Colloquium
.pdfАлгебра Список вопросов коллоквиума
1.Системы линейных уравнений. Эквивалентность систем линейных уравнений при элементарных преобразованиях.
2.Приведение системы линейных уравнений (матрицы) к ступенчатому виду (улучшенному ступенчатому виду). Критерий совместности и определенности системы линейных уравнений. Однородная система линейных уравнений.
3.Матрицы и операции над ними. Ассоциативность произведения матриц. Единичная матрица, транспонирование, след матрицы.
4.Матричные единицы. Свойства. Элементарные матрицы и связь с элементарными преобразованиями строк и столбцов.
5.Ассоциативность произведения отображения. Инъекция, сюръекция, биекция. Обратное отображение.
6.Перестановки. Четность. Транспозиции.
7.Подстановки. Четность, свойства. Знак подстановки.
8.Циклы. Разложение подстановки в произведение независимых циклов. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Множество четных подстановок.
9.Определитель матрицы. Определитель треугольных матриц. Основные свойства определителя.
10.Вычисление определителя с помощью приведения его к треугольному виду. Единственность определителя.
11.Определитель блочной матрицы. Определитель произведения матриц.
12.Разложение определителя по строке и по столбцу. Фальшивое разложение. Определитель Вандермонда.
13.Обратная матрица, существование и единственность. Матричные уравнения. Способы нахождения обратной матрицы.
14.Критерий определенности квадратной системы линейных уравнений. Правило Крамера.
15.Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Основная лемма о линейной зависимости.
16.Базис. Дополнение линейно независимой системы до базиса. Координаты векторов и их единственность.
17.Подпространство. Линейная оболочка векторов. Размерность подпространств. Ранг системы векторов.
1
18.Линейные пребразования векторных пространств. Свойства.
19.Критерий равенства нулю определителя матрицы. Теорема о ранге матрицы. Теорема о ранге произведения матрицы.
20.Теорема Кронекера-Капелли. Связь решений неоднородной системы с решениями однородной системы линейных уравнений.
21.Альтернатива Фредгольма. Ранг системы решений однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
2