книги / Многоцикловая усталость при переменных амплитудах нагружения

Рис. 33. Распределения Райса для различных значении р.

алотности распределения максимумов Райса (для Е [а] = 0):

, .	Кр- — 1	'______£ ___ J +
р ^ х ) = - к т е к р		2 (Э- — 1) Х

		+ Т ехр(		т -)ф ( т ^ т ) ’	(2-57)
где	х = сга/аск;		Ф — функция нормального распределения;
ф w	- T S	- f	*•
При [3 = 1 (узкополосный процесс) выражение (2.57)
превращается		в распределение Рэлея:
			pRa (х) =	х exp (— 0,5л:2).	(2.58)

На рис. 33 показаны плотности распределения Райса для различных значений р. Функция распределения максиму­ мов Райса имеет вид

м - ф (F F = r) - т ф (трЫ ехр( - 4 - ) • <2-59>

В случае, если проводится схематизация методом размахов, не существует точного выражения для функции р (ст0), где 2оа — величина размаха [133]. Существуют при­

ближенные формулы. Так, в работе [234] предложено при­ менять выражение

Р К ) =

ехр

(2.60)

а в работе [59] — выражение, аналогичное предыдущему, только вместо р используется число 2Emaxih, где k — сроднее

-г	у гп	в
значение размахов, п =	—	оС1{; £ тах — среднее значение

положительных максимумов. При схематизации по разма­

хай	расчеты	дают	оценку	долговечности	сверху.
В	работе	1133]	оценка	распределения	размахов основана

на численном методе решения интегрального уравнения. Ковалевски, предложивший для размах он формулу (2.60), ввел также приближенную формулу для совместной плот­ ности вероятностей амплитуд оыи средних от значений цик­

лов [234]:

	РЧ,	exp	Р Ч
	Р (Оа» ®т) — <&, / 2я ф- - 1)		2о:СИ	2 (Р2- 1) <&

(2.61)

Как известно, наиболее адекватно повреждающее дей­ ствие исходной нагрузки отражает метод полных циклов, для которого приближенное распределение амплитуд полу­ чено А. С. Гусевым в работе [57]:

			J $2х ехр (— 0,5(52|д,2;г2),			0 <	х <	х&;
			\ хс ехр (— 0,5х2)ф,			х ^	яр,	(2.62)
где	р =	У	(а + 3Ъ)!аЬ\	а, Ь, с,	х$	протабулированы для
Р =	1ч-4	в	работе [57].
	Для	узкополосного		процесса	нагружения			все методы

схематизации дают одинаковый результат — функция р (я)

является распределением Рэлея.

Важной характеристикой режима нагружения являет­ ся пик-фактор у, равный отношению максимальных нагру­ зок оШах за определенный период эксплуатации (или испы­ таний) к среднеквадратическому отклонению оск:

°т а х

Для модели гауссовского процесса, выражаемой распре­ делением Райса, у —у оо, хотя практически реальные нагруз­

ки ограниченны. В ряде случаев у определяется нагрузками, соответствующими пределу текучести материала детали, в других случаях ограничение у обусловлено малой вероят­ ностью появления больших выбросов при ограниченном вре­ мени эксплуатации или времени испытаний. Желательно, чтобы пик-фактор у в испытательном режиме соответствовал условиям эксплуатации, поскольку влияние у на долговеч­ ность при сох радении иных параметров нагрузки неизмен­ ными является существенным (вместе с тем влияние у при

достаточно больших значениях на ас,{ невелико). Во многих случаях выбор у достаточно условен, например для нормаль­ ного узкополосного стационарного процесса рекомендуют­ ся значения у = 3,5-т-4,5. Перегрузки такой величины со­

ответствуют малым вероятностям Р их появления. Для га­ уссовского стационарного процесса вероятность появления

перегрузок,	больших или	равных у,		можно определить
с помощью	распределения	Райса	[см. формулу (2.59)]:
			00
	Р — Р (сГщах	уаСк} =	^ p Ri (#) dx =
			V
= 1- ф(т^т) +Т ф(7^				) Г^ (2-63)

При достаточно больших у (у >* 3, что соответствует

действительно реализующимся значениям у) можно приме­ нить простую аппроксимацию:

P = -j1-e-	—2	(2.64)
Разница в значениях Р, рассчитанных по формулам (2.63)
и (2.64), увеличивается с ростом	р,	однако для у > 3 ка­
чество аппроксимации остается	удовлетворительным.
Для узкополосного процесса у =		4 (наиболее часто при­
меняемое значепие) соответствует	вероятности Р — 0,335 X

X 10_3 появления такой перегрузки. Значение у для (5 >- 1 логично выбрать исходя из той же вероятности появления перегрузок. Следовательно, как следует из выражения (2.64), для у можно предложить следующее соотношение:

		у =	К — 2(1пР + 1пР).					(2.65)
Значения у для разных Р, соответствующие вероятности
появления	Р =	0,335		10-3,	приведены		ниже:
6	1 ,0	1 ,2 5	1 ,5	2 ,0	2 ,5	3 ,0	3 ,5	4 ,5
у	4 ,0	3 ,9	3 ,9	3 ,8	3 ,8	3 ,7	3 ,7	3 ,6

Видна слабая зависимость у от р.

