8460

				T	T
λ		1	b	C1	C2
	0
					2

является средне интегральным значением коэффициента теплопроводности, т.е.

			1		TC1
	λ ср				λ T dT.	(3.15)
		TC1	TC2
					T
					C2

При этом значении коэффициента теплопроводности плотность теплового потока рассчитывается по тому же соотношению (3.12). Интегрируя выражение (а) в пределах от x = 0 до любой текущей координаты x, а в интервале температур от ТС1 до T, получаем нелинейное выражение для температурного поля в стенке в зависимости от координаты x

	1				2	2qx		1
T			T						.	(3.16)
	b		C1			λ 0 b		b

Рассмотрим теплопроводность многослойной плоской стенки, состоящей из n однородных слоев. Будем полагать, что между слоями отсутствуют контактные термические сопротивления, т.е. температура на обеих соприкасающихся поверхностях двух слоев одинакова. Контактные термические сопротивления необходимо учитывать при больших плотностях теплового потока q 25000 Вт/м2 2 . При стационарном режиме тепловой поток, проходящий через любую изотермическую поверхность неоднородной стенки, один и тот же.

В противном случае разность подведенного и отведенного потока тепла по закону сохранения энергии пошла бы на изменение энтальпии самой стенки и ее температура во времени не осталась бы постоянной. Так как у плоской стенки боковые поверхности одинаковы, то и плотность теплового потока при стационарном режиме во всех точках стенки q = const. При заданных температурах на внешних поверхностях такой стенки TC1 и TCn+1, толщине слоевi, где i = 1,2,….,n, и коэффициентах теплопроводности материалов этих слоевi можно, используя (3.12), для каждого слоя записать

q λ1 TC1 TC2 /δ1 ,

q λ 2 TC2 TC3 /δ2 ,

……………………..

q λ n TCn TCn 1 /δn .

Если переписать эту систему равенств так, чтобы справа остались только температурные разности, а затем сложить левые и правые части, то при сложении правых частей все температуры, кроме первой и последней, сократятся, и получим окончательно для плотности теплового потока равенство

q	TC1 TCn 1				.	(3.17)
	i n	δ
			i
		λ i
	i 1
	21

Подставив найденное значение q в выписанные выше равенства, можно определить температуры на границах соприкосновения соседних слоев по формуле

		m i	δ
TC(i 1)	TC1	q		m	.	(3.18)
		m 1λ m

3.4. Стационарная теплопередача через плоскую стенку

Пусть плоская однородная стенка имеет толщину (рис. 3.2).

Tж1 T

1
T
с		Tc1
T

1

=const

Tc2

T2

2 Tж2

0	x
	Рис. 3.2
Заданы коэффициент теплопроводности материала стенки , температуры
омывающей стенку жидкостей Тж1	и Тж2, а также коэффициенты теплоотдачи 1

и 2. Будем считать, что величины Тж1, Тж2, 1 и 2 постоянны и не меняются вдоль поверхности. Это позволяет рассматривать изменение температуры жидкостей и стенки только по оси Ох. На границах стенки заданы граничные условия третьего рода (3.5)

при x=0	q = 1 (Тж1 - ТC1)
при x=	q = 2 (ТC2 – Tж2)

Необходимо определить плотность теплового потока и температуры на поверхностях стенки.

Так как q = const в любой точке стенки, то, добавив к граничным условиям соотношение (3.12), запишем их в виде

q 1 Tж1 TC1 ,

α1

q λδ TC1 TC2 ,

q1 TC2 Tж2 .

