4758
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет» (ННГАСУ)
Методические указания и контрольные задания по математике для студентов заочного обучения всех направлений
Часть 3
Нижний Новгород ННГАСУ
2013
УДК 517.9
Методические указания и контрольные задания по математике для студентов заочного обучения всех направлений. Часть 3 [Текст]: метод. разраб. для студентов/ Нижегор. гос. архитектур.- строит. ун-т; сост. П.В. Столбов, Л.А. Протасова – Н.Новгород: ННГАСУ, 2013.- 61с.
Методические указания и контрольные задания по математике предназначены для студентов заочной формы обучения всех направлений.
Составители: П.В. Столбов, Л.А. Протасова
© Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, 2013
2
§1. Дифференциальные уравнения первого порядка
Вкурсе математики средней школы изучались алгебраические уравнения, где неизвестными были числа. Сейчас мы переходим к рассмотрению так называемых дифференциальных уравнений, при решении которых находят неизвестные функции, удовлетворяющие заданным соотношениям, включающим операцию дифференцирования.
Рассмотрим для начала задачу о законе изменения скорости свободного падающего тела. Пусть тело массы m падает с некоторой высоты. Учтем, что кроме силы тяжести, на него действует сила сопротивления воздуха. Запишем второй закон Ньютона
m |
dv |
= mg − kv , |
(1.1) |
|
|
||||
|
dt |
|
|
|
предполагая, что сила сопротивления пропорциональна скорости |
v |
в |
||
каждый момент времени t с коэффициентом пропорциональности |
k . |
Уравнение (1.1), кроме неизвестной функции v = v(t), содержит еще и ее
производную dv = v′(t). Это и есть дифференциальное уравнение. dt
Дадим общие определения. Дифференциальным уравнением
первого порядка называется уравнение
F(x, y, y′)= 0, |
(1.2) |
связывающее независимую переменную x и искомую функцию |
y с ее |
первой производной y′. Если y′ можно явно выразить через оставшиеся
переменные уравнения (1.2), то оно приобретает вид |
|
y′ = f (x, y). |
(1.3) |
Решением дифференциального уравнения (1.2) называется функция y =ϕ(x), которая при подстановке в уравнение (1.2) обращает его в тождество.
Можно убедиться, в частности, что функция
3
v(t) = C e− |
k |
t + |
mg |
|
|
m |
(1.4) |
||||
k |
|||||
|
|
|
|
при любом значении постоянной C удовлетворяет уравнению (1.1). Действительно, подставляя функцию (1.4) и ее производную
|
k |
Ce− |
k |
|
||
v′(t) = − |
|
t |
|
|||
m |
в (1.1), получим тождество. Это означает, что функция |
|||||
m |
||||||
|
|
|
|
|
||
вида (1.4) является решением уравнения (1.1). |
Заметим, что мы нашли бесконечно |
много |
функций, |
удовлетворяющих дифференциальному уравнению |
(1.1) |
– каждому |
значению постоянной C соответствует свое решение |
вида (1.4). |
Множество функций y = ϕ(x,C), обращающих уравнение (1.3) в
тождество, называют общим решением дифференциального уравнения
(1.3). Запись общего решения содержит произвольную постоянную C.
Заметим, что решение дифференциального уравнения может быть
записано и в неявном виде Φ(x, y,C) = 0. |
|
Допустим, что в рассматриваемой задаче известна скорость |
тела в |
начальный момент времени t = 0. Обозначим её v0 = v(0). |
Чтобы |
определить, как будет изменяться скорость тела в дальнейшем, выделим |
из найденного множества решений (1.4) только одно - то, которое
соответствует начальному |
условию |
v0 =v(0). |
При |
t = 0 |
и v =v0 из |
||||||
множества решений (1.4) |
получим |
v =C+ |
mg |
, |
откуда |
C = v |
|
− |
mg |
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
k |
|
|
0 |
|
k |
Подставляя найденное значение постоянной в (1.4), получим закон изменения скорости v падающего тела при заданном начальном условии
(v(0)= v0 ):
− |
k |
t |
|
mg |
− |
k |
t |
|
||
|
|
|
|
|||||||
v(t) = v0 e m |
+ |
|
1 |
− e m |
. |
(1.5) |
||||
k |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
Согласно последнему равенству, скорость v падающего тела при
t → ∞ будет стремиться к величине mg . Отсюда, в частности, можно k
найти нужный коэффициент сопротивления k (парашют), чтобы
обеспечить приземление с допустимой скоростью. Функция (1.5) представляет собой так называемое частное решение уравнения (1.1), соответствующее начальному условию v0 =v(0).
