10139

60

3 РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК

Неразрезными балками будем называть статически неопределимые балки, имеющие более двух опор.

3.1 Степень статической неопределимости

Степень статической неопределимости неразрезных балок Л, как и любых статически неопределимых систем, определяется числом лишних связей

Л=Со – 3 . (3.1)

Однако при вертикальной нагрузке степень статической неопределимости удобно оценивать числом промежуточных опор Соп, рассматривая каждую заделку, как дополнительную промежуточную опору с примыкающим пролетом нулевой длины, то есть

Л= Соп .

(3.2)

Степень статической неопределимости для балок (рис.3.1) равна Л=6, Л=4, Л=5 и Л=3 соответственно.

3.2 Уравнение трех моментов

При расчете неразрезных балок методом сил вид канонических уравнений существенно зависит от выбора основной системы. Для основной системы, выбранной устранением лишних опорных линейных связей, канонические уравнения содержат все неизвестные и будут трудоемки для решения.

Поэтому основную систему рекомендуется выбирать в виде кинематической цепи однопролетных статически определимых балок, устраняя моментные связи в сечениях над промежуточными опорами. Неизвестными метода сил в этом случае являются только опорные моменты (рис.3.2). Каждое каноническое уравнение содержит не более трех неизвестных опорных моментов и называется уравнением трех моментов.

При расчете от нагрузки уравнение трех моментов для промежуточной опоры i (рис.3.4) имеет вид

61

_

_

li

li

li+1

ωi

ai

ωi+1 bi+1

li+1

Mi−1

+ 2

+

Mi

+

Mi+1

= −6

+

(3.3)

EIi

EIi+1

li+1EIi+1

EIi

EIi+1

li EIi

ωi

_

_

λi+1

λ M

+ 2(λ + λ

)M

+ λ

M

= −6

ai λi

+

ωi+1 bi+1

или

i−1

i

i

+1

3.4),

i

i

i+1

i+1

2

2

li

li+1

где

Mi-1, Mi, Mi+1 – неизвестные опорные моменты;

li, EIi, li+1,	EIi+1 – длины и жесткости примыкающих к опоре
ωi , ωi+1 –	площади эпюр изгибающих моментов M p0 (рис.3.5)

системе от местной пролетной нагрузки в i и i+1 пролетах;

_ _

ai , bi+1 – координаты центров тяжести площадей эпюр ωi и ωi+1 ;

iпролетов;

восновной

λi = EI0li – EIi

приведенная длина i-го пролета балки; EI0 – жесткость пролета, принятая за исходную.

В неразрезных балках с шарнирными крайними опорами или с консолями по концам количество неизвестных опорных моментов равно числу промежуточных опор, так как моменты на крайних опорах являются известными величинами (рис.3.2; 3.3).

При жестко защемленных крайних опорах неизвестными являются моменты на промежуточных опорах, включая защемленные по концам опоры с примыкающими к ним дополнительными пролетами нулевой длины (рис.3.2). Составляя для каждой промежуточной опоры уравнение трех моментов (3.4), получим совместную систему уравнений, решением которой определяем неизвестные опорные моменты. Изгибающие моменты M x и поперечные силы Qx в сечениях i-го пролета неразрезной балки от заданной нагрузки выражаются по принципу независимости действия сил в виде

Q x	= Q x0	+		M i − M i −1		,			(3.5)
					li
M x	= M x0	+	li − x		M i−1 +		x	M i ,	(3.6)
				li			li

62

где M x0 и Qx0

–

усилия в сечениях i-го пролета основной системы от нагрузки.

При расчете неразрезных балок от осадки опор уравнение трех моментов для

промежуточной опоры имеет вид

li

li

li+1

сi−1 − сi

ci+1 − ci

li+1

Mi−1

+

2

+

Mi

+

Mi+1

= −6

+

(3.7)

EIi

EIi

EIi+1

li+1

EIi+1

li

или

				с	− сi		c	− c
λi M i −1	+ 2(λi + λi +1 )M i + λi +1 M i +1	= − 6 EI				+			i
			0	i−1			i+1			,(3.8)
					li		li+1
где	сc−1, ci , ci+1 – положительные	осадки	опор		при		перемещениях,

направленных вниз (рис.3.6).