α2

Если сложить левые и правые части этих равенств, то получим следующее соотношение для плотности теплового потока

22

q		Tж1		Tж2				.	(3.19)
		1		δ		1
		α1		λ		α 2

Подставив найденное значение q в выше написанные равенства, определим температуры на поверхностях стенки ТC1 и ТC2. Величина

k				1
		1		δ			1	(3.20)
		α1		λ			α2

получила название коэффициента теплопередачи. Величина, обратная коэффициенту теплопередачи, называется термическим сопротивлением теплопередачи

R	1	R α1 R C R α2		1		δ		1	.	(3.21)
	k			α1		λ		α 2

Из (3.21) видно, что полное термическое сопротивление теплопередаче складывается из частных термических сопротивлений: термического сопротивления теплоотдаче на левой поверхности стенки R 1=1/ 1; термического сопротивления теплопроводности стенки RC1= / и термического сопротивления теплоотдаче на правой поверхности стенки R 2=1/ 2. Очевидно, что для многослойной стенки нужно учитывать термическое сопротивление каждого слоя. Если стенка состоит из n слоев, то полное термическое сопротивление теплопередаче через такую стенку равно

	1	i n	δ	i		1
R							.	(3.22)
	α1	i 1	λi			α 2

Плотность теплового потока через многослойную стенку, состоящую из n слоев, будет равна

q			Tж1 Т ж2						.	(3.23)
	1		i n	δ			1
					i
		α1		λ i			α 2
			i 1

Температуры на наружных поверхностях такой стенки составляют

T	Т		q	1	, T	Т		q	1	.	(3.24)
		ж1					ж2
C1					Cn 1				α 2
				α1

Температура на границе любых двух слоев i и i+1 может быть определена по уравнению

		1	m i δ		m
TC i 1 Т ж1							(3.25)
	q	α1				.
			m 1	λ m

Как видно из (3.24) – (3.23) и (3.17) при 1= и 2= граничные условия третьего рода вырождаются в граничные условия первого рода.

23

3.5. Стационарная теплопроводность через цилиндрическую стенку

Пусть задана цилиндрическая стенка (труба) с

внутренним диаметром d1=2r1

и

наружным

T

диаметром d2=2r2 , длина которой L (рис. 3.3).

Коэффициент теплопроводности материала стенки

Tc1

Tc1

является постоянной величиной. На поверхностях

Tc2

Tc2

стенки заданы постоянные температуры ТС1

и ТС2.

r

Внутренние источники тепла отсутствуют qV=0.

0

В рассматриваемом случае дифференциальное

уравнение теплопроводности (3.4) удобно записать

2r1

в цилиндрической системе координат:

2r2

Рис. 3.3

2 T

2 T

1

T

1

2 T

2 T

0.

(3.26)

r 2

r

r

r 2

2

z 2

При этом ось Oz совмещена с осью трубы. Так как температуры на наружной и внутренней поверхностях трубы неизменны, то изотермические поверхности являются цилиндрическими, имеющими с трубой общую ось. Температура изменяется только по радиусу трубы, поэтому имеем

	T		T		2 T		2 T	0.	(а)
			z		2		z 2

С учетом (а) для нашего случая соотношение (3.26) имеет вид

d 2 T

1

dT

0.

(3.27)

dr 2

r

dr

Граничные условия:

при r=r1 T=TC1;

при r=r2 T=TC2.

(3.28)

Введем новую переменную u=dT/dr в соотношение (3.27)

du

u

0.

(б)

dr

r

Разделив переменные в (б) и проинтегрировав, получим

ln u + ln r = ln C1.

(в)

Потенцируя выражение (в) и переходя к первоначальным переменным,

имеем выражение для градиента температуры

dT

C1

.

(г)

dr

r

После интегрирования соотношения (г) получим

T C1 ln r C2 .

(д)

Как видно из соотношения (д) поле температуры, в отличие от плоской стенки, в зависимости от координаты не линейное, а логарифмическое. Причина этого в том, что, также как и в плоской стенке, поток тепла в

24

1

2 λ

стационарном режиме через цилиндрическую стенку постоянен. Однако у цилиндрической стенки, в отличие от плоской стенки, внутренняя и наружная поверхности не одинаковы. Поэтому градиент температуры (г) и, следовательно, плотность теплового потока не остаются постоянными, а зависят от радиуса. Постоянные С1 и С2 можно определить, подставив в (д) граничные условия (3.28)

C

TC1 TC2

;

C

T

T

T

ln r1

.

(е)

1

2

r1

C1

C1

C2

r1

ln

ln

r2

r2

Подставив значения С1 и С2 в соотношение (д), получим окончательно поле температуры в цилиндрической стенке при граничных условиях первого рода

					ln	d
	T T	T	T			d1		.	(3.29)
	C1	C1	C2			d 2
					ln
						d1

Поток тепла, проходящего через любую изотермическую цилиндрическую поверхность площадью F, по закону Фурье равен

Q λ dTdr F.

Подставляя в это уравнение соотношение (г) с учетом (е) и учитывая, что F=2 r L, получим формулу для потока тепла через цилиндрическую стенку

Q π TC1 TC2 L . (3.30)

ln d 2 d1

Если отнести этот поток к внутренней поверхности трубы, то получим

плотность теплового потока на внутренней поверхности

q

Q

TC1

TC2 .

(3.31)

1

π d1 L

d1

d 2

ln

2 λ

d1

Если отнести этот поток к наружной поверхности трубы, то получим

плотность теплового потока на наружной поверхности

q

Q

TC1

TC2 .

(3.32)

2

π d 2 L

d 2

d 2

ln

2 λ

d1

Тепловой поток, отнесенный к единице длины трубы, называется линейной

плотностью теплового потока

q

Q

π TC1 TC2

.

(3.33)

L

L

1

d 2

ln

2 λ

d1

25

Эта величина широко используется в расчетах цилиндрических стенок, так как она постоянна в любой точке стенки, в отличие от плотности теплового потока. Зная ее, можно определить плотности теплового потока по соотношению

q L π d1 q1				π d1 q 2 .				(3.34)
Величина:
R LC			1		ln	d 2		(3.35)
						d1
	2			λ

получила название линейного термического сопротивления теплопроводности цилиндрической стенки. Так как общее линейное термическое сопротивление состоит из частных линейных термических сопротивлений, то совершенно очевидно, что для многослойной цилиндрической стенки нужно учитывать линейное термическое сопротивление каждого слоя. Тогда линейная плотность теплового потока через многослойную цилиндрическую стенку, состоящую из n слоев, равна

			Q		π TC1 TC n 1
q	L									.	(3.36)
			L		i n	1		d i 1
							ln
						2 λ i		d i
					i 1

По аналогии с плоской многослойной стенкой температура на границе любых двух цилиндрических слоев i и i+1 может быть определена по уравнению

			q L	m i	1		d m 1
	TC i 1 TC1					ln		.	(3.37)
					2 λ m
			π m 1				d m

Если коэффициент теплопроводности материала стенки является функцией температуры вида λ T λ0 1 b T , то линейная плотность теплового потока

определяется тем же соотношением (3.33), но вместо в него надо подставитьСР, определяемое формулой

			1			TC1
	λ СР					λ T dT.	(3.38)
		TC1	TC2
						T
						C2

В этом случае для нахождения температурного поля можно использовать уравнение Фурье, записанное для цилиндрической стенки

q λ T

dT

2 π r .

(3.39)

L dr

Если разделить переменные и проинтегрировать уравнение (3.39) в пределах от r=r1 до r и от T=TC1 до T и найти из полученного интеграла T, то получим следующее выражение для температурного поля

						q L ln	d
	1				2		d					1
T			T					1
													.	(3.40)
	b		C1			π b λ 0						b
					26

3.6. Стационарная теплопередача через цилиндрическую стенку

Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку (трубу) с внутренним диаметром d1 и наружным – d2, длина которой L много больше толщины стенки (рис. 3.4). Коэффициент теплопроводности материала стенки постоянен.

Заданы

постоянные

температуры

T

движущихся внутри и снаружи трубы

жидкостей

Тж1

и Тж2

и

постоянные

значения коэффициентов теплоотдачи на

внутренней

и

наружной

поверхностях

Tc1

Tc1

Tc2

трубы 1 и 2.

Необходимо определить

Tc2

ж1

T

линейную плотность потока тепла qL и

2

температуры на поверхностях стенки ТС1

Tж2

0

ж

r

T

и ТС2.

Так

как

линейная

плотность

2r1

теплового потока, подводимого к стенке,

2r2

прошедшего через стенку и отводимого

Рис. 3.4

от стенки одна и та же, то можно

записать систему равенств

q L α1 π d1 Tж1 TC1 ,

q

π TC1 TC2

,

L

1

d 2

ln

2 λ

d1

q L α2 π d 2 TC2 Т ж2

.

Если переписать эту систему равенств так, чтобы справа остались только температурные разности, а затем сложить левые и правые части, то все температуры в правой части сократятся, кроме первой и последней. Для

линейной плотности теплового потока получим формулу
q L			π Т ж1 Т ж2							.	(3.41)
		1		1	ln	d 2		1
		α1 d1		2λ d1				α 2 d 2

Если полученное по (3.41) значение qL подставить в выписанные выше равенства, то можно определить температуры ТС1 и ТС2. Обозначим:

k L					1					.	(3.42)
		1		1	ln	d 2		1
		α1 d1		2λ d1				α 2 d 2

Величина kL называется линейным коэффициентом теплопередачи и измеряется в Вт/(м град). Величина RL=1/kL, м град/Вт, обратная линейному коэффициенту теплопередачи, называется линейным термическим сопротивлением теплопередачи

27

R L	1	R Lα	R LC R Lα		1		1	ln	d 2		1	.	(3.43)
					α1 d1		2λ		d1
	k L			2							α 2 d 2
	1

Оно представляет сумму линейных термических сопротивлений соответственно в формуле: линейного термического сопротивления теплоотдачи на внутренней поверхности стенки, линейного термического сопротивления теплопроводности стенки и линейного термического сопротивления теплоотдачи на наружной поверхности стенки. Если тепловой поток отнести к внутренней или наружной поверхности, то получим соответственно плотности теплового потока на этих поверхностях

q

Q

k L

Т

Т

k

Т

Т

,

1

ж1

ж2

1

ж1

ж2

πd1 L

d1

q

Q

k L

Т

Т

k

Т

Т

.

2

ж1

ж2

2

ж1

ж2

πd 2 L

d 2

Коэффициенты теплопередачи, соответственно при отнесении потока

тепла к внутренней и наружной поверхностям, имеют вид

k1

1

,

1

d1

ln

d 2

d1

α1

2 λ

d1

α 2 d 2

k 2

1

.

d 2

d 2

ln

d 2

1

α1d1

2 λ

d1

α 2

На практике часто встречаются трубы, толщина стенок которых мала по сравнению с диаметром. В этом случае приведенные выше формулы упрощаются. Действительно, если разложим в ряд

	d	2	d		2			1	d		2	2
ln													,
	d1					1		2				1
			d1						d1

то при d2/d1 1 такой ряд быстро сходится, и с достаточной точностью можно ограничиться первым членом ряда

d

2

d

2

d

2

d

1

2 δ

ln

,

1

d1

d1

d1

d1

где – толщина цилиндрической стенки.

Если это значение подставить в выражение для k1, то получим

			1		δ		1	1
	k1
			α1		λ		α 2	.

Следовательно, если стенка трубы тонкая, то для практических расчетов

можно использовать формулу
Q k1 πd x L Т ж1 Т ж2	,	(3.44)

где если 1 2, то dx=d2;

28

1

1

если 2 1, то dx=d1;

если 1 2, то dx=(d1+d2)/2.

Обычно в инженерных расчетах при d2/d1 1,8 пользуются формулой (3.44). При этом относительная погрешность не превышает 4 %.

При теплопередаче через многослойную цилиндрическую стенку необходимо учесть линейные термические сопротивления теплопроводности

каждого слоя. Тогда линейная плотность теплового потока равна

q L

π Т ж1

Т ж2

.

(3.45)

i n

1

d i 1

1

ln

1

α1 d1

i 1

2λ i

d i

α 2 d n 1

После определения линейной плотности теплового потока по (3.45) температура на границе любых двух слоев i и i+1 рассчитывается по формуле

q

L

1

m i 1

d

m 1

TC i 1 Т ж1

ln

(3.46)

α1 d1

.

