9766

Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах a и b (рис. 2.8) равна половине модуля векторного

произведения, построенного на векторах a и b :

	S =	1		=	1				´			.
			Sпарал.					a		b
	2			2

b

a

Рис. 2.8

Пример. Найти площадь треугольника, построенного на

векторах

= 2

-

и

=

-

.

a

i

k

b

j

k

Решение.

= {2; 0 −1} и

= {0;1;−1}. Тогда

a

b

0

−1

2

−1

2

0

a ´ b =

×i -

× j

+

× k =

1

-1

0

-1

0

1

= (0 - (-1))×i - (- 2 - 0)× j + (2 - 0)× k = i + 2 j + 2k ;

´

=

12 + 22 + 22

= 3 , следовательно

a

b

S =

1

´

=

1

×3 = 1,5(кв. ед.).

a

b

2

2

Ответ: 1,5 кв. ед.

Смешанное произведение векторов

Рассмотрим произведение трех векторов

a , b и c ,

составленное следующим образом: (a ´ b)× c , то есть первые два

вектора a и b умножаются векторно, а их результат - скалярно на

третий вектор c . Такое произведение векторов называется

смешанным и обозначается a b c , то есть (a ´ b)× c = abc .

20

Смешанное произведение трех векторов a , b и c

представляет собой число, равное объему параллелепипеда,

построенного на этих векторах (рис. 2.9), взятое со знаком

«плюс», если эти три вектора образуют правую тройку и со знаком «минус», если они образуют левую тройку векторов.

c

b

a

Рис. 2.9

Свойства смешанного произведения

1)(a ´b)× c = (b ´ c)× a = (c ´ a)×b ;

2)(a ´b)× c = a × (b ´ c);

3) a b c = −a c b ; a b c = −b a c , a b c = −c b a ;

4) Если a b c = 0 , то векторы a , b и c компланарны.

Смешанное произведение трех векторов a , b и c , заданных своими координатами a = {a1; a2 ; a3 }, b = {b1 ; b2 ; b3 } и c = {c1; c2 ; c3 }, вычисляется по формуле

							a1	a2	a3
						=	b1	b2	b3	.
	a		b		c						(2.4)
							c1	c2	c3
Пример. Вычислить смешанное произведение											векторов

a = 2i - j , b = j - k , c = i + j + k .

Решение. a = {2;−1; 0}, b = {0;1;−1}, c = {1;1;1}. Тогда

21

								2	−1	0
						=		0	1	−1		= 2 + 0 +1 − 0 + 2 + 0 = 5.
	a		b		c
								1	1	1

Ответ: a b c = 5.

Исходя из геометрического смысла смешанного произведения, имеем, что объем параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c (рис. 2.9) вычисляется по формуле

Vnap. = a bc .

Объем треугольной пирамиды, построенной на трех векторах a , b и c (рис. 2.10) вычисляется по формуле

Vnup. = 1 a b c .

6

a

c

b

Рис. 2.10

Пример. Найти объем пирамиды, построенной на векторах a = {1; 2;3}, b = {0;1;−1} и c = {0;−1; 0}.

Решение.

							1			2			3
						=	0			1 −1											= 0 − 0 − 0 − 0 −1 − 0 = −1.
	a		b		c
							0		−1				0
										=		1												=	1	×		-1			=	1	(куб. ед.).
Тогда V																a			b			c
								nup.			6													6							6
														1
Ответ:								V			=						(куб. ед.).
								nup .					6
																													22

M 0 (x0 ; y0 )

§ 3. Прямая линия на плоскости

Переходим к изучению прямой линии на плоскости. В

аналитической геометрии фигуры описывают формулами.

Введение на плоскости прямоугольной декартовой системы координат позволяет определять положение точки на плоскости

заданием двух чисел – ее координат, а положение прямой на

плоскости определять с помощью уравнения, то есть равенства,

связывающего координаты точек прямой.

Исследование уравнения прямой позволяет аналитически проводить изучение геометрических свойств прямой. Так, для

того, чтобы установить, лежит ли точка на прямой

F (x, y) = 0, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки M 0

уравнению	F (x, y) = 0	этой	прямой,	то	есть,	выполняется ли
равенство F ( x0 , y0 ) = 0 .
Пример. Лежит ли точка M 0 (1; 2) на прямой l : 3x − y +1 = 0?
Решение. Подставив в уравнение					прямой		3x - y +1 = 0
координаты	точки	M 0	вместо	x	и	y	получаем:

3 ×1 - 2 +1 = 3 -1 = 2 ¹ 0 .

Следовательно, точка M 0 не лежит на данной прямой l .

Общее уравнение прямой

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости xOy задана точка M 0 (x0 ; y0 ) и вектор N{A; B}.

Требуется составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 и перпендикулярной вектору N . (рис. 3.1)

23

y
l	N
M 0	M
0		x
		Рис. 3.1

Выберем произвольную точку M (x; y) на прямой l . Тогда вектор M 0 M = {x - x0 ; y - y0 } лежит на прямой l . Так как прямая l

перпендикулярна вектору N по условию, то и вектор							M 0 M
		, а значит		×		= 0 , откуда
перпендикулярен вектору	N		M 0 M		N
A ×(x - x0 ) + B ×(y - y0 ) = 0 .							(3.1)
Уравнение (3.1) является уравнением прямой на плоскости,

проходящей через точку (x0 ; y0 ) и			перпендикулярной вектору
		{A; B}.
	N
		Всякий вектор, перпендикулярный прямой называется
вектором нормали прямой. Вектор					{A; B} является вектором
				N

нормали прямой l .

Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 (1; 2) и перпендикулярной вектору PQ , если P( 0;1) и

Q(-1; 2).

