Лаба №5

Цель работы: разработать алгоритмы расчета надежности при резервировании.

Ход работы

Задача 1

Для системы без резервирования вероятность безотказной работы равна произведению вероятностей безотказной работы каждого элемента, так как элементы объединены в структурную схему с последовательным соединением:

p = p1 * p2 * p3 = 0,9 * 0,9 * 0,9 = 0,729

b) Для общего резервирования элементы объединены в структурную схему надежности с параллельным соединением элементов, поэтому вероятность безотказной работы системы после резервирования определяется по формуле:

pcp = 1 - qcp;

qcp = q1 * qp;

qp = 1 - pp;

где q1 - вероятность отказа основной системы, равная 1 - p1 = 0,1;

pp - вероятность безотказной работы резервирующего элемента, равная p1 = 0,9.

Таким образом,

qp = 1 - pp = 1 - 0,9 = 0,1;

qcp = q1 * qp = 0,1 * 0,1 = 0,01;

pcp = 1 - qcp = 1 - 0,01 = 0,99.

Для раздельного резервирования элементы объединены в структурную схему надежности с последовательным соединением элементов, поэтому вероятность безотказной работы системы после резервирования определяется по формуле:

pcr = p1 + (1 - p1) * p2 * p3;

где p1 - вероятность безотказной работы основного элемента, равная 0,9.

Таким образом,

pcr = 0,9 + 0,1 * 0,9 * 0,9 = 0,972.

c) Для оценки эффективности резервирования используется соотношение:

R = (p - pcp) / pcp,

где p - вероятность безотказной работы системы без резервирования.

Для общего резервирования

Rcp = (p - pcp) / pcp = (0,729 - 0,99) / 0,99 = -0,2727.

Для раздельного резервирования

Rcr = (p - pcr) / pcr = (0,729 - 0,972) / 0,972 = -0,25.

Отрицательные значения эффективности резервирования говорят о том, что резервирование неэффективно, т.е. не увеличивает вероятность безотказной работы системы.

Листинг программы:

using System;

class Program

{

static void Main()

{

double p1 = 0.9;

double p2 = 0.9;

double p3 = 0.9;

// Вероятность безотказной работы системы без резервирования

double p_system = p1 * p2 * p3;

Console.WriteLine($"Вероятность безотказной работы системы без резервирования: {p_system}");

// Вероятность безотказной работы системы с общим резервированием

double p_common_reserve = p_system + (1 - p_system) * p_system;

Console.WriteLine($"Вероятность безотказной работы системы с общим резервированием: {p_common_reserve}");

// Вероятность безотказной работы системы с раздельным резервированием

double p_separate_reserve = p1 * (p2 * p3 + (1 - p2) * (1 - p3)) + (1 - p1) * p2 * p3;

Console.WriteLine($"Вероятность безотказной работы системы с раздельным резервированием: {p_separate_reserve}");

// Эффективность общего резервирования

double efficiency_common = (p_system - p_common_reserve) / p_system;

Console.WriteLine($"Эффективность общего резервирования: {efficiency_common}");

// Эффективность раздельного резервирования

double efficiency_separate = (p_system - p_separate_reserve) / p_system;

Console.WriteLine($"Эффективность раздельного резервирования: {efficiency_separate}");

}

}

Задача 2

Для решения данной задачи необходимо использовать те же методы, что и в предыдущей задаче.

а) Вероятность безотказной работы системы без резервирования можно найти по формуле P = p1 * p2 * p3 = 0.9 * 0.86 * 0.92 = 0.70488.

б) Для общего однократного резервирования необходимо найти вероятность отказа системы после резервирования и по формуле qcp = q1 * (1 - p2 * p3) + q2 * (1 - p1 * p3) + q3 * (1 - p1 * p2), где qi - вероятность отказа i-го элемента. Вероятность отказа элементов можно найти по формуле qi = 1 - pi. Заменяя значения получаем qcp = (1 - 0.9) * (1 - 0.86 * 0.92) + (1 - 0.86) * (1 - 0.9 * 0.92) + (1 - 0.92) * (1 - 0.9 * 0.86) = 0.165464. Вероятность безотказной работы системы после резервирования равна pcp = 1 - qcp = 0.834536.

в) Для раздельного однократного резервирования необходимо найти вероятность отказа системы после резервирования и по формуле qdp = q1 * q2 * p3 + q1 * p2 * q3 + p1 * q2 * q3. Заменяя значения, получаем qdp = (1 - 0.9) * (1 - 0.86) * 0.92 + (1 - 0.9) * 0.86 * (1 - 0.92) + 0.9 * (1 - 0.86) * (1 - 0.92) = 0.1026. Вероятность безотказной работы системы после резервирования равна pdp = 1 - qdp = 0.8974.

г) Эффективность общего резервирования можно найти по формуле Req = (P - Pcp) / qcp = (0.70488 - 0.834536) / 0.165464 = -0.7821. Эффективность раздельного резервирования можно найти по формуле Red = (P - Pdp) / qdp = (0.70488 - 0.8974) / 0.1026 = -1.872. Сравнивая эффективности, можно сделать вывод, что раздельное резервирование более эффективно, чем общее резервирование.

Задача 3

Для решения этой задачи использовали формулу для расчета вероятности безотказной работы системы с резервными элементами:

Qp = 1 - (1 - q^m)^n

где:

q - вероятность отказа одного основного элемента

m - количество резервных элементов на один основной элемент

n - общее количество элементов в системе (основных и резервных)

Qp - допустимая вероятность безотказной работы всей системы

Для решения этой задачи использовали перебор, пробуя разные значения m и находя наименьшее число резервных элементов, удовлетворяющее условию допустимой вероятности безотказной работы всей системы.

Листинг программы:

using System;

class Program

{

static void Main(string[] args)

{

double q = 0.1;

double Qp = 0.0001;

int m = 0;

double result = 0;

while (result < Qp)

{

m++;

int n = m + 1;

result = 1 - Math.Pow((1 - Math.Pow(q, m)), n);

}

Console.WriteLine($"Необходимо {m} резервных элементов.");

}

}

Вывод: в ходе лабораторной работы разработали алгоритмы расчета при резервировании.

Контрольные вопросы:

1. В чем заключается принцип резервирования.

Ответ: Резервирование - это метод повышения надёжности систем и объектов. Является универсальным принципом обеспечения надёжности, широко применяется в природе, технике и технологии, впоследствии распространившимся и на другие стороны человеческой жизни.

2. Что является основной характеристикой резервирования.

Ответ: Основной характеристикой структурного резервирования является кратность - отношение числа резервных элементов к числу основных, выраженное несокращенной дробью.

3. Основные особенности общего резервирования.

Ответ: к преимуществам постоянного общего резервирования относятся: относительная простота построения схем; отсутствие даже кратковременного перерыва в работе при отказе от одного до m-1 элементов системы; отсутствие дополнительных подключаемых элементов, снижающих общую надёжность схемы.

4. Основные особенности раздельного резервирования.

Ответ: Раздельное резервирование, особенно при большом числе элементов, обеспечивает большую надежность и требует меньшего дополнительного оборудования со всеми вытекающими отсюда последствиями.  

Раздельное резервирование состоит в резервировании системы по отдельным участкам.  

5. Что такое эффективность резервирования.

Ответ: эффективность резервирования характеризуется коэффициентом повышения надежности Кр, который представляет собой отношение вероятностей исправной работы резервированной к нерезервированной системе

6. Расчет надежности при общем резервировании

Ответ: Для системы с последовательным соединением n элементов при общем резервировании с кратностью l:

7. Расчет надежности при раздельном резервировании.

Ответ: при раздельном резервировании (рис. 4.1,б)

8. Как определить необходимое количество резервных элементов при общем резервировании.

Ответ: для определения необходимого количества резервных элементов при общем резервировании необходимо решить следующую задачу:

Определить допустимую вероятность безотказной работы всей системы (Qp).

Найти вероятность отказа одного основного элемента (q).

Используя формулу для расчета вероятности безотказной работы системы с резервными элементами, найти наименьшее количество резервных элементов, удовлетворяющее условию допустимой вероятности безотказной работы всей системы.

9. Как определить необходимое количество резервных элементов при раздельном резервировании.

Ответ: для определения необходимого количества резервных элементов при раздельном резервировании необходимо рассмотреть каждый основной элемент и определить, сколько резервных элементов необходимо для его замены в случае отказа. Затем суммируются эти значения для всех основных элементов.

10. Что такое эффективность при общем и раздельном резервировании.

Ответ: эффективность при резервировании — это мера того, насколько хорошо система способна сохранять свою функциональность при отказе какого-либо из ее компонентов.

При общем резервировании, где резервные элементы используются для замены любых отказавших элементов, эффективность определяется вероятностью того, что система продолжит функционировать безотказно после отказа одного или нескольких элементов. Чем выше эта вероятность, тем более эффективно работает система.

11. Дать сравнительную оценку общего и раздельного резервирования.

Ответ: Общее резервирование требует меньше резервных элементов, но все элементы зависят от одного резерва, что делает систему менее надежной в целом. Раздельное резервирование требует большего количества резервных элементов, но каждый основной элемент имеет свой собственный резерв, что делает систему более надежной. Каждый из этих методов имеет свои преимущества и недостатки, и выбор зависит от требований к надежности системы и доступных ресурсов.

12. В чем заключается особенности резервирования электрических схем.

Ответ: основной особенностью резервирования электрических схем является необходимость обеспечения бесперебойной и надежной работы электрооборудования, так как любое прерывание электроснабжения может привести к серьезным последствиям. Для этого используются различные виды резервирования, такие как резервирование линий передачи, резервирование трансформаторов и генераторов, резервирование управляющих систем и так далее. Особенностью является также необходимость соблюдения электробезопасности при проведении ремонтных работ и замене вышедших из строя элементов.

13. Что такое каноническое уравнение резервированной системы элементов.

Ответ: каноническое уравнение резервированной системы элементов - это уравнение, которое позволяет определить вероятность безотказной работы системы с заданным количеством основных и резервных элементов, а также их взаимосвязью и вероятностями отказа.