книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1
.pdfРис. 4.46. Сферическая модель по- |
Рис. 4.47. Экспоненциальная и сфе |
лувариограммы. |
рическая модели полувариограммы. |
Буквой а обозначена абсцисса точки, |
Обе модели имеют один и тот же |
в которой полувариограмма становится |
начальный наклон [9]: |
равной дисперсии сто2 |
1— экспоненциальная модель; 2 — сфе* |
|
рическая модель |
ная модель является идеально хорошей аппроксимацией. Это хорошо видно на рис. 4.47, где обе модели, сферическая и экс поненциальная, почти совпадают с прямой линией вблизи нача ла координат. Если регионализованная переменная была опро бована с достаточной плотностью, относительно области влия ния, то значимых различий между оценками, полученными в> условиях линейной, сферической или другой модели нет.
с п е к т р а л ь н ы й а н а л и з
Спектральный анализ — это метод разложения изменчивостивременного ряда на отдельные компоненты, соответствующие продолжительности или длине интервалов, в пределах которых, эта изменчивость проявляется. Для его осуществления времен ной ряд рассматривается как сумма большого числа более про стых временных рядов, имеющих вид регулярных синусоид с различными амплитудами, длинами волн и начальными точками. В вычислениях можно предполагать, что синусоиды независимы друг от друга. Так как сумма всех этих синусоид дает исходныйвременной ряд, то сумма изменений во всех синусоидах долж на быть равна общей изменчивости ряда.
В различных руководствах спектральный анализ имеет раз личные названия, например гармонический анализ, анализФурье или частотный анализ. Название этого метода восходит к теории музыки, изучающей закономерности, связанные с коле баниями. В XVII веке Кеплер, применяя соотношения гармони ческого анализа, найденные им в арифметике, геометрии и музы ке, открыл законы планетарного движения. Однако Жан Ба тист Фурье (1768—1830 гг.) доказал общую теорему о том, чтолюбая однозначная непрерывная функция может быть представ лена в виде ряда из синусоид. Эта теорема теперь носит егоимя. Прежде чем подробно излагать теорию рядов Фурье, мы, должны определить ряд терминов. Большинство этих терминов-.
28 2
ззято из электротехники и используется при анализе электриче ских сигналов. Хотя электрический сигнал представляет собой изменение энергии волны с течением времени, инженеры любят представлять себе его «замороженным» в осциллографе. При из ложении теории рядов Фурье инженеры всегда предполагают, что сигнал изменяется со временем, однако тот факт, что они исследуют сигнал как пространственное явление на экране ос циллографа, указывают, что время и пространство считаются равноправными. Несомненно, математически это корректно, и та неосознанная легкость, с которой инженеры пользуются таким допущением, может убедить нас в том, что эти два понятия, как правило, взаимозаменяемы. Поэтому наше изложение термино логически несколько отличается от такового в большинстве ра бот по анализу сигналов.
На рис. 4.48 изображен повторяющийся сигнал, который можно описать чистой синусоидальной волной. Расстояние от одной точки волны до эквивалентной точки на следующей вол не называется длиной волны X. Частота f — характеристика, об-
t 1
ратная длине волны, т. е. j= ------число волн, укладывающихся
X
в единицу длины или времени. В большинстве инженерных рас четов сигнал характеризуется частотой. В геологических задачах интереснее иметь дело с длиной волны. Время, требуемое для того чтобы правильный сигнал повторился, называется его пе риодом. Термин период является эквивалентом длины волны, но период измеряется в единицах времени, например в миллисекун дах, a lie в единицах расстояния, т. е. в сантиметрах. При описа нии таких явлений, как морские волны, удобно пользоваться как длиной волны, так и периодом. Длина волны в этом случае из меряется как расстояние между гребнями соседних волн, пери од— как время, требуемое для того чтобы две последователь ные волны прошли фиксированную точку отсчета, например ко нец волнореза. Это временной промежуток между моментом по явления одной волны и моментом появления другой. (Возникно вение термина периодический обязано слову период, которое означает сигнал, повторяющийся с правильными интервалами.) Половина расстояния от впадины волны до гребня называется амплитудой (Л).
