книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций

из которых будет определять потенциальную энергию дефор­

мации отдельного конечного элемента, получим:

ш
vTf = £	JfJsISidV		(2.3.5)
i=l V
С другой стороны	m
vTf « £		vTf..	(2.3.6)
	i=l
Для проведения суммирования необходимо осуществить
группировку элементов	по	узлам системы.	Этот процесс

может быть осуществлен путем преобразования вектора пере­ мещений узлов КЭ в вектор v перемещений структуры при

помощи некоторой матрицы Р^г устанавливающей связь между

параметрами элемента и структуры (между локальной нумера­ цией узлов элемента и глобальной нумерацией узлов струк­ туры). Матрица Р является булевой матрицей и содержит только нулевые и единичные элементы:

	v ± = P j V .			( 2 . 3 . 7 )
Аналогично преобразуется		и вектор узловых сил:
	fi “ pif *			(2.3.8)
Для каждого элемента имеет			место матричное	уравнение,
и поэтому уравнение	(2.3.6)	можно преобразовать		следующим
образом:
m		m
vTf = У V JK .V . = vTy			P JK -P .V = vTKv,
L	X X X	L	1 1 1
1=1		1=1

откуда следует матричное уравнение для структуры в целом:

Kv = f .

( 2 . 3 . 9 )

Так как МЖКЭ всегда симметричны и при конгруэнтном преобразовании их симметриясохраняется, матрица жест­ кости структуры (МЖС) также является симметричной.

Вместе с этим, поскольку при формировании МЖС исполь­ зовались особенные МЖКЭ, МЖС будет вырожденной. Ее необ­ ходимо преобразовать путем наложения кинематических свя­

зей, исключающих	перемещения структуры как	абсолютно
твердого тела в	целом.	в другой,
Формирование	МЖС может быть выполнено и

более наглядной интерпретации, основанной на непосред­ ственном составлении условий равновесия в каждом узле конечноэлементной модели. Напомним, что элементы МЖКЭ, ум­ ноженные на неизвестные перемещения узлов, являются сила­ ми реакции в узлах данного КЭ, и, таким образом, чтобы получить равновесие в одном узле, необходимо суммировать силы реакции КЭ, для которых этот узел является общим. Это выполняется по следующей схеме.

Прежде всего, все элементы матрицы К обнуляются. Далее элементы МЖКЭ последовательно суммируются, как это пока­ зано на рис. 2.3.1 Этот прием называют методом непосред­ ственного сложения жесткостей. МЖС и в этом случае полу­ чается особенной и подлежит корректировке с учетом заданных граничных условий.

••

1 3

	Kii Kij	Конечный	элемент стержня
		с узлами	i и j
	К1
	Kji
	i	3

N	Kii	Kij	I
К			Матрица
			жесткости
			структуры
.	Kji

Рис. 2.3.1. Схема формирования глобальной матрицы жесткости.

Статические граничные условия структуры учитываются в векторе внешних сил. Особенность МЖС обусловлена тем, что перенос и поворот общей (глобальной) системы координат не влияет на равновесие отдельных узлов структуры, и поэтому вектор перемещений из разрешающей системы уравнений Kv=f определяется неодноз начно.

Для решения задачи должны быть учтены кинематические граничные условия, это может быть осуществлено следующим образом. Пусть для некоторой структуры заданы по некото­ рым направлениям (степеням свободы) перемещения. Выделим векторы неизвестных узловых перемещений и узловых сил и векторы известных (заданных) узловых перемещений и узло­

вых сил. Обозначая их соответственно через v # f и v_,f_

н н н и

разрешающую систему уравнений для структуры можно запи­ сать в следующем виде:

	к нн	к ни 1		V н	fи ]		(2.4.1)
	КИИ	КИИ		V и	fн
Раскрывая это уравнение,				получим:
		KH H V H	fn ” K HHV H				(2.4.2)
		fH = KM H V H		+ КИИvи			(2.4.3)
Таким образом,		из уравнения			(2.4.2) для заданных		векторов
VИ и fи определится вектор неизвестных						перемещений и
затем из уравнения (2.4.3) - вектор неизвестных сил.
Если перемещения v„			=0, то из (2.4.2) и			(2.4.3), соот-
ветственно,		И
	получим:
		KHHVH ~ V					(2.4.4)
		fН = КИ НvН .					(2.4.5)
Матрица	Кн н	получается		из	общей МЖС - К	путем	вычерки-

вания столбцов и строк, соответствующих компонентам век­ тора v =0.

