5512

Обобщим некоторые сведения о векторах, известные в основном из школьного курса геометрии.

Вектором называется направленный отрезок. Чтобы отрезок стал направленным, один из его концов объявляется началом вектора, а другой – концом вектора. На чертеже вектор изображается стрелкой (см. рис. 1), идущей от начала к концу. В записи вектор обозначается маленькой буквой латинского алфавита с чертой a или стрелкой a сверху или парой заглавных букв латинского алфавита с

чертой AB или стрелкой AB сверху, из которых первая буква – начало вектора, а вторая буква – конец вектора.

B

a

A	Рис. 1

Длиной вектора называется длина отрезка, изображающего данный вектор и обозначается: a или AB .

Назовем вектор ортом, если его длина в некотором масштабе равна единице.

Для обозначения единичных векторов, или ортов, чаще используют буквы: e , i , j ,

k ( e = i = j = 1).

Задание вектора с помощью орта и длины не фиксирует его начала. Такие векторы называются свободными. Свободный вектор можно переносить параллельно самому себе и его началом можно считать любую точку пространства. В векторной алгебре всегда имеем дело со свободными векторами и будем их переносить параллельно самим себе, меняя точку их приложения, то есть начало вектора.

Нуль-вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Он имеет нулевую длину, то есть 0 = 0 .

Линейные операции над векторами

10

Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножение вектора на число.

Суммой двух векторов a и b называется третий вектор c , начало которого

совпадает с началом вектора a , а конец –

с концом вектора b , при чем конец

и начало вектора

совмещаются и обозначается:

=

+

.

a

c

a

b

вектора

b

. (См. рис. 2)

Пусть даны вектора

a

и

b

a

b

Рис.2

Чтобы их сложить, то есть найти сумму a + b этих векторов, необходимо нарисовать a и b в одном и том же масштабе таким образом, чтобы начало вектора b – второго слагаемого, совпало с концом вектора a – первого слагаемого (см. рис. 3). Тогда отрезок, соединяющий начало вектора a с концом вектора b будет суммой a + b в том же масштабе, в котором представлены a и b .

b

a

a + b

Рис. 3

Противоположным вектору a называется такой вектор (− a), который при сложении с вектором a дает нуль-вектор, то есть (− a)+ a = 0 .

Заметим, что разностью векторов a и b является сумма вектора a и вектора

(− b), противоположного вектору b , то есть a − b = a + (− b).

11

Произведением вектора a на число λ называется такой вектор λa ,

направление которого совпадает с вектором

a , если λ > 0 и

противоположно

, если λ < 0 ; длина же вектора λ

λ

раз «больше»

направлению вектора

a

a

в

длины вектора

a

, то есть

λ

=

λ

×

a

a

.

Пусть дан вектор a (см. рис. 4), тогда векторы b = 2a , c = -3a изображены на рисунке 5.

b

a

c

Рис. 4

Рис. 5

Свойства линейных операций над векторами:

1.(a + b)+ c = a + (b + c)

2.a + b = b + a

3.a + 0 = a

4.a + (- a)= 0

5.α × (β a)= (α β )a

6.λ(a + b)= λ a + λ b

7.(λ + μ )a = λ a + μ a

8.1× a = a , где α , β , λ , μ – действительные числа.

Действия над векторами в координатной форме.

12

Oz , проходящие

Три единичных взаимно перпендикулярных вектора i , j , k пространства,

через которые условились выражать все векторы пространства, называются

базисными векторами или базисом.

Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки O и базиса (i, j, k ). (См. рис. 6)

z

a3

	k	1	a
			j	a2
a1	i	O	1	y
	1
x
			Рис. 6

Точка O называется началом координат, оси Ox , Oy и

через начало координат – точку O в направлении базисных векторов i , j и k

называются осями координат. Плоскости xOy , xOz и yOz , проходящие через каждую пару осей координат называются координатными плоскостями.