Уравнения (3.8) составляются для всех промежуточных опор неразрезной балки. Решением полученной системы уравнений определяются опорные моменты и усилия в промежуточных сечениях согласно (3.5 и 3.6), в которых отсутствуют изгибающие моменты M p0 и поперечные силы Qx0 от нагрузки.

3.3 Уравнение трех углов для расчета неразрезных балок от нагрузки

Расчет неразрезных балок может выполняться и методом перемещений. Основными неизвестными в этом способе являются угловые перемещения сечений над промежуточными опорами балки. Основная система метода перемещений выбирается из заданной системы путем введения дополнительных моментных связей в сечения над промежуточными опорами (рис.3.7). Поэтому количество неизвестных, равное числу введенных связей, будет всегда равно количеству промежуточных опор, независимо от характера закреплений крайних пролетов. Каждое каноническое уравнение метода перемещений (2.3) содержит не более трех неизвестных угловых перемещений и называется уравнением трех углов. При расчете от нагрузки уравнение трех углов для промежуточной опоры i (рис.3.8) имеет вид:

ri,i−1zi−1 + rii zi	+ ri,i+1zi+1 + Rip0 = 0 , (i=1, 2, n-1).	(3.9)
Коэффициенты	ri,i−1,ri,i ,ri,i+1 и свободные члены Rip0	уравнений (3.9)

определяются перемножением соответствующих эпюр (2.4) или статическим

63

способом. Решением системы уравнений трех углов определяем неизвестные угловые перемещения опорных сечений неразрезной балки.

Значения опорных изгибающих моментов и поперечных сил в заданной балке от нагрузки вычисляются согласно (2.6 и 2.7) при отсутствии относительных линейных перемещений концов стержней δ ab = 0.

Усилия M x , Qx в сечениях i-го пролета неразрезной балки от заданной нагрузки выражаются в виде (3.5 и 3.6).

3.4 Примеры расчета неразрезных балок с помощью уравнения трех моментов

Пример 3.4.1. Выполнить расчет неразрезной балки от нагрузки (рис.3.9), вычислить усилия и построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.

Решение 1. Определяем число неизвестных опорных моментов

Л=Соп=2.

2.Выбираем основную систему, устраняя моментные связи над промежуточными опорами 1 и 2 (рис.3.9б).

3.Строим эпюру изгибающих моментов от нагрузки в основной системе M p0

(рис.3.9в).

4. Определяем площади эпюр M p0 и координаты их центров тяжести:

ω =

1

120 × 4 = 240; ω

=

2

90 × 6 = 360; ω

=

1

40 ×1,5 = 30; ω ' = -

1

40 ×1,5 = -30;

2

3

1

2

3

2

3

2

_

_

4

_

_

6

_ '

_

1

_

_

2

a1

= b1 =

= 2 (м); a2

= b2

=

= 3 (м); a3

= b3

= 1,5

+

1,5 = 2 (м); a3

= b3

=

1,5 = 1 (м).

2

2

3

3

5. Составляем уравнения трех моментов (3.3)

4

4

6

6

240 × 2

360 × 3

для опоры 1:

×

0 +

2

+

M1

+

M

2

= -6

+

,

2EI

3EI

4 × 2EI

2EI

3EI

6 × 3EI

6

6

3

3

360 × 3

30 × 2

30 ×1

для опоры 2:

× M1 +

2

+

M

2 +

× 0

= -6

+

-

.

3EI

EI

× 3EI

3

× EI

3EI

3EI

EI

6

64

Рис 3.1

6. Решаем систему уравнений.

8M1 + 2M 2 = −7202M1 + 10M 2 = −420,

M1 = −83,684(кНм), M2 = −25,263(кНм).

7. Вычисляем изгибающие моменты M x в сечениях неразрезной балки (3.5) и строим эпюру изгибающих моментов от нагрузки M p (рис.3.9г).

M x=2	= 120 +		4 - 2		× 0 +	2	(- 83,684) = 78,158 (кНм);
	4				4
M x=7	= 90 +	6 - 3		× (- 83,684) +				3	(- 25,263) = 35,5265 (кНм);
	6						6

65

Рис 3.2

Рис 3.3

66

Рис 3.4

Рис 3.5

Рис 3.6

67

Рис 3.7

Рис 3.8

68

M

M

л

x=2,5

пр

x=2,5

=40 + 3 -1,5 × (- 25,263) = 27,3685 (кНм); 3

=-40 + 3 -1,5 × (- 25,263) = -52,6315 (кНм).

