книги / Численные методы. Ч. 5
.pdfПостроение методом Галёркина приближённого решения одномерного стационарного дифференциального уравнения
№ |
Щх), |
|
|
Граничные условия |
|
|
|
П-о* |
TL > |
QL o’ |
|
т 1 |
|
||
п/п |
кВт/м3 |
кВт/м2 |
Мх=0’ U ., . |
||||
|
0,50sin(x/2) |
град |
град |
кВт/м2 |
град |
град |
|
1 |
100,0 |
20,0 |
- |
- |
- |
- |
|
2 |
0,75sin(x/2) |
20,0 |
100,0 |
- |
- |
- |
- |
3 |
1,00sin(JC/2) |
100,0 |
- |
- |
2,0 |
- |
- |
4 |
1,25sin(JC/2) |
- |
100,0 |
2,0 |
- |
- |
- |
5 |
l,50sin(x/2) |
100,0 |
- |
- |
- |
- |
20,0 |
6 |
0,50COS(JC/2) |
- |
100,0 |
- |
- |
20,0 |
- |
7 |
0,75COS(J:/2) |
- |
- |
- |
- |
100 |
20,0 |
8 |
1,00COS(JC/2) |
- |
- |
- |
- |
20 |
100,0 |
9 |
1,25COS(JC/2) |
- |
- |
2,0 |
- |
- |
20,0 |
10 |
l,50cos(x/2) |
- |
- |
- |
2,0 |
20,0 |
- |
11 |
0,50sinx |
100,0 |
20,0 |
- |
- |
- |
- |
12 |
0,75sinл: |
20,0 |
100,0 |
- |
- |
- |
- |
13 |
1,00sinx |
100,0 |
— |
- |
2,0 |
- |
- |
|
|
|
|
||||
14 |
l,25sinx |
- |
100,0 |
2,0 |
- |
- |
- |
15 |
l,50sinx |
100,0 |
- |
- |
- |
- |
20,0 |
16 |
0,50cosx |
- |
100,0 |
- |
- |
20,0 |
- |
17 |
0,75cosx |
- |
- |
- |
- |
100 |
20,0 |
18 |
1,00cosx |
- |
- |
- |
- |
20 |
100,0 |
19 |
1,25cosx |
- |
- |
2,0 |
- |
- |
20,0 |
20 |
l,50cosx |
- |
- |
- |
2,0 |
20,0 |
- |
21 |
0,50sin2x |
100,0 |
20,0 |
- |
- |
- |
- |
22 |
0,75sin2x |
20,0 |
100,0 |
- |
- |
- |
- |
23 |
1,00sin2x |
100,0 |
- |
- |
2,0 |
- |
- |
24 |
1,25sin2x |
- |
100,0 |
2,0 |
- |
- |
- |
25 |
1,50sin2x |
100,0 |
- |
- |
- |
- |
20,0 |
26 |
0,50cos2x |
- |
100,0 |
- |
- |
20,0 |
- |
27 |
0,75cos2x |
- |
- |
- |
- |
100 |
20,0 |
28 |
1,00cos2x |
- |
- |
- |
- |
20 |
100,0 |
29 |
1,25cos2x |
- |
- |
2,0 |
- |
- |
20,0 |
30 |
1,50cos2x |
- |
- |
- |
2,0 |
20,0 |
- |
4.3. Одномерное нестационарное дифференциальное уравнение теплопроводности
Методом Галёркина с использованием системы кусочно-ли нейных пробных функций и разностной схемы интегрирования по времени (по указанию преподавателя: неявной, Кранка - Ни колсон):
- построить приближённое решение одномерного нестационар ного дифференциального уравнения теплопроводности
c9T (t,x) = [ \T '{ t,x )] + W {x)
с заданной функцией W(x), начальными и граничными условиями (табл. 4.3);
-сформировать систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения искомого решения по заданнной системе пробных функций;
-разработать вычислительную программу для определения ко эффициентов разложения решения дифференциального уравнения по заданнной системе пробных функций для 2, 4, 8, ..., 64 сегментов одинаковой длины;
-определить погрешность приближённых решений для указан ной последовательности сегментов;
-исследовать зависимость погрешности искомого решения от длины h сегментов;
-исследовать сходимость процесса аппроксимации;
-оценить быстродействие вычислительной программы.
Начальные условия принять в виде: Т{09х) = а +Ьх\ для опреде
ления коэффициентов а и b использовать требование о сопряжении начальных и граничных условий.
При проведении расчётов принять: с = 460 Дж/кгград, р = = 7800 кг/м3, А, = 70 Вт/м град, а = 30 Вт/м2 град; Тж- температура окружающей среды, град.