Если выбрана прямоугольная декартова система координат, то любой вектор a пространства может быть единственным образом разложен по векторам i , j , k

базисным как:

a = a1 ×i + a2 × j + a3 × k ,

то есть для каждого вектора a пространства в выбранной прямоугольной декартовой системе координат найдется единственная тройка чисел – координат

{a1 , a2 , a3 }, что позволяет написать равенство: a = {a1 , a2 , a3 } (см. рис. 6).

Если два вектора a и b в прямоугольной декартовой системе координат заданы своими координатами, то есть a = {a1 , a2 , a3 }, b = {b1 , b2 , b3 }, то

13

1)λ a = {λ a1 , λ a2 , λ a3 };

2)a + b = {a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 }.

Пример. Найти координаты вектора c = 2a + b , если a = {1; 2;3},

b = {-1; 0;1}.

Решение:

2a = {2 ×1; 2 × 2; 2 ×3}= {2; 4; 6}.

c = 2a + b = {2; 4; 6}+ {-1;0;1}= {2 + (-1); 4 + 0; 6 +1}= {1; 4; 7}.

Ответ: c = {1; 4; 7}.

Для произвольной точки M (x; y; z) в прямоугольной декартовой системе координат координатами вектора OM являются проекции вектора на оси Ox , Oy ,

Oz соответственно, то есть OM = {x; y; z}. (См. рис. 7)

		z
		M
		O
		y
	x	B
		A
		Рис. 7

Длина вектора OM находится из двух прямоугольных треугольников OBA

и OAM :

OA2 = OB 2 + AB2 = x2 + y 2 ;

OM = OA2 + AM 2 = x2 + y2 + z2 .

Пример. Найти a , если a = i - 2 j + 2k .

14

Решение. Координаты вектора a : a = {1;-2; 2}. Длина вектора a : a = 12 + (- 2)2 + 22 = 3.

Ответ: a = 3.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними и обозначается: a ×b , то есть

a ×b = a × b ×cos (a b) .

Свойства скалярного произведения:

1)a ×b = b × a ;

2)(λa)×b = λ(a ×b), λ R ;

3)a × (b + c)= a ×b + a × c ;

4)a × a = a 2 или

a

=

a

×

a

.

(2.1)

=

+ 2

= 2 ,

=1,

Пример. Найти длину вектора

c

a

b

, если

a

b

a

b

= 60O .

Решение. По формуле (2.1), находим

c = c × c = (a + 2b)× (a + 2b) = a 2 + 4a b + 4 b 2 =

= 22 + 4 a × b × cos a b+ 4 ×12 = 4 + 4 × 2 ×1× cos 60O + 4 =

= 8 + 8 × 1 = 12 = 23 . 2

Ответ: c = 23 .

15

= {a1; a2 ; a3} и

Если два вектора

a

и

b

заданы своими координатами:

a

= {b1 ;b2 ;b3}, то их скалярное произведение находим по формуле:

b

×

= a1 ×b1 + a2b2 + a3b3 .

a

b

(2.2)

и (- 3

), если

Пример. Найти

скалярное произведение векторов 2

a

b

a = {1; 2;3} и b = {0;-1;1}.

Решение. Координаты векторов 2a и (- 3b):

2a = 2{1; 2;3}= {2 ×1; 2 × 2; 2 ×3}= {2; 4; 6};

(- 3b)= -3{0;-1;1} = {- 3 × 0;-3 ×(-1);-3 ×1} = {0;3;-3}.

По формуле (2.2) искомое скалярное произведение равно:

2a × (- 3b)= 2 × 0 + 4 ×3 + 6 × (- 3) = 0 +12 -18 = -6.

Ответ: − 6 .