Частным решением уравнения (1.3) называется одна функция, удовлетворяющая самому уравнению и начальному условию. Задачу нахождения частного решения дифференциального уравнения (1.3),
удовлетворяющего данному начальному условию y(x0 ) = y0 , |
называют |
||
задачей Коши. Если правая часть |
f (x, y) уравнения (1.3) непрерывна в |
||
некоторой области, содержащей |
начальную точку |
(x0 , y0 ), |
и имеет |
|
|
∂f |
|
непрерывную в этой области частную производную |
∂y , то задача Коши |
имеет единственное решение. При этих условиях частное решение получается из общего решения при конкретном значении произвольной постоянной C.
Процесс отыскания решения дифференциального уравнения называется его интегрированием, а график решения – интегральной кривой. Рассмотрим геометрическую интерпретацию решений уравнения (1.3) на конкретном примере. Пусть требуется найти частное решение дифференциального уравнения
y′ = 2x , |
(1.6) |
удовлетворяющего начальному условию
y(2)= 4. (1.7) Непосредственной подстановкой убеждаемся, что функция вида
y = x2 + C |
(1.8) |
5
обращает уравнение (1.6) в тождество. Она содержит произвольную постоянную C и является общим решением уравнения (1.6). Построив в плоскости xOy графики этих функций при различных значениях C. мы получим семейство парабол (см. рис.1).
Чтобы выделить из этого семейства интегральных кривых конкретную параболу, соответствующую условию (1.7), рассмотрим точку с координатами (2;4). Через нее проходит парабола семейства (1.8), для которой C = 0. Соответствующее решение y = x2 является искомым частным решением.
y
4
|
1 |
|
|
0 |
1 |
2 |
x |
|
|
|
-2 -3
Рис. 1
Переходим к рассмотрению конкретных видов дифференциальных уравнений первого порядка и методов их решения.
Если правая часть f (x, y) дифференциального уравнения (1.3) может быть записана в виде произведения функций двух функций Q(x) и P(y), зависящих от переменных x и y соответственно, то есть y′ = Q(x) P(y), то уравнение называют дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Учитывая, что y′ = dy , перепишем последнее уравнение в виде dx
6
|
dy |
= Q(x) P(y) |
или dy = Q(x) P(y)dx. |
||||||
|
|
||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|||
Умножая обе части последнего уравнения на |
1 |
|
(P(y)≠ 0), получим |
||||||
P(y) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dy |
|
= Q(x)dx, |
(1.9) |
|||
|
|
|
P(y) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
в котором каждая из переменных x и y находится в той части уравнения, где ее дифференциал. Считая y известной функцией от x , равенство (1.9) можно рассматривать как равенство двух дифференциалов и интегрировать обе части уравнения (1.9). Полученные при этом функции
|
|
∫ |
P(y) |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P(y) = |
|
dy |
и |
Q (x) = |
|
|
Q(x)dx |
будут |
|
отличаться |
|
постоянным |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
слагаемым: P1(y) = Q1 (x)+ C . |
|
Мы записали |
соотношение, |
связывающее |
||||||||||||||||||||
решение |
y , независимую переменную x и произвольную постоянную C , |
|||||||||||||||||||||||
это |
|
соотношение |
и |
представляет |
собой |
общее |
решение |
|||||||||||||||||
дифференциального уравнения (1.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Уравнение с разделяющимися переменными, записанное исходно в |
|||||||||||||||||||||||
дифференциальной форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
P1 (x) Q1 (y)dx + P2 (x) Q2 (y)dy = 0, |
|
|
|
|||||||||||||||
решается аналогично. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Решим для примера дифференциальное уравнение |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = |
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
(1.10) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Функцию f (x, y)= |
y |
в правой части уравнения можно представить в виде |
||||||||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
произведения |
f (x, y)= Q(x) P(y)= |
1 |
y и переписать уравнение (1.10): |
|||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
dy |
= |
y |
или |
dy = |
y |
dx. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
7
Умножая |
обе |
части последнего |
|
уравнения на функцию |
1 |
|
|
(y ≠ 0), |
|||||||||||||||||
y |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
получим |
dy |
= |
dx |
. Интегрируя |
∫ |
dy |
= ∫ |
dx |
, находим |
ln |
|
y |
|
= ln |
|
x |
|
+ ln |
|
c |
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
y |
x |
|
y |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или ln y = lnCx , откуда y = C x – общее решение уравнения (1.10), где
C – произвольная постоянная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Решим далее задачу Коши: найдем решение уравнения |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(1+ x2 )dy + y2 dx = 0, |
|
|
|
|
|
|
(1.11) |
|||||||||||||