Таблица 4.3 Построение методом Галёркина приближённого решения
одномерного нестационарного дифференциального уравнения
Граничные условия
№fV(x),
п/п |
кВт/м3 |
n..„- |
т\ |
el...- |
cl..,- |
u .„ - ■r -L , |
|
1 l*=i’ |
|||||||
|
0,50sin(x/2) |
град |
град |
кВт/м2 |
кВт/м2 |
град |
град |
1 |
100,0 |
- |
- |
- |
- |
20,0 |
|
2 |
0,75sin(jc/2) |
- |
100,0 |
- |
- |
20,0 |
- |
3 |
l,00sin(jt/2) |
100,0 |
- |
- |
2,0 |
- |
- |
4 |
l,25sin(jc/2) |
- |
100,0 |
2,0 |
- |
- |
- |
5 |
l,50sin(;c/2) |
100,0 |
20,0 |
- |
- |
- |
- |
6 |
0,50COS(JC/2) |
20,0 |
100,0 |
- |
- |
- |
- |
7 |
0,75COS(JC/2) |
- |
- |
- |
- |
100 |
20,0 |
8 |
l,00cos(;t/2) |
- |
- |
- |
- |
20 |
100,0 |
9 |
l,25cos(x/2) |
- |
- |
-2,0 |
2,0 |
- |
- |
10 1,50COS(JC/2) |
- |
- |
2,0 |
-2,0 |
- |
- |
|
11 |
0,50sinjc |
100,0 |
- |
- |
- |
- |
20,0 |
12 |
0,75sinx |
- |
100,0 |
- |
- |
20,0 |
- |
13 |
1,00sin* |
100,0 |
- |
- |
2,0 |
- |
- |
14 |
1,25sinx |
- |
100,0 |
2,0 |
- |
- |
- |
15 |
1,50sinx |
100,0 |
20,0 |
- |
- |
- |
- |
16 |
0,50cosx |
20,0 |
100,0 |
- |
- |
- |
- |
17 |
0,75cos* |
— |
- |
- |
- |
100 |
20,0 |
18 |
1,00cosx |
- |
- |
- |
- |
20 |
100,0 |
19 |
1,25cos* |
- |
- |
-2,0 |
2,0 |
- |
- |
20 |
1,50COSJC |
- |
- |
2,0 |
-2,0 |
- |
- |
21 |
0,50sin2 x |
100,0 |
- |
- |
- |
- |
20,0 |
22 |
0,75sin2 x |
- |
100,0 |
- |
- |
20,0 |
- |
23 |
l,00sin2x |
100,0 |
- |
- |
2,0 |
- |
- |
24 |
1,25sin2x |
- |
100,0 |
2,0 |
- |
- |
- |
25 |
l,50sin2x |
100,0 |
20,0 |
- |
- |
- |
- |
26 |
0,50cos2 x |
20,0 |
100,0 |
- |
- |
- |
- |
27 |
0,75cos2 x |
- |
- |
- |
- |
100 |
20,0 |
28 |
1,00cos2x |
- |
- |
- |
- |
20 |
100,0 |
29 |
1,25cos2JC |
- |
- |
-2,0 |
2,0 |
- |
- |
30 |
1,50cos2 x |
- |
- |
2,0 |
-2,0 |
- |
- |
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бояршинов М.Г. Методы вычислительной математики: учеб, пособие / Перм. гос. техн. ун-т. - Пермь, 1998. - 421 с.
2.Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных эле ментов. - М.: Мир, 1987. - 524 с.
3.Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элемен тов в технике. - М.: Мир, 1982. - 248 с.
4.Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксима ция. -М .: Мир, 1986.-318 с.
5.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные ме тоды. - М.: БиНОМ: Лаборатория знаний, 2011. - 636 с.
6.Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1976. - 576 с.
7.Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в меха нике жидкости. - Л.: Судостроение, 1979. - 264 с.
8.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных ра ботников и инженеров. - М.: Наука, 1977. - 832 с.
9.Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: учеб, посо бие для вузов. - М.: Наука, 1989. - 432 с.
10.Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир, 1979.-392 с.
11.Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина. - М.: Мир, 1988.-352 с.
12.Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы ре шения обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1979.-312 с.
Учебное издание
Бояршинов Михаил Геннадьевич
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Часть 5
Учебное пособие
Редактор и корректор ЕЖ. Герман
Подписано в печать 5.03.2014. Формат 60x90/16. Уел. печ. л. 13,0. Тираж 100 экз. Заказ № 29/2014.
Издательство Пермского национального исследовательского
политехнического университета.
Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29, к. 113. Тел. (342)219-80-33.