Применение модели гауссовского эксплуатационного на­ гружения обоснованно в том случае, если реакция конструк­ ции па внешние возмущения может быть описана линейными уравнениями. В реальнглх конструкциях материал обладает несовершенной упругостью, что приводит, в частности, к зависимости демпфирующей способности от амплитуды де­ формации. В обзорной работе С. Р. Свенсона [265] указано, что нелинейные эффекты могут иметь существенное значение,

а в работе Дж. Схайве 1257] отклонения от	теоретиче­
ских распределений частоты появления больших	выбросов

объясняются нелинейным затуханием при больших ампли­ тудах. В работе [271] для описания этого явления исследо­ вали влияние на прогнозируемую долговечность выбора пик-фактора у, Предполагалось, что нелинейность прояв­

ляется	в уменьшении этой величины. Показано,	что	при
у < 3,5	долговечность существенно зависит от у.	Для	уче­

та нелинейных эффектов, влияющих на распределение амп­ литуд колебаний при случайной нагрузке для образцов из сплава 24ST, использовалась коррекция теоретического распределения Рэлея [276]

р(х) = -1" ехР (— 0,5я2),

где I — 1,9.

Очевидно, что для выяснения границ применимости мо­ дели гауссовской нагрузки необходимо исследование влия­ ния нелинейного рассеяния энергии на режим случайных колебаний методами теории нелинейных колебаний с уче­ том реальных зависимостей рассеяния энергии от ампли­ туды колебаний в упругих конструкциях. Вопрос о влия­ нии нелинейного рассеяния энергии на усталостную дол­ говечность при случайных одночастотных колебаниях будет рассмотрен ниже (см. четвертую главу).

Во многих случаях нагрузка на элементы конструкций, обусловленная случайными колебаниями и анализируемая в течение длительного периода времени, плохо соответству­ ет модели стационарного нормального процесса. Так, на­ грузки на крыло летательных аппаратов, обусловленные атмосферной турбулентностью (порывами ветра), могут быть описаны кусочно-стационарным нормальным процессом, от­ резки стационарности которого характеризуются различны­ ми уровнями среднеквадратического отклонения и одина­ ковым средним уровнем [252]. Если нагрузка представляет собой последовательность п нормальных процессов, отли­ чающихся уровнем стск, число превышений уровня о0 можно

определить по формуле

(2.66)

где iVoi — число пересечений среднего уровня i-м процессом. Общее число пересечений среднего уровня

N 0 = £ N 0i.

(2.67)

Для непрерывного распределения оск формула (2.66) мо жет быть представлена в виде

N (°о I Т ) = N oJ ехР	о2	(2.68)
	Р (*^ск) ^ ^ск*
о	2<&

Например, для описания распределения р (CFck), обуслов­

ленного вариациями атмосферной турбулентности, применя­ ют положительную ветвь нормального распределения:

Р {(Уск) = — | / -jf ехР^

2p~j •

(2-69)

Подставляя выражение (2.69) в (2.68), применяем таблицы интегралов [50]:

ЛГ(а0|Г) = ЛГ0м р ( - - $ - ) ,

(2.70)

что соответствует часто используемой экспоненциальной за­ висимости (2.45). В некоторых случах требуется усложнение формулы (2.70) в связи с тем, что значение b различно для

полетов в спокойной и неспокойной атмосфере. В этом случае функцию N (о01Т) можно аппроксимировать суперпозицией

экспонент типа (2.70) [252]:

N (а0\Т) = N 0(Р1в °° + Р2е 2 ),

(2.71)

где Рг и Рг — соответствующие доли полетного времени в различных условиях, Рг Р2 = 1.