При расчете на ЭВМ используется и другой прием, позволяющий исключить процедуру переформирования разрешающей

системы уравнений. Вместо исключения столбцов и строк матрицы К увеличивают ее соответствующие диагональные элементы на несколько порядков.

2.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ И УСИЛИЙ В БАЛКЕ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ

В качестве примера обратимся вновь к балочному элемен­ ту. В результате решения системы линейных алгебраических уравнений для структуры, состоящей из балочных КЭ опреде­ ляются перемещения ее узлов. По найденным узловым переме­ щениям вычисляются напряжения в каждом балочном КЭ:

а = C(Bv - е0) + <rQ

(2.5.1)

Найденные значения напряжений позволяют определить все внутренние обобщенные силы в узлах балочного КЭ . Для КЭ-балки получаем:

N(°) -		h/2 Ь/2		ЕА	(и .-и-) ,
		J ( rall(0,dx3]dX2		—
		-h/2-b/2		I	3 1
	h/2	Ь/	Е1.
М(0) =	J [ Jx2o*11(0)dx3|dx2=*-j(6wi+4^-6Wj+2v>j^) г
	-h/2-Ь/		1
	h/2 ь/		ЕХ
М(г)=	Г f	Jx2o*1 1 (i)d x 3 jdx2=— ^ (6wi +49i £-6Wj+29 j £ ),
-h/2-Ь/			L
		м(г)-м(0)	6Ei
Q(0)=		----------------	-------- 3 (2\ri+ipii-2v/^+<p^l).

2.6. УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ мкэ

Как это уже отмечалось выше, в методе конечных элемен­ тов конструкция с бесконечным числом степеней свободы за­ меняется расчетной моделью с конечным числом степеней свободы. Поэтому результат расчета может быть .только при­ ближенным. При этом точность решения задачи зависит преж­ де всего от числа КЭ и выбора функций, аппроксимирующих перемещения или напряжения. Естественно, точность расчета

можно повысить увеличив чирло КЭ, удовлетворяющих опреде­ ленным критериям сходимости. Поведение реальной конструк­ ции исследуется с помощью расчетной модели, при формиро­ вании которой используется ряд допущений. Будем считать, что аппроксимации перемещений удовлетворяют следующим ус­ ловиям:

-КЭ - конформные,

-выбранные аппроксимирующие функции полные.

Если одновременно выполняются эти условия, решение сходится монотонно, т.е. точность решения повышается с увеличением числа КЭ. Такие КЭ называются конформными.

Результаты расчетов с использованием КЭ, удовлетво­ ряющих условию полноты, но не являющихся конформными, яв­ ляются тоже близкими к "точным". Однако, в этом случае сходимость не будет мрнотонной. Требование полноты функ­ ций необходимо для учета смещения твердого тела как цело­ го и состояния с постоянными деформациями внутри КЭ. При смещении твердого тела как целого в конечном элементе напряжений не возникает.

Например, КЭ типа тонкой мембраны должен допускать без возникновения напряжений перемещения как целого по двум направлениям координатной системы и повороты. Допусти­ мость состояния постоянных деформаций можно обосновать сгущением сетки конечных элементов, в предельном случае размеры отдельного КЭ становятся настолько малыми, что деформации на его краях будут практически постоянны, и любые деформации во всей конструкции будут достаточно точно аппроксимированы.