3

8. Выполняем кинематическую проверку (1.20) (рис.3.9е).

																				_
					3							l								0													1								2					1					1							1
				= ∑								∫		M p M s
Dsp																							dх =						-						83,684 × 4 ×							15 +						120 × 4 ×						15					+
																		EI															2								3					2					2							2EI
					1							0
					1																		2								1							1				1							2				2						15 + 3 1
+	-								83,684 × 6 ×																15		+							3		-				25,263 × 6						15 +				3	+						90 × 6 ×										+
					2																		3								3							2				3							3				3						2			3EI
	1																			2						1										1						2							1				1									2			1
+					25,263											×1,5						3 +					1,5							+			27,3685				×1,5					1,5 +				3	-					52,6315 ×1,5 ×							1,5					=
	2																			3						3										2						3							3				2									3			EI
= -				2021,047														+	2021,053										=					0,006						1%.
									EI															EI											EI
9. Вычисляем поперечные силы Qx																																															в сечениях балки (3.6) и строим эпюру
поперечных сил от нагрузки Qp (рис.3.9д).
Q = 60 + - 83,684 - 0 = 39,079 (кН);
0																4
Q	л		= -60 + - 83,684 - 0 = -80,921(кН);
1																				4
Q	пр =							20 × 6								+ - 25,263 - (- 83,684) = 69,737 (кН);
1					2																						6
Q	л		= -							20 × 6							+ - 25,263 - (- 83,684) = -50,263 (кН);
2												2																			6
Q	пр =							80				+			0 - (-25,263)															= 35,088 (кН);
2					3															3
Q3			=				80				+			0 - (-25,263)														= 35,088 (кН);
					3															3

10. Определяем опорные реакции.

Ri = Qiпр - Qiл ;

R = Qпр			= 39,079 (кН);
0		0
R = Qпр			- Q л = 80,921 + 69,737 = 150,658 (кН);
1		1	1
R	2	= Qпр	- Q л = 50,263 + 35,088 = 85,351 (кН);
		2	2
R = -Q л = -35,088 (кН).
3		3

69

11. Производим статическую проверку (1.29).

∑Y = 0; 39,079 + 150,658 + 85,351 - 35,088 -120 × 20 × 6 = 0.

∑M 0 = 0; -120 × 2 +150,658 × 4 - 20 × 6 × 7 + 85,351×10 + 80 - 35,088 ×13 = 0.

Пример 3.4.2. Выполнить расчет неразрезной балки от осадки опор (рис.3.10), вычислить усилия и построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил при

EI =104 (кНм2).

Решение.

1. Определяем число неизвестных опорных моментов.

Л=Соп=2.

2.Выбираем основную систему, устраняя моментные связи над промежуточными опорами 0 и 1 (рис.3.10б).

3.Составляем уравнения трех моментов (3.7)

для опоры 0:

6

6

0,04 - 0

0 + 2

0 +

M

0 +

M1

= -6 0 +

,

2EI

6

2EI

для опоры 1:

6

6

4

4

0 - 0,04

- 0,02 × 0,04

M 0 +

2

+

M1 +

× 0

= -6

+

4

.

EI

EI

2EI

2EI

6

4. Решаем систему уравнений.

6M 0 + 3M1 = -400

+14M1 =1300,

3M 0

M 0 = -126,67 (кНм);

M1 =120 (кНм).

5.Строим эпюру изгибающих моментов в неразрезной балке от заданного смещения опор M с (рис.3.10в).

6.Выполняем кинематическую проверку (1.24) (рис.3.10д).

			= -(2,25 × 0,04 +1,25 ×									0,02) +				1		1			2			1						1			1
D	sc																×		×126,67 × 6 ×			1	-		5		+					×		×120	× 6 ×
																													×104
														2 ×104				2			3			3			2						2
2				1			1			1			2
×			5 -		1	+			×		×120	× 4 ×		× 5		= 0,134 - 0,134				= 0.
							104
3				3						2			3
7.			Вычисляем						поперечные							силы		Qx в		сечениях					балки						(3.6) и				строим эпюру

поперечных сил Qс от смещения опор (рис.3.10г).