Выражение для числа превышений уровня а0 согласно

формулам (2.55) и (2.70) может быть обобщено в следующем виде [200]:

N (о. | Т) = N„ exp ( - 4 - ^ - ) •

(2-72)

Изложенные выше методы описания эксплуатационных нагрузок с помощью моделей теории случайных процессов в основном применимы тогда, когда режим нагружения может рассматриваться как непрерывный случайный процесс, обычно обусловленный случайными колебаниями частей конструкции, вызванными различными воздействиями окружающей среды, например атмосферной турбулентностью; неровностью доро­ ги и взлетно-посадочных полос; волнением моря; вибрациями энергетических установок; пульсациями давления интенсив­ ных акустических полей; потоками жидкости или газа.

С другой стороны, вариации нагрузки на конструкции могут быть вызваны изменением режима функционирования конструкций, например изменением величины груза, транс-

Рис. 35. Спектральная плотность мощности нагрузки, показанной на рис, 34, а.

Р и с . 3 4 . Р е а л и з а ц и я н а г р у з к и на д е т а л ь а в т о м о б и л я :

а — исходная запись нагрузки; б — высокочастотная составляющая от неровное* тей дороги; в — низкочастотная составляющая от маневров.

дортируемого конструкцией; переходом от наземного манев­ рирования к полету и обратно (цикл земля — воздух — земля для летательных аппаратов); маневрированием (изменением скорости, высоты, направления движения). Такие изменения нагрузки в настоящее время не всегда можно описать метода­ ми теории вероятности и их описывают в основном методами схематизации нагрузок. В работе 1199] нагрузки, вызванные изменением режима функционирования, названы последова­ тельностью единичных событий. Раздельный анализ компо­

нент истории нагружения, за­ писанной на какой-либо носи­ тель информации, не вызы­ вает трудностей в случае, если нагрузки различной природы отличаются уровнем и частотами.

В качестве примера анали­ за эксплуатационных нагру­ зок рассмотрим результаты исследования [199] режима нагружения рычага поворот­ ного кулака автомобиля на скорости 40—60 км/ч. Нагруз­ ка в данном случае является довольно типичной и состоит из следующих компонент: постоянной составляющей, обусловленной весом консг-

рукциы и полезной нагрузкой, низкочастотной (квазистатической) составляющей — единичные события, связанные с маневрированием, и более высокочастотной составля­ ющей, возникающей из-за случайных колебаний конст­ рукций, возбуждаемых неровностью дороги. Отрезок реа­ лизации нагрузки показан на рис. 34, а, спектраль­ ная плотность мощности представлена на рис. 35. Спект­ ральная плотность обладает тремя пиками — на очень низких частотах — 2 Гц (колебания на собственной частоте корпуса) и 12 Гц (колебания на собственной частоте оси). С помощью фильтра низкой и высокой частоты с уровнем среза 1 Гц (ло­ кальный минимум спектральной плотности) процесс нагруже­ ния был разделен на низкочастотную составляющую — на­ грузка от маневров (см. рис. 34, в) — и высокочастотную со­

ставляющую — нагрузка от неровностей дороги (см. рис. 34, б).

Нагрузка от неровностей дороги может быть представлена моделью кусочио-стациопарного нормального процесса, опи­ сываемого плотностью распределения среднеквадратических отклонений р (<тСн) [см. формулу (2.68)]. Для эксперименталь­ ного нахождения р (аск) с помощью высокочастотной состав­

ляющей определялась величина сгСн для последовательных отрезков реализации длиной Т с, причем Т варьировалось от

0,25 до 320 с. Сопоставление экспериментально определенного распределения превышений заданного уровня и расчетов по формуле (2.68) с использованием экспериментально опре­ деленной функции р (аск) для различных времен осреднения

показано на рис. 36. Как видно из рисунка, наилучшее сов­ падение расчетных и экспериментальных распределений по­ лучено при Т = 0,5 с. Как и следовало ожидать, при увели­ чении времени осреднения Т качество воспроизведения боль­

ших нагрузок спектра ухудшается. Отметим, что для высоко­ частотной составляющей число нулей в 1 с — 15, коэффициент широкополосности Р = 1,1. Полученные характеристики вы­ сокочастотной составляющей — форма спектральной плотнос­ ти и р (<тск) достаточны для воспроизведения этой нагрузки

в лабораторных условиях.

Описание нагрузок из-за маневрирования с помощью подхода, основанного на спектральных плотностях, вряд ли может быть адекватным, что обусловлено, в частности, сверх­ низкими частотами, соответствующими этим нагрузкам, а также тем, что они не являются симметричными относительно нагрузок, представляющих собой постоянную составляющую, из-за веса и полезной нагрузки конструкции. Для описания низкочастотной части нагрузки может быть применен под­ ход, основанный на построении распределения числа пере-

тальное распределение; штриховые — расчетное распределение.