Допущение совместности состоит в том, что перемещения внутри КЭ и вдоль его границ непрерывны. Механический смысл совместности заключается в непрерывности переме­ щений на совмещаемых границах соседних КЭ при нагружении конструкции. Если изменения формы КЭ описываются только перемещениями, тогда они должны быть совместимы. Если вектор изменения формы в узле содержит и угол поворота, как это имеет место при изгибе пластин, то тогда должны быть совместимы также первые производные от перемещений. Это является следствием кинематической гипотезы распреде­ ления перемещений по толщине. Непрерывность нормального

перемещения w и производных dw/dx1, Sw/Зх2 вдоль соответ­ ствующих сторон КЭ означает, что перемещения по толщине смежных КЭ совместимы.

В оболочечных КЭ совместимость достигается сложнее. Тем не менее с помощью ряда неконформных КЭ могут быть достигнуты очень хорошие результаты при расчете тонких оболочек.

Метод КЭ является приближенным. Поэтому он не позво­ ляет получать абсолютно точное решение (матрица жесткости

балки, вывод которой описан в этой глава, является точной). Например, при расчетах методом перемещений - перемещения в узлах будут совмёстимы, а напряжения нет.

При линейном расчете выполняются краевые условия для перемещений и первоначальные уравнения. Разность напряже­ ний в различных КЭ, примыкающих к одному узлу, является выражением качества (критерия) конечноэлементной сетки.

Поэтому можно задавать предел разности напряжений в узлах, при превышении которого в окрестности данных узлов начинает автоматически происходить локальное сгущение сетки КЭ.

Последующий контроль можно осуществлять по разнице между напряжением на поверхности, заданным в качестве краевого условия, и напряжением, полученным в результате расчета, а также по выполнению условий равновесия в КЭ.

КАТАЛОГ МАТРИЦ ЖЕСТКОСТЕЙ

3.1.ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ СТЕРЖНЕВОЙ ЭЛЕМЕНТ

Рассмотрим прямолинейный пространственный стержень (рис. 3.1.1). Выберем следующую локальную систему коорди­

нат: ось			совместим				с	про­
дольной			осью	стержня,				про­
ходящую			через	центр			тяжести		а)	б)
поперечного				стержня,				кото­
рое		считается			постояннь^
между узлами стержня, оси xz
и х		совместим			с	главными
центральными				осями			попереч­
ного		сечения. Нагрузка						дей­
ствует з координатных								плос­
костях и сосредоточена в уз­
лах. Стержень в общем случае
пространственного						деформиро­
вания обладает 12-ю степеня­
ми	свободы (б				степеней сво­
боды		в каждом		узле)			показаны
	На рис. 3.1.1,а
линейные			перемещения					узлов,
а на рис. 3.1.1,6						-	угловые
перемещения. В					принятой пра­
вой	системе декартовых							коор­
динат		линейные			перемещения
считаются				положительными,
если		их	направления				совпада­
ют	с	направлениями					коорди-		Рис. 3.1.1. Прямолинейный
атных		осей.			Положительные
направления угловых							переме­		пространственный	стержень.
щений		определяются				по		прави­			для
лу	буравчика. Такое						же правило знаков принимается
сил	и моментов.										ис­
	В	качестве		интерполирующих функций для перемещений

пользуются полиномы: для продольных перемещений (и) - по­ линомы первой степени, а для поперечных (v,w) - полиномы

третьей степени.	^ 3
Поскольку изгиб стержня в плоскости	Ох х" описывается

аналогично тому, как и в плоскости Ох х2, то при формиронии МЖ пространственного стержневого КЭ могут быть использованы результаты, полученные в предыдущей главе для балочного КЭ.

