9002

	3.		При	A 0, B 0, C 0 уравнение (3.2) примет вид:			By C 0 или
	y	C	. Это уравнение прямой на плоскости параллельной оси Ox и проходящей
		B
				0;	C
	через точку					. (См. рис. 20)
					B

0	Рис. 20

Пример. Построить прямую l : 3y 6 0.

Решение. Уравнение прямой l является общим уравнением прямой на плоскости A 0, B 3, C 6, параллельной оси Ox и проходящей через точку

0; 2 . (См. рис. 21).

		0
		-2
		Рис. 21
4. При A 0,	B 0,	C 0 уравнение (3.2) примет вид:	Ax C 0 или

x CA .

Это уравнение прямой на плоскости параллельной оси Oy и проходящей через

			C
	точку			; 0 . (См. рис. 22)
			A

0

Рис. 22

Пример. Построить прямую l : 2x 1 0 .

30

			Решение. Уравнение прямой l является		общим уравнением прямой на
плоскости A 2, B 0,				C 1 параллельной оси	Oy и проходящей через точку
		1
			; 0 . (См. рис. 23)
		2

0

Рис. 23

5. При A 0, B 0, C 0 уравнение (3.2) примет вид: By 0 или y 0. Это уравнение координатной оси Ox (См. рис. 24)

0

Рис. 24

6. При A 0, B 0, C 0 уравнение (3.2) примет вид: Ax 0 или x 0. Это уравнение координатной оси Oy . (См. рис. 25)

0

Рис. 25

Итак, рассмотрены все возможные случаи общего уравнения (3.2) прямой на плоскости.

Выведем уравнение прямой l , проходящей через две заданные точки M1 x1; y1

и M 2 x2 ; y2 на плоскости xOy в прямоугольной декартовой системе координат.

(См. рис. 26)

31

				Рис. 26
Поскольку точка M1 x1; y1 лежит на прямой l то, подставляя x x1 и									y y1
в уравнение (3.5), находим, что уравнение прямой l имеет вид:
			l : y y1		k x x1 ,				(3.6)
где k – пока неизвестный коэффициент.
Так как прямая l проходит и через точку					M 2 x2 ; y2 , то ее координаты должны
удовлетворять уравнению (3.6), то есть:
y		y	k x	x ,	откуда k	y2	y1	.
	2
		1	2	1		x2	x1

Подставляя найденное значение k в уравнение (3.6),

получим уравнение прямой,

проходящей через точки M1

и M 2 :

l :

y y1

x x1

(3.7)

y2 y1

x2 x1

Пример. Составить уравнение прямой l ,

проходящей через точки M1 1; 2 и

M 2 1;3 .

Решение. Подставляя в уравнение (3.7)

x1 1,

y1 2 и

x2 1, y2 3,

находим искомое уравнение прямой

l :

y 2

x 1

y 2

x 1

2 y 2 1 x 1 ;

2 y 4 x 1,

;

;

3 2

1 1

1

2

следовательно, l : x 2y 5 0.

Ответ: x 2 y 5 0.

Взаимное расположение прямых на плоскости

32

Пусть две прямые l1 и l2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами k1

иk2 , соответственно, то есть l1 : y k1 x b1 ; l2 : y k2 x b2 . Требуется найти угол

, на который надо повернуть прямую l , вокруг точки их пересечения до совпадения

с прямой l2 . (См. рис.27)

0

Рис. 27

По теореме о внешнем угле треугольника, имеем: 2 1 или 2

1

. Если 90 , то

tg tg 2 1

tg 2 tg 1

.

1 tg 1 tg 2

Но так как tg 1 k1

и tg 2 k2 , то

tg

k2 k1

(3.8)

1 k1 k2

Таким образом, формула (3.8) позволяет находить угол между двумя прямыми

на плоскости.

Пример. Найти угол между прямыми l1 : x 2 y 1 0 и l2

: 3x y 3 0 .

Решение. Запишем общее уравнение заданных прямых

l1 и l2 в

виде

уравнений с угловыми коэффициентами k1

и k2 , соответственно:

l : 2 y x 1

или l : y

1

x

1

, значит k

1

;

1

1

2

2

1

2

l2 : y 3x 3, значит k2

3.

33

Подставляя найденные значения k

1

и

k

3 в формулу (3.8), находим

2

1

2

угол между прямыми l1

и l2 :

3

1

7

tg

2

2

7 , откуда

arctg 7 .

1

1

3

1

2

2

Ответ: arctg 7 .

Заметим, что если требуется вычислить острый угол между прямыми, то правая

часть формулы (3.8) берется по модулю, то есть

tg

k2 k1

.

1 k1 k2

Если прямые l1 : y k1 x b1 ;

l2 : y k2 x b2

параллельны, то 0 и

tg 0 , следовательно, из формулы (3.8) получаем, что k2 k1 0, то есть k2 k1 .

И обратно, если прямые l1

и l2

таковы, что k1 k2 , значит tg 0 , то есть прямые

параллельны.

Если прямые l

и l

перпендикулярны, то

2

, следовательно

1

2

ctg

1 k1 k2

0, откуда k k

1. Справедливо и обратное утверждение.

2

k2 k1

1

Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 1; 2 и

перпендикулярной прямой L : 3x 2 y 5 0 .

Решение. Перепишем общее уравнение прямой L в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом kL :

	L : 3x 2 y 5 0 ,	2 y 3x 5 ,	y	3	x	5	,	значит kL		3	.
				2		2				2

34

Прямые l и L перпендикулярны по условию, значит kl kL 1,

следовательно, kl 1 2 . kL 3

Подставляя в уравнение (3.5) kl 23 , x0 1, y0 2 находим искомое

уравнение прямой l :

l : y 2 23 x 1 l : 3y 6 2x 2 l : 2x 3y 4 0

Ответ: 2x 3y 4 0.

35

§4. Функция одного переменного.

Основные понятия

Понятие функции является одним из главных понятий математики. С этим понятием часто встречаемся в природе, изучая различные процессы и явления.

Пусть D – некоторое множество действительных чисел. Если каждому числу

x D – поставлено в соответствие	по какому-то правилу или	закону f
единственное действительное число y ,	то говорят, что на множестве	D задана

функция одного переменного и обозначается: y f x . Число x D называется аргументом функции, y – значением функции, множество D – областью определения функции, множество всех значений y , которые соответствуют числам множества D – областью значений функции – E . (См. рис. 28)

0

Рис. 28

Графиком Г f функции y f x называется множество всех точек x, y

плоскости xOy таких, что x D , а y f x , то есть

Г f x, y x D, y f x .

Далее будем задавать функцию одного переменного аналитически, то есть с помощью формулы. В этом случае под областью определения D функции понимают множество всех тех значений x , для которых данная формула имеет смысл.

Пример. Формула y x2 задает функцию y	одного переменного x .
Поскольку данная формула имеет смысл при всех	действительных значениях
36

переменной x , то область определения D данной функции есть множество всех действительных чисел R , то есть D R . Так как квадрат действительного числа – число неотрицательное, то множество значений E данной функции y x2 есть множество всех неотрицательных чисел, то есть E y y 0 . Графиком функции y x2 является парабола в плоскости xOy с вершиной в точке O , ветви которой направлены в положительном направлении оси Oy . (См. рис. 29)

			1
	-1		0	1
				Рис. 29
Пусть задана функция y f x ,			x D ,		такая, что для x1 x2	, f x1 f x2	, то
есть для	любого y E найдется	единственное x D такое,				что f x y	или
x f 1 y . Тем самым определена функция					f 1 , называемая функцией, обратной к
функции	f . (См. рис. 30)

0

Рис. 30

Покажем как строим график обратной функции. Если для обратной функции обозначить аргумент через x , а функцию через y , то графики функций y f x и

x f 1 y совпадают. Разница состоит лишь в том, что для функции y f x ось

37

Ox – ось абсцисс, а ось Oy – ось ординат, а для функции x f 1 y роль осей меняется.

Если же обозначить аргумент обратной функции через x , а значение функции через y , то получается иной график. Именно, нужно перевести друг в друга оси Ox

и Oy . Это делается с помощью отражения всей плоскости xOy относительно биссектрисы первого координатного угла, то есть прямой y x . При этом отражении график функции y f x переходит в график обратной функции y f 1 x .

Итак, график обратной функции симметричен графику заданной функции относительно прямой y x . (См. рис.31)

0 Рис. 31

Пример. Функция y ex является обратной функцией к функции y ln x.

(См. рис. 32)

1

0 1 Рис. 32

Основные элементарные функции

Следующие шесть типов функции называются основными элементарными функциями:

38

I. Постоянная функция y C – функция, ставящая в соответствие каждому действительному числу x одно и то же число C . (См. рис. 33) D R , E C .

		0
		Рис. 33
	II. Степенная функция y x .
	а) – целое число.	E y y 0
	Если – четное, то D R ,
			.
		(	- четное, целое)

0

Рис. 34

Если – нечетное, то D R , E R .

( - нечетное, целое)

0

Рис. 35

Графики функции y x ( – целое) показаны на рис. 36 и рис. 37 соответственно.

В случае если – четное, D R \ 0 – множество всех действительных чисел,

кроме нуля, E y y 0 .

39