при условии, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0)=1. |
|
|
|
|
|
|
|
(1.12) |
||||||
|
|
Дифференциальное уравнение (1.11) с разделяющимися |
|
||||||||||||||||||||||
переменными запишем в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(1+ x2 )dy = −y2 dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Умножая обе части последнего уравнения на |
|
1 |
|
|
|
(y |
≠ 0), разделим |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
y2 |
(1+ x2 ) |
||||||||||||||||||||||||
переменные: |
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
= − |
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Интегрируя |
∫ |
dy |
= −∫ |
|
|
dx |
|
, |
находим |
− |
1 |
= −arctg x + C , |
или |
||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
1 |
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
||||||
|
1 |
= arctg x + C , где C – произвольная постоянная. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, общее решение уравнения (1.11) имеет вид |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= arctg x + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учет начального |
условия |
(1.12) |
дает |
1 |
= arctg0 + C , |
откуда |
C =1. |
||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, решение задачи Коши записывается в виде |
1 |
= arctg x +1 |
||||
y |
||||||
|
|
|
|
|
||
или |
y = |
1 |
. |
|
||
|
|
|||||
1+ arctgx |
|
8
Рассмотрим далее линейные дифференциальные уравнения первого порядка, которые, по определению, имеют вид
|
y′ + p(x) y = q(x). |
|
(1.13) |
|
Решение уравнения (1.13) будем искать в виде произведения |
|
|||
|
|
y = u v |
|
(1.14) |
двух неизвестных функций |
u = u(x) и v = v(x), тогда |
|
|
|
|
y′ = (u v)′ = u′ v + u v′ . |
|
(1.15) |
|
Подставив в уравнение (1.13) вместо y и y′равенства |
(1.14) и |
(1.15) |
||
соответственно, получим |
|
|
|
|
|
u′v + uv′ + p(x) u v = q(x), |
|
|
|
или |
u′v + u(v′ + p(x) v)= q(x). |
|
(1.16) |
|
Рассмотрение |
вместо |
одной неизвестной функции |
y = y(x) |
двух |
функций u(x) и v(x) дает возможность ввести для одной из них, в частности v(x), дополнительное условие, которое упростит уравнение. Оно
состоит в требовании обращения выражения |
v′ + p(x) v в нуль, то есть |
||||||||
|
|
|
|
v′ + p(x) v = 0. |
|
|
(1.17) |
||
|
|
Уравнение (1.17) является дифференциальным уравнением с |
|||||||
разделяющимися |
переменными |
v и |
x . |
Его |
запишем в виде |
||||
|
dv |
+ p(x) v = 0 |
или |
dv |
= − p(x) v. Умножая |
обе |
части последнего |
||
|
|
|
|||||||
|
dx |
|
dx |
|
|
|
|
уравнения на dx , разделяем переменные: dv = − p(x) dx . Интегрируем
|
|
v |
v |
|
|
∫ |
dv |
= −∫ p(x) dx |
и находим одно из решений уравнения (1.17), например, |
||
|
|||||
|
v |
|
|
|
|
при постоянной |
C = 0. Это решение обозначим |
v =v0 (x). |
Для второй |
||
неизвестной функции u(x) из (1.16) получим |
уравнение |
u′ v0 = q(x). |
9
Снова разделяем |
переменные |
du = |
q(x)dx |
|
и, |
интегрируя, |
находим |
|||||
|
v0 (x) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u = ∫ |
q(x)dx |
+ C , где C – произвольная постоянная. |
|
|||||||||
|
|
|||||||||||
|
v (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя найденные u(x) и v =v0 (x) |
в функцию (1.14), получаем |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
q(x)dx |
|
|
|
|
решение уравнения (1.13) в виде |
y = |
|
|
|
|
+C |
v0(x). |
|
||||
∫ v0(x) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Найдем для примера общее решение уравнения |
|
||||||||||
|
|
|
|
y′ − 2y = xe2x |
|
|
(1.18) |
|||||
В нем по условию |
p(x) = −2 , q(x)= xe2x . Подставив в уравнение y = u v и |
|||||||||||
y′ = u′ v + u v′, получим |
u′ v + u v′ − 2uv = xe2x , |
|
|
|||||||||
или |
|
u′ v + u (v′ − 2v)= xe2 x . |
|
(1.19) |
||||||||
В качестве функции |
v возьмем |
одно решение v =v0 (x) |
уравнения |
v′ − 2v = 0 при значении C = 0. Перепишем его в виде dv = 2v, разделим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||
переменные |
dv |
= 2dx |
и, интегрируя |
∫ |
dv |
= 2∫dx , находим ln |
|
v |
|
=2x+C. |
|||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
v |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При C = 0 получим |
v = v = e2x . |
|
(1.20) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставим функцию (1.20) в (1.19), получим u′e2x = xe2x или |
du |
= x. |
|||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||
Снова разделяя переменные du = xdx и интегрируя |
∫du = ∫xdx, |
||||||||||||||||||
находим |
u = |
x2 |
+ C, |
|
(1.21) |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где C – произвольная постоянная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Подставляя найденные |
функции |
|
(1.20) и |
(1.21) |
в равенство y = u v, |
||||||||||||||
получим общее решение данного уравнения (1.18) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
y = |
|
|
|
+ C e |
2x . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10