Решение. Находим координаты вектора PQ , являющегося вектором нормали прямой l : N = PQ = {−1;1} .

Подставляя в уравнение (3.1) координаты точки M 0 (1; 2) и

координаты вектора			= {−1;1},
		N		находим искомое уравнение
прямой	l :
l :	-1×(x -1) +1× (y - 2) = 0			или − x + y −1 = 0
	24

Ответ: - x + y -1 = 0 .

Преобразуем уравнение (3.1) следующим образом:

Ax − Ax0 + By − By0 = 0	или	Ax + By + (− Ax0 − By0 ) = 0 .
Обозначив C = − Ax0	− By0 ,	получаем общее	уравнение
прямой на плоскости вида
Ax + By + C = 0.			(3.2)

Исследуем уравнение (3.2):

1. При A ¹ 0 , B ¹ 0 , C ¹ 0 уравнение (3.2) примет вид

Ax + By = -C .

Разделив обе части последнего уравнения на (− C )

			x				+	y		= 1,
			− C					− C
					A				B
обозначив a = − C	, b = − C						B	получаем уравнение прямой на
A
плоскости в «отрезках» вида
		x	+	y	= 1,				(3.3)
		a b

где a и b - величины отрезков, которые прямая l отсекает от осей координат (рис. 3.2).

	y	l
		b
a	0	x
		Рис.3.2

Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 (1; 2) и отсекающей от осей координат равные отрезки

(рис. 3.3).

25

y

l

b

2 M 0

0

1

a

x

Рис. 3.3

Решение. Используем уравнение (3.3).	Так	как a = b				по
условию, то его можно переписать в виде	l :	x	+	y	= 1	или
		a a
l : x + y = a .
Поскольку точка M 0 (1; 2) лежит на прямой l ,		то, подставляя

еекоординаты в последнее уравнение, находим a = 3.

Следовательно, l : x + y = 3 – уравнение искомой прямой.

Ответ: x + y = 3 .

Пример. Построить прямую l : 2x − 3y − 6 = 0.

Решение. Приведем заданное уравнение к уравнению вида

(3.3):

2x − 3y − 6 = 0 ; 2x − 3y = 6 ;

2x	−	3y	= 1;	x	+	y	= 1.
6 6			3			− 2

Отметим на оси Ox точку x = 3 , а на оси Oy точку y = −2 и

через эти точки проведем прямую. Это и будет искомая прямая

(рис. 3.4).

26

y

0				3	x
			-2

Рис.3.4

Если B ¹ 0 , то уравнение (3.2) можно переписать и другим образом:

By = -Ax - C			или			y = −	A	x −	C	.
							B
									B
Обозначив k = −	A	, b = −		C	,	получим уравнение прямой с
	B			B
угловым коэффициентом k
l : y = kx + b								(3.4)
Угловой коэффициент			k равен тангенсу угла α наклона

прямой l к положительному направлению оси Ox (рис. 3.5), то есть k = tg α .

y

	y	M	y − b
		α
	b
		x
	α	x	x
l	0

Рис.3.5

Из рисунка 3.5 следует, что для любой точки M (x; y) l

выполняется равенство y − b = tgα = k . x

27

Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 (1; 2) и образующей с положительным направлением

оси Ox угол 45O .

Решение. Пусть искомое уравнение прямой l запишется в

виде (3.4)	l : y = kx + b . По условию	α = 45O , значит
k = tgα = tg 45O = 1, следовательно l : y = x + b .
Поскольку точка M 0 (1; 2) лежит на прямой, то подставляя в
последнее уравнение ее координаты, находим		l : 2 = 1+ b , откуда
b = 1.
Таким	образом, искомое уравнение прямой l имеет вид
y = x + 1.

Ответ: y = x + 1.

Пусть прямая l проходит через точку M 0 (x0 ; y0 ) и ее направление характеризуется угловым коэффициентом k , тогда уравнение этой прямой можно записать в виде:

l : y = kx + b ,

где b – пока неизвестная величина.
Так как точка	M 0 (x0 ; y0 ) лежит		на	прямой	l ,	то	ее
координаты удовлетворяют уравнению прямой l , то есть						имеет
место равенство: y0 = k × x0 + b , откуда			b = y0 − kx0 .		Подставляя
значение b в уравнение y = kx + b , получаем:				y = kx + y0 − kx0			или
y − y0		= k(x − x0 )				(3.5)
Уравнение (3.5)	с	различными значениями k			называется

также уравнением пучка прямых с центром в точке M 0 (x0 ; y0 ).

Из этого пучка нельзя определить лишь прямую,

параллельную оси Oy , так как tg90O = +∞ .

28

Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку пересечения прямых l1 : x - y + 2 = 0 и l2 : 2x + y - 5 = 0 и

образующей с положительным направлением оси Ox угол 135O .

Решение. Координаты точки M 0 пересечения прямых l1 и l2

находим из системы уравнений этих прямых

x − y + 2 = 02x + y − 5 = 0

Получаем координаты точки M 0 (1;3).

По условию α = 135O , значит k = tg135O = −1. Подставляя в уравнение (3.5) k = −1 и x0 = 1, y0 = 3 находим искомое уравнение прямой

l : y - 3 = -1×(x -1) или

l : x + y − 4 = 0 .

Ответ: x + y - 4 = 0 .

2. При A ¹ 0 , B ¹ 0 , C = 0 уравнение (3.2) примет вид

Ax + By = 0.

Это уравнение прямой l , проходящей через начало координат –

				A
точку O( 0; 0) и точку M		1;−			(рис. 3.6).
	0			B
		y				l
−	A					M 0
		B
							x
			0
						1
						Рис.3.6
			29