5516
.pdfОбобщим некоторые сведения о векторах, известные в основном из школьного курса геометрии.
Вектором называется направленный отрезок. Чтобы отрезок стал направленным, один из его концов объявляется началом вектора, а другой – концом вектора. На чертеже вектор изображается стрелкой (см. рис. 1), идущей от начала к концу. В записи вектор обозначается маленькой буквой латинского алфавита с чертой a или стрелкой a сверху или парой заглавных букв латинского алфавита с
чертой AB или стрелкой AB сверху, из которых первая буква – начало вектора, а вторая буква – конец вектора.
B
a
A |
Рис. 1 |
|
Длиной вектора называется длина отрезка, изображающего данный вектор и обозначается: a или AB .
Назовем вектор ортом, если его длина в некотором масштабе равна единице.
Для обозначения единичных векторов, или ортов, чаще используют буквы: e, i , j ,
k ( e = i = j = 1).
Задание вектора с помощью орта и длины не фиксирует его начала. Такие векторы называются свободными. Свободный вектор можно переносить параллельно самому себе и его началом можно считать любую точку пространства. В векторной алгебре всегда имеем дело со свободными векторами и будем их переносить параллельно самим себе, меняя точку их приложения, то есть начало вектора.
Нуль-вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Он имеет нулевую длину, то есть 0 = 0 .
Линейные операции над векторами
10
Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножение вектора на число.
Суммой двух векторов a и b называется третий вектор c , начало которого
совпадает с началом вектора a , а конец – |
с концом вектора b , при чем конец |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
совмещаются и обозначается: |
|
= |
|
+ |
|
. |
|||||
вектора |
a |
и начало вектора |
b |
c |
a |
b |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть даны вектора a и b . (См. рис. 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
b |
Рис.2
Чтобы их сложить, то есть найти сумму a + b этих векторов, необходимо нарисовать a и b в одном и том же масштабе таким образом, чтобы начало вектора b – второго слагаемого, совпало с концом вектора a – первого слагаемого (см. рис. 3). Тогда отрезок, соединяющий начало вектора a с концом вектора b будет суммой a + b в том же масштабе, в котором представлены a и b .
b
a
a + b
Рис. 3
Противоположным вектору a называется такой вектор (− a), который при сложении с вектором a дает нуль-вектор, то есть (− a)+ a = 0 .
Заметим, что разностью векторов a и b является сумма вектора a и вектора
(− b), противоположного вектору b , то есть a − b = a + (− b).
11
Произведением вектора a на число λ называется такой вектор λa ,
направление которого совпадает с вектором a , если λ > 0 и противоположно направлению вектора a , если λ < 0 ; длина же вектора λa в λ раз «больше»
длины вектора a , то есть
λ a = λ × a .
Пусть дан вектор a (см. рис. 4), тогда векторы b = 2a , c = -3a изображены на рисунке 5.
b
a
c
Рис. 4 |
Рис. 5 |
Свойства линейных операций над векторами:
1.(a + b)+ c = a + (b + c)
2.a + b = b + a
3.a + 0 = a
4.a + (- a)= 0
5.α ×(β a)= (α β )a
6.λ(a + b)= λ a + λ b
7.(λ + μ )a = λa + μa
8.1× a = a , где α , β , λ , μ – действительные числа.
Действия над векторами в координатной форме.
12
Три единичных взаимно перпендикулярных вектора i , j , k пространства,
через которые условились выражать все векторы пространства, называются
базисными векторами или базисом.
Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки O и базиса (i, j, k ). (См. рис. 6)
z
a3
|
k |
1 |
a |
|
|
|
|
||
|
|
|
j |
a2 |
a1 |
i |
O |
1 |
y |
|
||||
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6 |
|
Точка O называется началом координат, оси Ox , Oy и Oz , проходящие через начало координат – точку O в направлении базисных векторов i , j и k
называются осями координат. Плоскости xOy , xOz и yOz , проходящие через каждую пару осей координат называются координатными плоскостями.
Если выбрана прямоугольная декартова система координат, то любой вектор a пространства может быть единственным образом разложен по векторам i , j , k
базисным как:
a = a1 ×i + a2 × j + a3 × k ,
то есть для каждого вектора a пространства в выбранной прямоугольной декартовой системе координат найдется единственная тройка чисел – координат
{a1 , a2 , a3 }, что позволяет написать равенство: a = {a1 , a2 , a3 } (см. рис. 6).
Если два вектора a и b в прямоугольной декартовой системе координат заданы своими координатами, то есть a = {a1 , a2 , a3 }, b = {b1 , b2 , b3 }, то
13
1)λ a = {λ a1 , λ a2 , λ a3 };
2)a + b = {a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 }.
Пример. Найти координаты вектора c = 2a + b , если a = {1; 2;3},
b = {-1;0;1}.
Решение:
2a = {2 ×1; 2 × 2; 2 ×3}= {2; 4;6}.
c = 2a + b = {2; 4;6}+{-1;0;1}= {2 + (-1); 4 + 0;6 +1}= {1; 4;7}.
Ответ: c = {1; 4;7}.
Для произвольной точки M (x; y; z) в прямоугольной декартовой системе координат координатами вектора OM являются проекции вектора на оси Ox , Oy ,
Oz соответственно, то есть OM = {x; y; z}. (См. рис. 7)
|
z |
|
|
M |
|
|
O |
|
|
y |
|
x |
B |
|
A |
||
|
||
|
Рис. 7 |
Длина вектора OM находится из двух прямоугольных треугольников OBA
и OAM :
OA2 = OB2 + AB2 = x2 + y 2 ;
OM = OA2 + AM 2 = x2 + y2 + z2 .
Пример. Найти a , если a = i - 2 j + 2k .
14
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
= {1;-2; 2}. Длина вектора |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Решение. |
Координаты вектора |
a |
a |
a |
||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= 3. |
||||||
|
|
|
|
12 + (- 2)2 + 22 |
||||||||||||
|
a |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними и обозначается: a ×b , то есть
a ×b = a × b × cos (a b) .
Свойства скалярного произведения:
1)a ×b = b × a ;
2)(λa)×b = λ(a ×b), λ R ;
3)a ×(b + c)= a ×b + a ×c;
4)a × a = a 2 или
|
|
a |
|
= |
|
a |
× |
a |
|
. |
|
(2.1) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
= 2 , |
|
|
|
=1, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 60O . |
||||||||
Пример. Найти длину вектора |
c |
a |
b |
, если |
|
a |
|
|
b |
|
a |
b |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. По формуле (2.1), находим
c = c × c = (a + 2b)× (a + 2b) = a 2 + 4a b + 4 b 2 =
= 22 + 4 a × b × cos a b+ 4 ×12 = 4 + 4 × 2 ×1× cos 60O + 4 =
=8 + 8 × 1 = 12 = 23 .
2
Ответ: c = 23 .
15
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= {a1 ; a2 ; a3} и |
||
|
|
|
|
Если два вектора |
|
a и b заданы своими |
координатами: |
a |
||||||||||||
|
|
|
|
= {b1 ;b2 ;b3 }, то их скалярное произведение находим по формуле: |
|
|
|
|
||||||||||||
b |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
= a1 ×b1 + a2b2 |
+ a3b3 . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
(2.2) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и (- 3 |
|
), если |
|||||||||
|
|
|
|
Пример. Найти |
скалярное произведение |
векторов 2 |
a |
|
b |
|||||||||||
|
|
= {1; 2;3} и |
|
= {0;-1;1}. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Координаты векторов 2a и (- 3b):
2a = 2{1; 2;3}= {2 ×1; 2 × 2; 2 ×3}= {2; 4;6};
(- 3b)= -3{0;-1;1} = {- 3× 0;-3×(-1);-3×1} = {0;3;-3}.
По формуле (2.2) искомое скалярное произведение равно:
2a × (- 3b)= 2 ×0 + 4 ×3 + 6 ×(- 3) = 0 +12 -18 = -6.
Ответ: − 6 .
