектральную энергетическую
Р и с . 2.3.1. Схема излучения элементарной	яркость абсолютно черного тела —
площадки dA в полусферу	мощность, излучаемую		в направле­

нии под углом а к единичной площадке в телесный угол, равный 1 стерадиану. Очевидно, что для диффузных излучателей

B (v,T ) = - M 2ir(v,T).