Кручение стержня описывается хорошо известным из курса сопротивления материалов соотношением, связывающим угол

закручивания с крутящим			моментом:
			М 1£
	в	=— ----			(3.1.1)
	х1		G Jd
Здесь	-момент инерции чистого кручения.
Итак,	рассмотрим	плоский		изгиб, стержня (в	плоскости
О х1х 2 ).				представим в виде:
Вектор обобщенных перемещений
		uT = {u,v,©>			(3.1.2)

Запишем возможное поле перемещений при помощи матрицы интерполирующих функций и вектора неопределенных коэффициентов:

			и	— Ма	,						(3.1.3)
или в развернутой			форме:
'	1	X 1	0	0	0			0		«1 ]
II =	0	0	1	х 1	,	1.	2	,	1.2	?2	,(3.1.4)
					(х	)		(х	)

0	0	0	1	1	1 2
				2х	3 (эс-1-)

■

•

В рассматриваемом случае плоского изгиба стержень имеет 6 степеней свободы. Поэтому вектор а содержит 6 констант.

Коэффициенты а могут быть выражены через узловые

перемещения. С этой целью подставим в (3.1.4) координаты узлов:

’ и.1	гЧ	- ч X		о	о	1	о	О		--I
V,	0	0	1	1	1		2	( x	1 3
					XT'	( х £ Г			V
1
в 3	0	0		0	1	2 x f		3 ( x * ) 2
x i	-	1					1 s		1	(3.1.5)
	1	x .		0	0		0		0
£5
Uj	0	0
Vj				1	x^ ( x b 2 [ x h 3
					J		J i	J i		о
вX3	0	0		0	1	2Xj		3 ( x ^ )^

J

■>

а

А_1у

(3.1.6)

Подставляя (3.1.6) в (3.1.3), получим:

u = MA-1v = Gv.

(3.1.7)

Локальную систему координат всегда можно выбирать так, что х^ =0 и х^=£; (£ -длина стержня). Тогда матрица А * будет иметь вид:

1 0 0

1/£ 0 0

0 1 0

0 0 1

0 ■-3/£ 2 - 2/£

0	2 /£ 2 1/£

0 0

1/£ 0

0 0

0 0

0 3 /£2

0 ■CN

лг

0

0

0

0

-1/1

1/1

Матрица G является матрицей функций формы. Вводя естест­ венные координаты /I матрицу функций формы можно представить следующим образом:

'1-С		о	о	с	о	о
G= О		1-ЗС2+2С3 ££(1-2е+€2 ) О			£2 (3~2С)	-££2(1-С) (3.1.8)
_ О	-6£(1-£)/£		1-4С+ЗС2	о	6С(1-?)/£	-?(2-ЗС)

В случае поперечного изгиба стержня и при условии пренебрежекия деформациями сдвига вектор относительных де­ формаций будет содержать одну компоненту:

		du	, d2v
	е11=	- X	(3.1.9)
		dx'	dlx1)2 '

и матрица операций дифференцирования примет вид:

D = {d(...

)/dx1,-x2d2 (...)/d(x:i)2,0}

(3.1.10)

d(	) d?	1 d( )
d( )/dx = ------- = ------
d£ dx		l	d£
Матрица В с учетом операций дифференцирования равна:
В	= DG	=
1 бх2 (1-2£) х 2(4-6£) 1	6х2 (1-2£)		х 2 (2-6£)'		(3.1.11)
*Г— /
I
Так как вектор е содержит только			один	элемент		и
вектор <г состоит из одного элемента				,	матрица	С
представляет собой модуль упругости Е .					попереч­
Матрица жесткрсти прямолинейного			стержня при
ном изгибе в плоскости Ох'Чс2 с		учетом осевого			растяже­
ния-сжатия будет иметь вид:
К = BjjjlBTBdV					(3.1.12)
V

Осуществляя перемножение матриц и интегрирование окончательно получим:

A/IЛз	0 а	0	-А/^з	0	о '
	12/ I й	6/г	0	-12/г^	б/г
Е1х3		4	0	-6/г	2	(3.1.13)
к=---			А/1х з	0	0
i
симметрично				12/г2	- в / i
					4	-

Здесь А - площадь поперечного сечения стержня:

Добавляя влияние крутящего момента	и учитывая изгиб в
. 1 3	матрицу жесткости
плоскости Ох х , получим следующую

стержня в общем случае пространственного деформировдния: