практическая _резонанс
.pdf
Практические работы по теме «Резонанс в электрических цепях»
1. Основные положения.
Резонанс в электрических цепях – это увеличение токов и напряжений на отдельных участках цепи при изменении частоты гармонического сигнала. Физической основой резонанса в электрических цепях является обмен реактивной энергией между емкостными и индуктивными элементами (конденсаторами и катушками индуктивности), включенными в данную цепь. Если эта энергия проходит через источник (последовательное включение), то мы имеем так называемый резонанс напряжений (ImZ=0, мнимая часть полного сопротивления нагрузки равна 0), а если не проходит через источник (параллельное включение), то мы имеем резонанс токов (ImG=0, мнимая часть полной проводимости нагрузки равна 0).
Простейшая схема последовательного соединения элементов приведена на рис.1.
Рис.1. Последовательный резонансный контур
Из её анализа следует, что ток в контуре будет равен
|
= |
Ie |
jψ |
= |
Ue jν |
|
I |
|
|
|
Ze jϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
Z = R 2 +(ϖL −1/ϖC)2 |
- полное сопротивление контура |
||||
ϕ =ν −ψ = arctg ωL −1/ϖC |
- угол сдвига фаз между напряжением источника U и |
|||||
R
током в контуре I.
Отсюда видно, что при значении частоты
ωрез =1/ 
LC
ток и напряжение совпадают по фазе, ток принимает максимальное значение U/R, а напряжения на реактивных элементах могут превысить входное напряжение, если параметр добротности контура будет
|
|
UL рез |
|
|
UC рез |
|
ρI |
|
|
|
|
>1 |
Q = |
|
|
|
|
|
|
L / C |
|||||
|
U |
= |
|
U |
= RI |
= |
|
R |
||||
Величина ρ = 
L / C =ϖрез L =1/ϖрез С называется характеристическим
сопротивлением контура и имеет размерность Ом.
Наибольшие значения напряжений на конденсаторе и индуктивности достигаются при частотах, несколько отличающихся от резонансной частоты.
|
|
ϖL =ϖ рез |
|
|
1 |
|
|
ϖC =ϖрез 1 −1/(2Q)2 |
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
) |
|
||||
|
|
|
−1/(2Q |
|
|||
Название «резонанс напряжений» отражает тот факт, что действующие значения напряжений на реактивных элементах в момент резонанса равны (но противоположны по фазе) и могут в Q раз превышать значение э.д.с. источника.
Рассмотрим зависимости от частоты действующего значения тока I (амплитудно-
частотная характеристика, АЧХ) и разности фаз j между э.д.с. источника и током в контуре (фазочастотная характеристика, ФЧХ), которые приведены на рис.2.
Выделим на них две знаменательные точки – когда разность фаз ϕ = ±π/4. При этих частотах (v1 и v2)
R =ϖL −1/ϖC , и величина тока будет в Ö2 раз меньше амплитудного значения. Разность частот Dv= v1 - v2 называется полосой пропускания, а величина
|
ϖ −ϖ |
|
1 |
|
|
S= |
ϖ1 рез |
2 |
= |
|
называется затуханием контура. |
|
Q |
||||
Границы полосы пропускания можно определить по соотношению ω1, 2 = ω рез (1± 12Q)
Переход от первичных параметров аналоговых элементов L, C, R к вторичным параметрам, а именно - резонансной частоте wрез, добротности Q и полосе пропускания
Dw, очень важен с практической точки зрения. В значения параметров аналоговых элементов, кроме электрических характеристик материалов, входят трудно определяемые размеры пространства, занятого электромагнитным полем, особенно, когда невозможно выделить аналоговые элементы в виде отдельных конструктивных деталей. А вторичные параметры непосредственно измеряются и несут в себе информацию, необходимую конструктору электрических устройств.
Дополнительная литература:
М.В. Немцов. Электротехника и электроника: Учебник для вузов. – М.: Издательство МЭИ, 2003. ISBN 5-7046-0814-0
4.000 |
rezonans_laba.CIR |
|
|
3.200 |
|
2.400 |
|
1.600 |
|
9.504K,999.976m |
0.800 |
|
|
|
|
|
11.214K,704.751m |
|
|
|
|
0.000 4.000K |
4.800K |
6.000K |
7.200K |
8.400K |
9.600K |
10.800K |
12.000K |
13.200K |
14.400K |
16.000K |
|
|
|
|
Left |
|
Right |
|
Delta |
|
Slope |
v(2,3) (V) |
|
|
3.045 |
|
1.819 |
|
-1.226 |
|
-717.010u |
|
B v(3) |
(V) |
|
|
999.976m |
|
704.751m |
|
-295.226m |
|
-172.652u |
v(1,2) (V) |
|
|
3.040 |
|
2.528 |
|
-512.051m |
|
-299.454u |
|
F (Hz) |
|
|
9.504K |
|
11.214K |
|
1.710K |
|
1.000 |
|
90.000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45.000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-45.000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-90.000 4.000K |
4.800K |
6.000K |
7.200K |
8.400K |
9.600K |
10.800K |
12.000K |
13.200K |
14.400K |
16.000K |
|
|
|
|
Left |
|
Right |
|
Delta |
|
Slope |
ph(v(1))-ph(v(3)) |
|
|
110.189m |
|
45.031 |
|
44.921 |
|
26.585m |
|
F (Hz) |
|
|
|
9.514K |
|
11.204K |
|
1.690K |
|
1.000 |
Рис.2. Зависимости от частоты падений напряжения на элементах и разности фаз между э.д.с. источника и током в контуре.
Простейшая схема параллельного соединения приведена на рис.3.
Рис.3. Параллельный резонансный контур
Из её анализа следует, что ток источника будет равен
I = Iejψ |
= YU = Ye− jϕ ×Uejν |
|
|
||||||
где Y = |
|
|
|
- полная проводимость цепи |
|||||
|
G 2 +(BL − BC )2 |
||||||||
−ϕ =ψ −ν = arctg |
BC − BL |
- угол сдвига фаз между общим током и напряжением |
|||||||
|
G |
|
|
||||||
источника U. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ωрез =1/ |
|
|
||||||
При угловой частоте |
LC |
||||||||
индуктивная BL = |
1 |
|
и емкостная BC |
=ωC проводимости параллельных ветвей |
|||||
|
|
|
ωL |
|
|
|
|
|
|
одинаковы, общий ток и напряжение источника совпадают по фазе, причём общий ток принимает минимальное значение GU=U/R.
Название «резонанс токов» отражает равенство действующих значений токов в индуктивном и емкостном элементах в момент резонанса (но противоположны по фазе) и могут в Q раз превышать значение общего тока
I Lрез = U /(ωрез L) = IC рез = ωрез CU при противоположных фазах.
Если вместо источника э.д.с. применить источник тока, то при малых значениях тока источника можно достичь значительного увеличения напряжений на элементах. Рассмотрим зависимости от частоты действующего значения общего тока I (амплитудно-частотная характеристика, АЧХ) и разности фаз j между э.д.с. источника и общим током (фазочастотная характеристика, ФЧХ), которые приведены на рис.4.
Выделим на них две знаменательные точки v1 и v2 – когда разность фаз ϕ = ±π/4.
При этих частотах G = ωC −1/ϖL , и величина общего тока будет в Ö2 раз больше минимального значения. Здесь также полностью применимы понятия полосы
пропускания Dw и затухания контура S. Следует обратить внимание, что при резонансе тока измерять полосу пропускания по АЧХ достаточно трудно, особенно при высоких значениях добротности.
6.000m
4.800m
3.600m
2.400m
1.200m
0.000m
90.000
45.000
0.000
-45.000
-90.000
rezonans_para_laba.CIR
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.000K |
4.800K |
6.000K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.200K |
|
|
8.400K |
9.600K |
10.800K |
12.000K |
13.200K |
14.400K |
16.000K |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Left |
|
Right |
|
Delta |
|
Slope |
|
i(4,2) (A) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.875m |
|
2.964m |
|
88.834u |
|
-302.751n |
|
i(1,0) (A) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
249.290u |
|
176.984u |
|
-72.306u |
|
246.422n |
|
i(4,3) (A) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.051m |
|
2.960m |
|
-91.141u |
|
310.613n |
|
F (Hz) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.798K |
|
9.504K |
|
-293.423 |
|
1.000 |
|
9.514K,-599.946m
9.798K,-44.216
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.000K |
4.800K |
6.000K |
7.200K |
8.400K |
9.600K |
10.800K |
12.000K |
13.200K |
14.400K |
16.000K |
|
|
|
|
|
Left |
|
Right |
|
Delta |
|
Slope |
|
B ph(v(4))-ph(v(1,0)) |
|
|
-599.946m |
|
-44.216 |
|
-43.616 |
|
-153.955m |
||
F (Hz) |
|
|
|
9.514K |
|
9.798K |
|
283.305 |
|
1.000 |
|
Рис.4. АЧХ и ФЧХ для параллельного контура.