На рис. 4.49 изображены две одинаковые синусоидальные кривые, смещенные относительно друг друга. Соответствующие нм амплитуды и длины волн одинаковы. Разность между зна чениями У', и }'2 при данном значении xt определяется различи ем в фазе между двумя волнами. Это различие можно описать с помощью фазового угла Ф, а его определение уяснить себе с по мощью рис. 4.50. Простое механическое приспособление для по лучения синусоидальной волны состоит из диска радиуса г, вра щающегося с постоянной скоростью. Карандаш, закрепленный
283
----------у-----------
Рис. 4.48. Регулярное повторение си |
Рис. 4.49. Две синусоидальные волны* |
нусоидальной волны: |
которые идентичны по форме. |
Я— длина волны; Л — амплитуда |
Различия между У] и У2 для специфиче |
|
ского значения .V характеризуют разиость- |
|
фаз двух волновых форм |
_1_ |
J |
2зГ 1Я |
о |
Рис. 4.50. Простое механическое приспособление для вычерчивания синусоидальной волны путем преобразования вращательного движения в линей ное (а). Различие между углом и радиусом диск* и амплитудой н фазовым углом синусоидальной волны (б). Изображена часть волны, соответст вующая изменению угла Ф от нуля до значения, немногим большего 2я радиан, т. е. почти одному
полному повороту диска
на стержне, присоединенном к краю диска, вычерчивает линию
на бумаге, двигающейся с постоянной |
скоростью |
под концом |
стержня. Эта линия является синусоидальной |
кривой, име |
|
ющей амплитуду А = г и длину волны, |
представляющую собой |
|
функцию скорости вращения диска и скорости движения бума ги. Значение У в любом положении равно У = Лэшф.
Если мы хотим вычертить полную волну, то точка закрепле ния стержня на диске должна сделать полный оборот вокруг центра диска, т. е. повернуться на 360° или на 2л радиан. Пред положим, что мы начинаем вычерчивание при произвольном на чальном положении карандаша на бумаге, которое мы назовем нулевым. Угол а между карандашом, центром диска и горизон тальной линией на бумаге имеет некоторое значение <р (рис. 4.51). Если мы в процессе работы с прибором сдвинемся вниз на расстояние Xi и остановимся, то карандаш окажется в точке,.
284
координата У которой равна A sin(2nXi/X-\-(p). Угол а,- будет (2ях,-/Х-}-<р). 'В этих выражениях X есть общая длина записи» Важно отметить, что начальный угол а=<р в исходном положе нии является постоянным для всех последующих значений ам плитуды координаты Y и угла а. Константа <р называется фа зой, фазовым углом, или фазовой константой. Три параметра — амплитуда, длина волны и фазовый угол — полностью описыва ют форму волны. Фазовый угол синусоидальной волны измеря ется от горизонтальной линии, проходящей через центр.
Если мы хотим построить ряд волн различной формы, то для этого нужно изменить амплитуду, длину волны или фазовый угол. Можно также описать косинусоидальную кривую, по фор ме идентичную синусоидальной, но характеризующуюся фазо вым углом {J, измеряемым от вертикальной прямой, проходящей через центр устройства. Иными словами, косинусоидальная вол на отличается от синусоидальной по фазе на 90°, или на я/2 ра диан. Если к нашему устройству присоединить другой карандаш, как это указано на рис. 4.52, то мы сможем вычертить одновре менно как синусоидальную, так и косинусоидальную волны. Оче видно, что они отличаются одна от другой только фазовым уг лом. Мы можем суммировать основные тригонометрические со отношения с помощью рис. 4.53, представляющего синусоидаль ную кривую. Это разложение дано в терминах функции косину са, но эквивалентное разложение, ведущее к тому же соотноше нию, основано на синусе. Допустим, что волна на расстоянии X или за время X укладывается целиком. Любая точка X в преде
лах этого интервала может быть выражена |
в радианах с по |
мощью формулы обращения |
|
0 = 2яxfX. |
(4.82) |
Теперь координаты X покрывают интервал от 0 до 2л радиан. Для удобства мы предположим, что амплитуда кривой равна единице. Тогда уравнение кривой имеет вид
У = cos 0. |
(4.83) |
Эта амплитуда может быть заменена любой другой амплитудой просто умножением на коэффициент А :
Y = A cos 0. |
(4.84) |
Число циклов, которое встречается внутри основного интервала (частота), может быть увеличено или уменьшено умножением 0 на коэффициент k:
Y = cos k 0. |
(4.85) |
Как нарисовано, максимум волны находится в начале коорди
нат, но он может быть сдвинут в любое положение вычитанием фазового угла <р:
У = cos (0 — Ф). |
(4.86) |
Комбинируя все эти модификации, мы найдем, что любая кри-
Pile. 4.5!. Постепенное изменение фазового угла от начального значения Ф-
Для последовательных значений х:, Yt=A sin(2ях17Л,+ф) и аг=2лл'/Л’+Ф
вая регулярной синусоидальной формы может быть записана в виде
Yk = Л* cos (60 — ФА). |
(4.87) |
Число k называется числом гармоник, или числом циклов на ба-
J286
Рис. 4.52. Синусоидальная и косину- |
Рис. 4.53. Синусоидальная волна. Об- |
соидальная волны, соответствующие |
щая длина кривой равна 2л радиан |
вращению диска. |
|
а и Р— соответственно фазовые углы для |
|
синусоидальной и косинусоидальной волн. |
|
Изображение соответствует изменению уг- |
|
за Ф от нуля до значения, немногим боль |
|
шего 2л радиан, т. е. одному повороту |
|
диска |
|
зпсный интервал. Так как в спектральном анализе можно ском бинировать много различных гармоник для получения исходного временного ряда, то индекс k необходим для обозначения волно вой формы частного вида.
Далее мы можем использовать тригонометрическое равенст
во для разности двух углов: |
|
cos (R — S) = cos S cos R + sin S sin R. |
|
Переписав равенство (4.87), получим |
|
Yk = As cos <Pftcos kQ + Ль sin Ф* sin kQ. |
(4.88) |
Это выражение может быть упрощено, если определить коэффи циенты a/t=AftCos(pft и Pft= AftSintph. При этом получаем
Yk = a* cosftO + |
sin 60. |
(4.89) |
Любой временной ряд, какой бы сложности он ни был (исклю чая тот случай, когда он непрерывен или без изломов и для каж дого значения х может быть определено только одно значе ние У), может быть представлен в виде суммы рядов косину соидальных волн, определенных таким образом, как изображе но на рис. 4.54. Это — выражение соотношения Фурье:
оо |
|
|
Y — Yiak cos ^ + |
Pft sin *9- |
(4.90) |
ft=0 |
линейное, т. е. все члены |
|
Заметим, что (4.90)— это уравнение |
||
складываются вместе. Оно напоминает по форме полиномиаль
ную регрессию, которую |
мы рассмотрели ранее в этой главе. |
|
В уравнении Фурье тригонометрические |
члены cos kQ и sin kQ |
|
эквивалентны степенным |
членам таких |
многочленов, как X2 и |
Коэффициенты а;, и j}/: этих членов могут быть найдены ме-
287'
б |
д |
6 |
е |
з |
и
г
л Л Л Л А Л Л Л
Рис. |
4.54. |
Результат сложения последовательных |
гармоник |
косииусоидаль- |
||||
|
|
|
ной волны. |
|
|
|
|
|
■а — фундаментальная |
или первая гармоника 4=0,5. k = I. |
ф=0°: 6 — вторая |
гармоника |
|||||
-4=0,3, |
£=2, |
Ф=03; в — третья гармоника 4=0.3, |
*=3, Ф=45°: г — седьмая |
гармоника |
||||
4=0,25, |
£=7, |
Ф= 180°; |
д — первая плюс |
вторая |
гармоника, (а) + (б); |
е — первая плюс |
||
третья |
гармоника, (a)+ (s); ж — первая |
плюс седьмая гармоника, (а) + (г); |
э — первая |
|||||
плюс вторая |
и третья |
гармоники, (о) + (б)+(в): и — первая |
плюс вторая, третья и седь |
|||||
|
|
|
мая гармоники (а) + (б)+ (в)+ (г) |
|
|
|||
тодом наименьших квадратов. Однако если мы попытаемся оце нить эти коэффициенты матричными методами и если требуется определить много гармоник, то мы очень скоро столкнемся с непреодолимыми вычислительными трудностями.
Гармонический анализ
Если временной ряд представляет действительно периодиче ское явление, мы можем использовать технику так называемого гармонического анализа для разложения ряда на его составные части. Временные ряды, обладающие свойством периодичности, встречаются в природе. Это, например, флуктуации приливов и отливов, сезонные изменения температуры, последовательности слоев. Они также включают записи, порожденные такими при борами, как дифрактометр Х-лучей (преобразование Фурье та ких данных является специальной темой). Временной ряд может быть совокупностью наблюдений в дискретном множестве то чек, расположенных с равным интервалом А в пространстве. Ес ли имеется п этих точек, одна из которых есть /, то коэффици енты ah и (5/; ряда Фурье могут быть вычислены по следующим
288
формулам:
п—i
(4.91)
/=0
п— 1
(4.92)
1=0
Эти уравнения не столь сложны, как может показаться на пер вый взгляд; выражения в скобках есть просто представленное в радианах положение /-й точки, если общую длину временного ряда определить как 2л радиан. В силу тригонометрических со отношений коэффициент Ро всегда равен нулю, а ао упрощается
п— 1
i=0 |
(4‘93) |
|
что есть как раз среднее временного ряда. Индексы изменяются от 0 з начале временного ряда до п— 1 в его конце, а не от 1 до п для того, чтобы правильно перевести положение первого на блюдения в радианы.
Определив коэффициенты ап и k-ой гармоники, мы можем определить амплитуду волновой формы в виде
К = 1Ч 2 Ф (V- |
(4-94) |
Фазовый угол k-ой гармоники равен |
|
ф* = tg-ЧМ х*). |
(4.95) |
Выражение tg~! означает: «найти угол, тангенс которого задан». Если в дискретном наборе точек собраны данные для регу лярной синусоиды, то дисперсия этой выборки связана с ампли
тудой этой волновой |
формы. В пределе дисперсия |
есть просто |
половина квадрата амплитуды, или |
|
|
Sn2 |
= А к2/2 = (ak2 + pfe2)/2. |
(4.96) |
Так как теорема Фурье утверждает, что временной ряд можно рассматривать как сумму многих синусоидальных функций или гармоник, то дисперсия временного ряда является просто сум мой дисперсий этих самых гармоник. Мы можем поэтому выра зить дисперсию k-ой гармоники как пропорциональную часть от общей дисперсии временного ряда, из которого она была полу чена. Если мы вычислим длинный ряд гармоник, то дисперсии последовательных гармоник можно нанести на периодограмму, или, как иногда говорят, изобразить дискретный или линейный энергетический спектр. Эго есть попросту представление зави симости частоты или дисперсии от числа гармоник k, и тради ционно представляется в виде, указанном на рис. 4.55. (Терми ны энергия и дисперсия являются синонимами; первый из них
19— 201 |
289 |