книги / Численно-аналитические методы решения задач дифракции акустических волн на абсолютно твёрдых телах и оболочках

t > О,

2.1. Фундаментальные решения

51

и, в общем случае, неоднородным граничным условиям:

Б 1си1 8G = gJ

Б 1 =	913, ч	10	(2.1.4)
		= bG

I е О,

Здесь g7 = (gn ,..., g Im)T — вектор граничных значений.

В данной работе рассматриваются задачи нестационарного взаимодействия акустической среды (тело Go) с твердым либо деформируемым телом G\. Соответственно, тело Go полуограничено и содержит G\\

G0 = M3\ G i, G 0 U G i = n .

В этом случае граничные условия формулируются на границе раздела двух тел — поверхности П. Эта поверхность использует­ ся в качестве координатной, и начально-краевая задача форму­ лируется в единой для обоих тел криволинейной ортогональной

системе координат С1,^2,^3	с ковариантным базисом г* (1.1.2),
нормально связанной с П:
П : е3 = £о,	С1.С2 е D СЖ2.	(2.1.5)

Введем в рассмотрение поверхностные функции влияния для операторов задачи, опираясь на результаты работ [26, 45].

Поверхностными фундаментальными решениями (поверх­ ностными функциями влияния, поверхностными функциями Грина) для тела Go [26] называются векторы G ^ x , t;q, т), являющиеся решением следующих начально-краевых задач вида (2.4.1)—(2.4.3) о распространении граничных возмущений

(* = 1, к)	для тела Go:
£ 7Gh = О,	Б7СЬ = h \ Gb t=0 = drGb t=0 = 0, (2.1.6)

все компоненты вектора h* равны нулю, за исключением i -й ком­ поненты, которая совпадает с сосредоточенной на поверхности <9Go дельта-функцией SQC0(X ~ S>t - т) (где д € 9GQ) [26], т. е. краевое условие имеет вид

h* = ^ G 0( x - s , * - r ) ,

(2.1.7)

где 8\ — символ Кронекера. Последнее условие также имеет ин­ тегральную форму записи [85]:

t

J d r J J BG ^dS = 1.

(2. 1.8)

О8G0

52Гл. 2. Поверхностные функции влияния для акустической среды

Сиспользованием этих функций решение задачи о распро­ странении граничных возмущений (2.1.1)—(2.1.4) f = 0 для тела

Go можно представить в интегральном виде:

u°(x, t) = dr	Gb(x,<;g, r)g0i (g, T ) dS.	(2.1.9)
	dG *=1
Пусть операторы £° и В0 в (2.1.1) и (2.1.4) инвариантны
относительно сдвига по криволинейным координатам ^		, а также

по времени. Для этого необходимо и достаточно, чтобы они имели постоянные коэффициенты и область изменения соответ­ ствующей переменной совпадала со всей числовой прямой М или допускала периодическое продолжение решения на R [26]. В этом случае вместо 6(х — q,t — т) правую часть краевых усло­ вий (2.1.7) можно привести к виду S{x,t).

Если такие же условия справедливы и в отношении простран­ ственной координаты Xj и эта координата является параметром в параметризации поверхности dGo, то соответствующая состав­ ляющая повторного интеграла, к которому сводится поверхност­ ный интеграл в (2.1.9), также переходит в свертку. В этом случае

формула (2.1.9) записывается так:
u (U ) = dr	Gh(C* -	-	r)g°i я1,я2,т dq =
о	п *=1
	= G \i( s \s 2,s 3,t) * * *g'Ji		s l,s'z,t . (2.1.10)

Если граничная поверхность П тела Go является ко­ ординатной (П : ?3 = <?Q), то решение задачи (2.1.1)—(2.1.4) на поверхности П можно записать следующим образом:

и(4Д )|п = G[10(?1,?2G) * * * gi ql,s2,t ;	(2.1.11)
G b o (? V G ) = G V , c 2,c03,<).	(2.1.12)

Ниже будут рассмотрены конкретные примеры использования фундаментальных решений при различных условиях на гранич­ ной поверхности П. Для этого введем поверхностные функции влияния первого и второго родов.

Пусть движение среды описывается однородным уравнени­ ем (2.4.1) с однородными начальными условиями (2.4.2). Тогда определения поверхностных функций влияния формулируются следующим образом [45]:

2.2. Теоремы взаимности для акустической среды		53
Поверхностные функции влияния первого рода		для те­
ла Go — компоненты тензора напряжения на поверхности П
U 2,*) = ^ ( € ', € 2,0	?3=?3	(2.1.13)
при следующих краевых условиях на границе тела:
ик п = 6^ ( ^ ) 6( е ) 6(г).		(2.1.14)
Поверхностные функции влияния второго рода		для те­
ла Go — компоненты вектора перемещения на поверхности П:
, С2, <) = M i U 2, i \ t)	,	(2.1.15)
f —У)
удовлетворяющие краевым условиям
< r i \ = < № )< H £ 2) W -		(2.1.16)

Использование поверхностных функций влияния (2.1.12) поз­ воляет сформулировать начально-краевую задачу только для те­ ла G 1 со специальным типом краевых условий, содержащих ин­ тегральный оператор типа свертки, и тем самым понизить «раз­ мерность» решаемой задачи о нестационарном взаимодействии.

2.2. Теоремы взаимности для акустической среды

Рассмотрим акустическую среду,	занимающую	область
G e l 3, ограниченную кусочно-гладкой	поверхностью	П = 3G

с единичной внутренней нормалью п. Уравнения движения относительно компонентов вектора скорости v и тензора напряжения s в скалярном виде представляются так [75]:

pH = Vj<rij + F {, п = F = F iK i. (2.2.1)

Определяющее соотношение для акустической среды запи­ шем следующим образом:

<ri j = - p g i j , р = - р 0с 1 ^ У .

(2.2.2)

В области G задан вектор внешних объемных сил F. На гра­ нице П заданы краевые условия, в общем случае для акустиче­ ской среды имеющие смешанный тип:

	М Ъ <)1п„ =	М ) ’ Р(& 0 1	п р =М ),	(2.2.3)
	vn = (v, n) = пгщ,	П = П„ U Пр,	n t,n l l J>= 0 ,

54 Гл. 2. Поверхностные функции влияния для акустической среды

где vn — нормальная к поверхности П„ составляющая вектора скорости точек акустической среды.

В начальный момент времени t = 0 в области G задано поле скоростей vo(£) и давления ро(£) :

w(&OI*=o = »о(§), P(&<)lt=o = Po(S), v0 = VQR*. (2.2.4)

Введем также компоненты тензора скоростей деформации, определяемые соотношением Стокса [75]:

У = ^ В /К Л Vij = ± {ViVj + V jVi) , v = ty R \ (2.2.5)

Построим интегральные тождества для акустической среды, являющиеся аналогами теорем взаимности Бетти и формулы Грина-Вольтерры в динамической теории упругости [120, 77].

Для этого рассмотрим другое состояние той же сплошной среды, характеризующееся вектором скорости v*, компонента­ ми тензора напряжений s* = al3RiR.j и вектором объемных сил F*. Второе (сравниваемое) состояние описывается следую­ щей начально-краевой задачей:

pK = V j < 3 + F;,	v* = < R		F* =	F*Ri,	(2.2.6)
<rl3 = -P*gt3,		P* = -pocfoivl,			(2.2.7)
V» = VtijR'W ,	v*ij =	^ (V*v*j + Vjv*i),			(2.2.8)
v*n(^, i)|n„ = «>*(<),		P*(t<)lnp = 9*(<).			(2.2.9)
v*(ii)lt= 0 = v,o(§).	P*(i<)lt=o = P*o(§).			v*o = < oR *-
					( 2. 2. 10)

Применим к задачам (2.2.1)—(2.2.10) интегральное преобра­ зование Лапласа по времени t (s — параметр преобразования, трансформанта обозначена чертой над изображением соответ­ ствующей функции). Тогда с учетом свойств преобразования Ла­ пласа в пространстве изображений получим следующие краевые задачи:

	Ро	s t f - v i	=	У ^ + Т ,		(2.2.11)
s p - p 0	=	-pQclViV1,		а** = - pgij,		(2.2Л2)
	Ро	s v l - v l o	=	V ^	+ n	(2.2.13)
S % - p *0	= - p o c l^ iK ,			=	-TKg'3.	(2.2.14)
V%j = 2 *vj "i" ^ j V {) , V*ij = —(					V	, (2.2.15)

2.2. Теоремы взаимности для акустической среды

55

*)1п.	= W& *)1п. -	в)|Пв = w*(Zr *)1п.
P ( ^ s)\np =	Ф ) 1пр - P * & s) _	= <7*(«)1пр -	(2.2.16)
	lip

Теорема 1 (первая теорема Бетти для динамики акустиче­ ской среды). Для двух состояний акустической среды справед­

лива следующая формула:
|	t) * v*ij(5, t) -	t ) *	t ) dG =
G

= Pb V J Ро(%)Р*(%Л) - Р*о(%)р(%Л) dG> (2.2.17)

G

где символом «*» обозначена операция свертки по времени t. Доказательство. Вычислим в пространстве изображений по

Лапласу с учетом (2.2.11)—(2.2.15) двойную свертку тензора на­ пряжений первого состояния S с тензором скоростей деформаций второго состояния V*:

0 *3v*ij = - p g t3 \{ViV*j + VjU*i) =

= - p V i v l = Polco2P (sP* ~ P*o)- (2.2.18)

Проводя аналогичные выкладки для тензоров S* и V, полу­ чим:

&l3Vij = —p*V« vl = p 0 1Co2P*(sP “ Po)-

(2.2.19)

Вычтем уравнение (2.2.18) из (2.2.19) и проинтегрируем ре­ зультат по области G, занимаемой акустической средой:

a —cr^Vij dG =

G

Р о Ч 2 [P (sp* - P*о) -	P* (sp - Po)] dG =
G
Р о Ч 2	(POP* ~ P*OP) dG. (2.2.20)

Тогда в пространстве оригиналов по Лапласу получим:

crt3 (%,t) * v*ij(\,t) -	К 3(%Л) *Vij(%,t) dG =
G
= Р о Ч 2	Po(%)p*(k,t) - P*o(k)p(%,t) dG. (2.2.21)

G

56 Гл. 2. Поверхностные функции влияния для акустической среды

Следствие 1.1. Пусть в начальный момент времени t = О в акустической среде в обоих состояниях отсутствуют возмуще­ ния. Тогда:

| а^{% Л )*у^{\Л )-а^{Ъ ,Л )*У ц{\Л )	dG = 0.	(2.2.22)
G
Доказательство. Соотношение (2.2.22) следует из		(2.2.21)
при Ро = 0 и ро* = 0.
Теорема 2 (вторая теорема Бетти для	акустической среды

в динамике). Для двух состояний акустической среды, описыва­ емых начально-краевыми задачами (2.2.1)—(2.2.10), справедлива следующая формула:

| F i£, t ) *v*i(	%	, t )	-	d	G =
G
= Po		0	-	v0($)*>«( i t) dG +
+ Po 4	2	p*(i t)Po(ty -			p($, <)p*o(5) dG +
	G
+ JJ					dS. (2.2.23)
dG

Доказательство. Умножим уравнение (2.2.11) на v*i, а урав­ нение (2.2.13) на Ui и просуммируем по г от единицы до трех. В результате получим:

svlv*i - pvl v*i = V j<r%3v*i + F v*i,	(2.2.24)
svlvi - pvlovi = VjW^Vi + F[vj	(2.2.25)
Вычтем уравнение (2.2.24) из уравнения (2.2.25) и, учитывая
тождество	(2.2.26)
SVlVtti = SV • V* = sv\vi,

получим:

р vl0v*i - u*0Uj = V jO l3v * i - V j a l 3vi + F tv*i - F l v i.

(2.2.27) Воспользуемся следующим тождеством, справедливым в про­ странстве преобразований по Лапласу для произвольного тензо­

ра второго ранга S = o ^ R jR j и вектора v* = tJ*jR*:

и** = VjOt3v^i - a t3VjV*i.

(2.2.28)

2.2. Теоремы взаимности для акустической среды						57
С учетом соотношения (2.2.28) получим:
VjO7*-7’ г;** = V,-	a tjv*i		+ PgtjVjV*i =
= V j	7¥'j r>.,		+ p V j vl = V j a ijv*i		=
	= V j	a t3v*i + PQ 1CQ2P (P »0 -			sp*).	(2.2.29)
Аналогично для величины				VjWl3 г;* будем иметь:
Vj-o7*-7 Vi = V j		al3Vi		+ р_ 1(Г2р* (p0 - sp ).		(2.2.30)

Применяя полученные соотношения (2.2.29) и (2.2.30) к пра­ вой части уравнения (2.2.27), найдем:

F*v*i - А 'г , = р	vlv*i -	vl0Ui +
+ Ро’со 2 (Р*Ро -		РР*о) + Vj a'lJvi		- Wt3v*i	. (2.2.31)
Проинтегрируем выражение (2.2.31) по области G
F v*i - F,V;	dG = р	VQV*i - v l 0 V i	dG +
G		G
+ P~'c“ 2 | (p*Po - PP*o) dG + |			V j	a 13Vi -	a l3v*i dG
	G	G			(2.2.32)

и воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса [43]:

| Vj	ui3Vi - a ijv*i dG = | | nj а13щ - a ijv*i dS. (2.2.33)
G	dG

С учетом определяющих соотношений для акустической сре­ ды (2.2.2) и (2.2.7) выражение (2.2.32) приводится к следующему виду:

nv3j ^a l 3 Vi - a t 3v * i r f S ' —=	| |	p g 13n j v ^	-	//*5p xg 13rItji V i	dS =
dG	dG
i—	dS = | (p		-	p*vn) dS,	(2.2.34)
- p * n l V i
0G		dG
v*n = n%v*i,		vn = n %Vi.			(2.2.35)

Величины U*ra и vn в (2.2.35) являются трансформантами по Лапласу проекции вектора скорости v , и v на единичную

58 Гл. 2. Поверхностные функции влияния для акустической среды

нормаль п к границе dG. Следовательно, для (2.2.32) с учетом (2.2.34) окончательно получим:

| F lv H - F\vi		d%=	р VQV*i -	vl0Ui d£,+
G
+ p - ‘c- 2	(p*Po -		PP*o) +	(p v*n - p„vn) dS.		(2.2.36)
				dG
Тогда в пространстве оригиналов по Лапласу для (2.2.36)
будем иметь:
F % t) *		t) - F*($, t) * Vi(%, t ) dG
G
=	Po	vb(%)v*i(%, t ) -		vl0{%)vi{%, t )	dG+
+ Po 4		2	P*(& t)po(%) - P(& t)p*o(§)		d<?+
	p{%,t)*v*n(k,t) -			P*{%,t)*vn{%,t) dS,		(2.2.37)
dG

что совпадает с (2.2.23).

Соотношение (2.2.37) инвариантно относительно выбора кри­ волинейной системы координат, так как при введении свертки двух векторов a (t) = o*(i)R* и b(£) = 6*(f)R* по времени t по правилу

			t	(2.2.38)
a.(t) * b(t) = аг(t) * bi(t) =			аг(t)bi(t — r)dr
			о
интегральное тождество (2.2.37) примет вид:
F(%,t) * v ^ , t ) -		F*(%,t)	dG =
= Po j [(*>o(5),Mi<)) -			(«*o($), *>($,<))] dG+
	G
+ Po	co	P*(i *)Po(5) - pfe <)p*o($)
+ j j	p(5,f) * v*n(%,t) -		p*{%,t) * vn($,t) dS.	(2.2.39)

dG

2.2. Теоремы взаимности для акустической среды

59

Следствие 2.1. Пусть в начальный момент времени t = О в акустической среде в обоих состояниях отсутствуют возмуще­ ния. Тогда:

F 1(%, t) * v*i (4, t) - Fl (%, t) * Vi {%, t) d^ =

G

p{%,t) *V*n(%,t) p*(%,t)*vn{%,t) dS. (2.2.40)

dG

Доказательство. Соотношение (2.2.40) следует из (2.2.37)

при р0 = Р*о = 0 и v0 = v*0 = 0.