Проверочные вопросы по теории.
1.Что такое резонанс в электрических цепях?
2.Что является физической причиной явления резонанса в электрических цепях?
3.Какое различие между резонансом напряжений и резонансом токов?
4.Можно ли при помощи источника тока возбудить резонанс напряжений?
5.Можно ли при помощи источника напряжения возбудить резонанс токов?
6.Сколько может быть резонансов в системе содержащей несколько катушек индуктивностей и конденсаторов?
7.В электрической системе удалось выявить наличие 3 емкостей и 3 индуктивностей. Сколько будет резонансов и каких?
8.Обязательно ли для появления резонанса наличие катушек индуктивностей и конденсаторов, выполненных в виде отдельных элементов?
9.Возможен ли электрический резонанс в консервной банке?
10.Каково значение резонансной частоты?
11.Чему равен период колебаний резонансной частоты?
12.Чему равно значение характерного сопротивления колебательного контура? Укажите единицу измерения.
13.Чему равно значение сдвига фаз между током источника и напряжением на нём в момент резонанса ?
14.Что такое граница полосы пропускания?
15.Чему равно значение сдвига фаз между током и напряжением источника на границе полосы пропускания?
16.Чему равно значение тока в момент резонанса в идеальном контуре при последовательном и параллельном соединении реактивных элементов?
17.Каково соотношение между значениями тока источника в момент резонанса и на границе полосы пропускания?
18.Каково соотношение между реактивной и активной мощностью на границе полосы пропускания?
19.Что такое добротность контура?
20.Что такое затухание контура?
21.Можно ли говорить о резонансе при значении добротности меньше 1?
22.Каково соотношение между добротностью контура и полосой пропускания?
23.Что такое вторичные параметры электрической цепи, использующей явления резонанса?
24.Отличаются ли вторичные параметры для электрических цепей с последовательным и параллельным соединением одинаковых аналоговых элементов?
25.При каком значении добротности последовательного резонансного контура максимальные значения напряжения на элементах окажутся на одной частоте? Чему будет равна эта частота?
26.Какие технические мероприятия можно предложить для увеличения добротности контура?
27.Рассчитайте значения резонансной частоты ω0, характеристического сопротивления ρ, добротности Q и границы полосы пропускания для контуров со следующими значениями аналоговых элементов?
А) |
C=0,1 мкФ; L= 10 мкГн; R=1 Ом |
В) |
C=0,4 мкФ; L= 10 мкГн; R=2 Ом |
С) |
C=0,4 мкФ; L= 10 мкГн; R=4 Ом |
D) |
C=0,2 мкФ; L= 5 мкГн; R=0,5 Ом |
Решите простейшие задачи.
1. Дано: XL=10 Ом; R=10 Ом . Найти XC при резонансе.
|
L |
|
A |
C |
B |
|
||
|
R |
|
2.Дано: XС=10 Ом; XL2=20 Ом; R=15 Ом
Каким должно быть индуктивное сопротивление XL1, чтобы в цепи имел место резонанс напряжений?
L 1
A
L 2 |
C |
|
R
B
3.Дано: VL=13 B; VC=12 B Найти VАВ при резонансе.
L
A
C
B
4.Дано: Р=16 Вт; VAB=4 B; XL=2 Ом. Найти R и XC
C
A
R 
L
B
5. Построить векторную диаграмму токов и напряжений при резонансе
Ic |
|
|
A |
C |
IL |
|
|
|
IR |
L |
C |
BR
6. Построить векторную диаграмму токов и падений напряжения на элементах при резонансе.
|
IL |
|
|
A |
L |
|
Ic |
|
IR |
C |
C |
|
|
|
BR
7. Дано: VAB = 100 B; IC = 14,1 A; IL = Iab
Найти IL = Iab [A], а также номиналы элементов R, XL, XC [Ом]
Ia b |
|
|
A |
|
C |
|
|
|
IL |
L |
Ic |
|
||
|
|
R |
B |
|
|
Машинное моделирование резонансных электрических цепей.
Математическое моделирование явлений электрического резонанса удобно проводить с помощью специализированных программ по расчётам аналоговых электрических цепей.