π

m 12λ m

d m

Если в соотношениях (3.45) и (3.46) 1= и 2= , то граничные условия третьего рода вырождаются в граничные условия первого рода, а соотношения

(3.45) и (3.46) – в (3.36) и (3.37).

3.7. Критический диаметр тепловой изоляции труб

Рассмотрим влияние изменения наружного диаметра многослойной цилиндрической стенки на примере двухслойной стенки на линейное термическое сопротивление теплопередаче. Выражение в знаменателе (3.45),представляющее линейное термическое сопротивление теплопередаче, для этого случая будет иметь вид

R

1

1

ln

d 2

1

ln

d3

1

.

L

α1 d1

2λ1 d1

2λ из d 2

α 2 d3

Выясним, как будет изменяться RL при изменении толщины изоляции или тоже наружного диаметра d3. Для этого продифференцируем RL по d3 и приравняем производную нулю

d R L 0. d d3 2λ из d3 α 2 d32

Значение d3=2 из/ 2 из этого выражения соответствует экстремальной точке кривой RL=f (d3). Исследовав эту кривую любым из известных способов, например, взяв Вторую производную и подставив экстремальное значение d3, получим

d 2 R		L					2			1		α 2
												2	0.
d d	3	2				α	2	d 3		2λd 2		8λ 3
								3		3

Так как Вторая производная положительная, то при значении диаметра d3=2 из/ 2 линейное термическое сопротивление теплопередаче будет минимальным. Значение внешнего диаметра изоляции, соответствующего

29

минимальному линейному термическому сопротивлению теплопередаче, называется критическим диаметром тепловой изоляции и рассчитывается по формуле

d		d			2 λ из	.	(3.47)
	кр		3
					α 2

Разумеется, понятие критический диаметр имеет место и для однослойной цилиндрической стенки. Для плоской стенки любой дополнительный слой из любого материала при прочих равных условиях приводит к возрастанию термического сопротивления теплопередаче и уменьшению потока тепла через стенку. Причина этого в том, что поверхности у плоской стенки одинаковы. Для цилиндрической стенки с ростом наружного диаметра увеличивается линейное термическое сопротивление теплопроводности и одновременно уменьшается линейное термическое сопротивление теплоотдачи. Поэтому при увеличении внешнего диаметра изоляции линейная плотность теплового потока сначала будет возрастать и при d3 = dкр будет иметь максимум. При дальнейшем увеличении d3 линейная плотность теплового потока будет уменьшаться. Выбрав какой-либо теплоизоляционный материал для покрытия трубы, прежде нужно рассчитать критический диаметр изоляции по формуле (3.47). Для эффективной работы тепловой изоляции необходимо, чтобы dкр d2. В противном случае при увеличении толщины изоляции qL возрастает в диапазоне от d2 до dкр., а при d3 dкр – уменьшается. Следовательно, некоторый слой тепловой изоляции не будет оправдывать своего назначения. Понятие «критический диаметр изоляции» используют не только при изоляции цилиндрической стенки, но и любой стенки, у которой внутренняя поверхность не равна наружной поверхности.

3.8. Теплопередача и теплопроводность тел с внутренними источниками тепла

Рассмотрим температурное поле в телах простейшей формы при объемном тепловыделении, т.е. для случая, когда внутренние источники тепла равномерно распределены по всему объему тела.

Пусть имеем неограниченную плоскую стенку толщиной 2 , внутри которой действуют внутренние источники тепла плотностью qV. Стенка находится в жидкости с температурой Тж. На обеих поверхностях стенки коэффициент теплоотдачи одинаков. Так как стенка охлаждается симметрично, то выберем начало координат на оси симметрии стенки. Тогда в начале координат будет максимальная температура, а градиент температуры равен нулю. Необходимо определить поле температур в пластине и количество тепла, отданное в окружающую жидкость.

Дифференциальное уравнение (3.1) в данном случае упрощается и принимает вид

30