Следствие 2.2. Пусть область, занимаемая акустической сре­ дой, не ограничена (G = Ж3), а векторы F, F*, VQ, V *O и на­ чальное распределение давления ро и р*о финитны в некоторой области Л(£) с Ж3. Тогда справедливо следующее интегральное тождество:

F l{%, t) * v*i (§, t) -	Fl ( t t) * Vi (£, t)	dG =
G
= P vl (fyv*i(%, t) - vlo(%)vi(%, t) dG +
G
+ P o V	P*(Z>t)Po(Z)-	р {%Л)р *о{%) dG. (2.2.41)

Доказательство. В силу финитности указанных функций, вектора v и v*, а также давление р и р» стремятся к нулю на бесконечности. Поэтому в соотношении (2.2.37) поверхностные интегралы исчезают.

Следствие 2.3. Пусть область, занимаемая акустической сре­ дой, не ограничена, векторы F и F* финитны в некоторой обла­ сти fi(^) С Ж3, а начальные условия однородны для обоих состо­ яний. Тогда справедливо следующее интегральное тождество:

' F ’( U ) * M M ) - ^ ( U ) * ^ ( U ) dG = 0.

(2.2.42)

G

Доказательство. Следует из соотношений (2.2.41) при одно­ родных начальных условиях ро = р*о = 0 и VQ = v*o = 0.

60 Гл. 2. Поверхностные функции влияния для акустической среды

2.3. Гипотеза тонкого слоя и поверхностная функция влияния для акустической среды

При построении поверхностных функций влияния в задачах гидродинамического взаимодействия часто используются различ­ ные упрощающие гипотезы [50, 54]. Одной из наиболее эффек­ тивных является гипотеза тонкого слоя [96, 97, 104]. Построение данной гипотезы связано с получением упрощенных уравнений движения акустической среды в окрестности преграды, огра­ ниченной гладкой выпуклой поверхностью П. В данном случае наиболее целесообразно строить оператор задачи динамики аку­ стической среды в системе криволинейных координат нормально связанной с поверхностью П (см. (1.1.2)).

Рассмотрим уравнения модели акустической среды (1.2.6), (1.2.7) во введенной криволинейной системе координат

pdtVi = - д {р,	dtp = - рс2У У ,	3 ^
V = t,.R7 = ^Ri,	£3 = (, г =1,2,3.

Здесь базисные векторы R* определяются соотношениями (1.4.10). С учетом R 3 = R 3 = n, |n| = 1 введем единичные ковариантный е,о и контравариантный е^, базисы пространственной системы координат (1.1.2):

£/с0	R-k	fc _	R-0	Rfc	(2.3.2)
	|R*I	^	Rfc	fefe

(здесь и далее в данном параграфе суммирования по повторяю­ щемуся индексу к нет). Тогда в проекциях на построенный базис уравнения (2.3.1) примут вид:

pdtvk0 = - d kP g kk,	dtp = —?j=di vj0g tj ф	,
Vk0 = vk	g kk , i ,j = 1,2,3.

Введенные компоненты вектора скорости vko являются ана­ логом физических компонент, которые используются в ортого­ нальных системах координат.

Далее рассмотрим движение акустической среды в некоторой малой окрестности поверхности П (тонком слое), характеризуе­ мой толщиной S. Также введем характерный линейный размер поверхности L. В частности, для замкнутых поверхностей в ка­ честве L может быть использован L = diam П.