сечений уровня и распределения времен превышения заданных уровней (рис. 37). Оба распределения могут быть согласо­ ванно (по уровням нагрузки) аппроксимированы ступенчатой функцией — см. рисунок. Из рисунка следует, что выбросы нагрузки 70 раз достигают уровня 10 N1мм2 (рассматривается

только низкочастотная часть нагружения), время пребыва­ ния нагрузки на этом уровне 100 с. Если предположить, что время выброса распределено одинаково между выбросами, то каждый выброс на уровень 10 iV/мм2 длится 1,42 с. Если

считать, что выбросы независимы, то распределения, показан­

и е

ные на рис. 37, являются достаточными для приближенного описания и воспроизведения нагрузок, названных последо­ вательностью единичных событий, а нагрузка на исследуемую деталь описывается суммой трех компонент — статической, низкочастотной и высокочастотной.

4. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ РЕЖИМОВ ЭКСПЛУАТАЦИОННОГО НАГРУЖЕНИЯ ПРИ УСТАЛОСТНЫХ ИСПЫТАНИЯХ

Для оценки эксплуатационной надежности по критерию цик­ лической прочности элементов конструкций, натурных кон­ струкций, а также для сравнительной оценки конструктивных решений, методов обработки и соединения деталей, выбора материала в настоящее время проводится большой объем усталостпых испытаний. Различные режимы усталостных испы­ таний представлены на блок-схеме (рис. 38).

Метод испытаний на усталость при постоянной амплитуде нагружения долгое время был единственным методом вос­ произведения эксплуатационных режимов в лабораториях. Если эксплуатационная нагрузка характеризуется перемен­ ностью амплитуд, такой метод является неудовлетворитель­ ным, поскольку до настоящего времени не существует доста­ точно падежного способа определения регулярного режима нагружения, эквивалентного эксплуатационному, что об­ условлено погрешностями существующих гипотез накопления усталостных повреждений. Кроме того, ряд эксперименталь­ ных данных показывает, что для конструкций, имеющих несколько опасных с точки зрения усталости концентраторов, место зарождения усталостных трещин может зависеть от того, будет ли режим нагружения регулярным или нерегулярным. Например, в работе [258] приведены результаты испытаний конструктивного элемента, представляющего собой клепаное соединение обшивки, состоящего из обшивки, усиливающей пластины, стрингеров и проушины. Соединения испытыва­ лись при регулярном и нерегулярном нагружении. При не­ регулярном нагружении усталостные трещины развивались в обшивке, в усиливающей пластипе и в проушинах. При ре­ гулярном нагружении трещины зарождались только в обшив­ ке. Появление новых критических точек в сложной конструк­ ции (например, в ободе колеса автомобилей) может быть объяс­ нено различным влиянием фреттинг-коррозии на усталость при различных видах нагружения (такие данные подтвержда­ ются прямыми экспериментами [258]), а также перераспреде­ лением нагрузок в конструкции, вызванным перегрузками в процессе нерегулярного нагружения. Влиянием перегрузок можно объяснить уменьшение разброса данных при нерегу-

Рис. 38. Методы воспроизведения эксплуатационных нагрузок при ус­ талостных испытаниях (С1Ш — средиеквадратическое отклонение).

лярном нагружении по сравнению с регулярным и различ­ ное влияние плакирования па долговечность надрезанных образцов при двух видах нагружения [258].

Более точно воспроизвести эксплуатационный режим на­ гружения можно с помощью блочного нагружения, представ­ ляющего собой периодическое повторение заданного блока нагружения, состоящего из ступеней с различным значением амплитуды переменной нагрузки и фиксированным числом циклов нагружения на каждой ступени [ 156] (среднее значение циклов может быть различным для различных ступеней [274]).

Испытания при программном блочном нагружении могут быть проведены практически на любой усталостной машине, снабженной атоматическим (аналоговым или цифровым) про­ граммирующим устройством. Если применяется машина с ре­ зонансным силовозбудителем, то длительность ступеней долж­ на быть достаточно большой, чтобы исключить влияние пе­ реходных процессов при переходе со ступени на ступень. В зависимости от декремента колебаний резонансной системы минимальная длительность ступени должна составлять 103 — 2 103 циклов (с уменьшением декремента длительность

ступени должна увеличиваться). При необходимости включе­ ния ступеней с меньшей длительностью при испытаниях на машинах резонансного типа необходимо наряду с высоко­ скоростным силонагрушающим устройством использовать до­ полнительный низкоскоростной привод.

Рассмотрим метод формирования режима блочного нагру­ жения по заданным характеристикам эксплуатационной на-