Некоторые приложения скалярного произведения:

1. Угол между двумя ненулевыми векторами a = {a1 ; a2 ; a3 } и b = {b1 ; b2 ; b3 }

из определения скалярного произведения вычисляется по формуле:

a ×b

(

) = arccos

a

b

или

×

a

b

a1b1 + a2b2 + a3b3

(a b) = arccos

(2.3)

a2

+ a2

+ a2

× b2

+ b2

+ b2

1

2

3

1

2

3

=

+ 2

+ 2

и

= -

+

.

Пример. Найти угол между векторами

a

i

j

k

b

j

k

:

= {1; 2; 2} и

= {0;-1;1}.

Решение. Координаты векторов

a

и

b

a

b

Тогда по формуле (2.3), угол между векторами a и b равен:

16

1× 0 + 2 ×(-1) + 2 ×1

0 -1 +

2

= arccos 0 ,

(

a

b

) = arccos

= arccos

12

+ 22 + 22 × 02 + (-1)2 +

12

3 × 0

следовательно, (

) = 90O , то есть

^

a

b

a

b

.

Ответ: 90O .

на вектор

вычисляется по формуле:

2. Проекция вектора

a

b

=

×

.

np

a

b

a

b

b

=

-

и

= 2

+

.

Пример. Найти np

b

, если

a

i

k

b

i

j

a

Решение. Координаты векторов

= {1; 0;-1},

= {2;1;0}. Тогда

a

b

=

×

=

1× 2 + 0 ×1 + (-1)×

0

=

2

=

.

a

b

np

b

2

a

a

12 + 02 + (-1)2

2

Ответ: np a b = 2 .

Векторное произведение векторов

Три некомпланарных (непараллельных одной плоскости) вектора a , b и c , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку векторов, если из конца

третьего вектора c поворот от первого вектора a ко второму вектору b по кротчайшему пути виден против хода часовой стрелки, и левую, если по часовой. (См. рис. 8)

17

c										c
				b			b
		a							a
	правая							левая
	тройка						тройка
						Рис. 8

Векторным произведением вектора a на вектор b называется такой вектор

c, что:

1)c ^ a , c ^ b ;

=

×

×sin

2)

c

a

b

a

b

;

правая, и обозначается

´

=

.

3)

тройка векторов

a

,

b

, и

c

–

a

b

c

Из

определения векторного

произведения непосредственно вытекают

следующие соотношения между ортами i , j , и k :

i ´ j = k , j ´ k = i , k ´ i = j .

Поскольку тройки векторов (j,i , k ), (k, j,i) и (i, k, j) левые, то

j ´i = -k , k ´ j = -i , i ´ k = - j .

Свойства векторного произведения:

1)a ´b = -(b ´ a);

2)c ´ (a + b)= c ´ a + c ´ b ;

3)λ(a ´b)= (λa)´b = a ´ (λb), λ R ;

4)a ´b = 0 a || b .

18

= {a1 ; a2 ; a3 } и

= {b1 ; b2 ; b3 }

Векторное

произведение

двух

векторов

a

b

находится по формуле:

´

=

a2

a3

×

-

a1

a3

×

+

a1

a2

×

.

a

b

i

j

k

b2

b3

b1

b3

b1

b2

Пример. Найти векторное произведение векторов

= {1; 2;3} и

= {0;1;-1}.

a

b

Решение.

2

3

1

3

1

2

a ´ b =

×i -

× j +

× k =

1

-1

0

-1

0

1

= (- 2 - 3)×i - (-1- 0)× j + (1 - 0)× k = - 5i + j + k .

Ответ: a ´b = - 5i + j + k .

Геометрический смысл векторного произведения состоит в том, что площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b (см. рис. 9) равна модулю векторного произведения векторов a и b , так как:

b

α

a

Рис. 9

a ´b = a × b ×sinα = Sпарал.

Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах a и b (см. рис. 10) равна половине модуля векторного произведения, построенного на векторах a и b , то есть

	S =	1		=	1				´			.
			Sпарал.					a		b
	2			2

19