Некоторые приложения скалярного произведения:
1. Угол между двумя ненулевыми векторами a = {a1 ; a2 ; a3 } и b = {b1 ; b2 ; b3 }
из определения скалярного произведения вычисляется по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ×b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
( |
|
|
|
) = arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
a1b1 + a2b2 + a3b3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
(a b) = arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.3) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
a2 |
+ a2 |
+ a2 |
|
|
× b2 |
+ b2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ b2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
3 |
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
+ 2 |
|
+ 2 |
|
|
и |
|
= - |
|
+ |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
Пример. Найти угол между векторами |
a |
i |
j |
k |
b |
j |
k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= {1; 2; 2} и |
|
|
= {0;-1;1}. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Координаты векторов a и b : |
a |
b |
Тогда по формуле (2.3), угол между векторами a и b равен:
16
|
|
1× 0 + 2 × (-1)+ 2 ×1 |
|
0 −1 + |
2 |
|
||||||||
( |
a |
|
b |
) = arccos |
|
|
= arccos |
= arccos 0 , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
12 |
+ 22 + 22 × 02 + (-1)2 +12 |
3 × 0 |
|
|
следовательно, (a b) = 90O , то есть a ^ b.
Ответ: 90O .
2. Проекция вектора a на вектор b вычисляется по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
np |
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
+ |
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Пример. Найти |
np |
|
|
b |
, если |
a |
i |
k |
b |
i |
j |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= {1;0;−1}, |
|
= {2;1;0}. Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Координаты векторов |
a |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
= |
1× 2 + 0 ×1 + (-1)× |
0 |
= |
2 |
|
= |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
np |
|
|
b |
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
12 + 02 + (-1)2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Ответ: np |
|
|
b |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторное произведение векторов
Три некомпланарных (непараллельных одной плоскости) вектора a , b и c , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку векторов, если из конца
третьего вектора c поворот от первого вектора a ко второму вектору b по кротчайшему пути виден против хода часовой стрелки, и левую, если по часовой. (См. рис. 8)
17
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
левая |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тройка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тройка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Векторным произведением вектора a на вектор b называется такой вектор c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
^ |
|
, |
|
|
|
^ |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
c |
a |
c |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
×sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2) |
|
c |
|
|
a |
|
|
|
b |
|
a |
|
|
b |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
´ |
|
= |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
3) тройка векторов a , b , и c – |
|
правая, и обозначается |
a |
b |
c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Из определения векторного произведения непосредственно вытекают |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
следующие соотношения между ортами |
i |
, |
|
j |
, и k : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
= |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
= |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
j |
k |
i |
|
|
k |
i |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Поскольку тройки векторов ( |
|
, |
|
|
, |
|
|
), ( |
|
, |
|
|
, |
|
) и ( |
|
|
, |
|
, |
|
|
) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
j |
|
i |
k |
k |
j |
i |
i |
k |
j |
левые, то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
= − |
|
|
, |
|
|
× |
|
= − |
|
, |
|
|
|
|
|
× |
|
|
= − |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
i |
k |
k |
j |
i |
|
|
|
i |
k |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства векторного произведения:
1)a × b = −(b × a);
2)c × (a + b)= c × a + c × b ;
3)λ(a × b)= (λa)× b = a × (λb), λ R ;
4)a ´b = 0 a || b .
18
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= {a1 ; a2 ; a3 } и |
|
|
|
= {b1 ; b2 ; b3 } |
|||||||||||||||||||
Векторное |
произведение |
|
|
двух |
векторов |
|
|
|
|
a |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
находится по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|
= |
|
|
a2 |
|
|
a3 |
|
× |
|
|
|
|
- |
|
|
|
a1 |
|
|
|
a3 |
|
× |
|
|
+ |
|
a1 |
|
|
|
a2 |
|
× |
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
i |
|
j |
k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
b3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
b3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Пример. Найти векторное произведение векторов |
|
|
|
= {1; 2;3} и |
|
= {0;1;-1}. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a ´b = |
|
×i - |
× j + |
|
× k = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 -1 |
|
|
0 -1 |
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= (- 2 - 3)× |
|
- (-1- 0)× |
|
|
|
|
+ (1- 0)× |
|
= - 5 |
|
+ |
|
|
+ |
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
j |
k |
i |
j |
k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
´ |
|
= - 5 |
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: |
a |
b |
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Геометрический смысл векторного произведения состоит в том, что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
площадь параллелограмма, построенного на векторах |
|
a и b (см. рис. 9) равна |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
модулю векторного произведения векторов a и b , так как: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
×sinα = Sпарал. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
a |
|
|
b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах a и b (см. рис. 10) равна половине модуля векторного произведения, построенного на векторах a и b , то есть
S = |
1 |
S |
|
= |
1 |
|
|
|
× |
|
|
. |
|
парал. |
|
|
a |
b |
|
||||||||
|
|
||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19