Для этих целей удобно использовать программу MicroCAP, студенческий вариант версии 9 которой можно получить бесплатно на сайте www.spectrum-soft.com. Кроме этого, по программам MicroCAP существуют методические пособия на русском языке, например: М.А. Амелина, С.А. Амелин. Программа схемотехнического моделирования Micro-Cap 8, 2007, ISBN 978-5-93517-339-5.
Можно также воспользоваться устаревшими версиями других аналогичных программ, которые можно приобрести за символическую цену или найти в Интернете на радиолюбительских сайтах.
Во всех приведённых далее примерах используется студенческая версия программы MicroCAP 9.
Задание 1. Рассчитать АЧХ и ФЧХ последовательного резонансного контура (резонанс напряжений) со следующими значениями аналоговых элементов L = 5,6 мГн; С = 0,05 мкФ; R = 110 Ом
Предварительно с помощью калькулятора грубо определим вторичные параметры:
ω рез = |
1 |
|
= |
1 |
|
= 106 |
|
= 5,98.104 |
|
LC |
5,6.10−3 *5.10−8 |
56*5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Или
Fрез =5,98.104 
2π =9,52.103 =9,52кГц
ρ = 
LC = 
1,1.105 = 334Ом
Q = ρ R = 3,04
ω1, 2 = ωрез (1± 12Q) = 11,1 (7,93) кГц
Далее в графическом редакторе соберём схему
I |
5 6 e |
-4 |
|
|
|
||
1 |
L |
|
2 |
|
|
|
V 1 |
C |
5 e -8 |
|
3 |
R
1 1 0
Рис.5
Обратите внимание, что для анализа по переменному току (AC analysis) нужно применять источник переменного тока. Рекомендуемая амплитуда переменного сигнала 1В, частота 10кГц, внутреннее сопротивление 1мОм. В данном случае выбран источник гармонического сигнала с частотой 1е4 Гц.
Выбираем АС анализ, устанавливаем пределы и определяем выводимые величины, а именно
V(2,3) – напряжение на резисторе или ток в контуре;
V(1,2) – напряжение на катушке индуктивности;
V(3) - напряжение на конденсаторе;
Ph(V(2,3)) - разность фаз между током в контуре и напряжением источника. Размах частот для расчёта установим от 7 до 13 кГц исходя из рассчитанных предварительно значений резонансной частоты и полосы пропускания.
Результаты анализа будут иметь следующий вид (рис.6).
4.000 |
|
|
|
rezonans_laba.CIR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.200 |
|
|
|
|
|
|
2.400 |
|
|
|
|
|
|
1.600 |
|
|
|
|
|
|
0.800 |
|
|
|
|
|
|
0.000 |
7.000K |
8.400K |
9.600K |
10.800K |
12.000K |
13.000K |
|
|
|
Left |
Right |
Delta |
Slope |
|
v(2,3) (V) |
|
1.929 |
1.023 |
-906.436m |
-151.073u |
|
v(3) (V) |
|
466.746m |
459.600m |
-7.146m |
-1.191u |
|
v(1,2) (V) |
|
1.045 |
1.911 |
866.077m |
144.346u |
|
F (Hz) |
|
7.000K |
13.000K |
6.000K |
1.000 |
90.000 |
|
|
|
|
|
|
45.000 |
|
|
|
|
|
|
0.000 |
|
|
9.514K,110.189m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-45.000 |
|
8.067K,-45.181 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-90.000 7.000K |
8.400K |
9.600K |
10.800K |
12.000K |
13.000K |
|
|
|
|
Left |
Right |
Delta |
Slope |
|
B ph(v(1))-ph(v(3)) |
|
-45.181 |
110.189m |
45.291 |
31.303m |
|
F (Hz) |
|
8.067K |
9.514K |
1.447K |
1.000 |
С помощью маркёров можно определить резонансную частоту
ωрез=9509 Гц (расчётное 9520 Гц) и границы полосы пропускания
ω1=8032 Гц и ω2=11204Гц (расчётные 7930 и 11100 Гц)
Отсюда измеренная добротность Q=ωрез/Δω=2,92 (расчётное 3,04). Характеристическое сопротивление ρ=Q.R=321,2 (расчётное 334). Распечатайте эти кривые для дальнейшего использования при аналоговом моделировании в лаборатории.
Задание 2.
С помощью подпрограммы Stepping посмотрите, как изменяются АЧХ и ФЧХ при изменении добротности. Для этого в выпадающем окне этой подпрограммы введите изменение значения R от 70 до 150 Ом при шаге 40 Ом.
Определите вторичные характеристики для крайних случаев.