11072

Постоянные A определяем из следующих граничных условий:

Так как каждое из последних двух условий объединяет в себе два условия (плюс или минус ), число уравнений, необходимых для определения постоянных А, достаточно. Усилия и перемещения в коротких оболочках удобно выражать с помощью тригонометрических и гиперболических функций от .

2.9 Напряженное состояние цилиндрической оболочки и условие прочности

Наибольшие напряжения в цилиндрической оболочке складываются алгебраически из напряжений мембранных, напряжений от изгиба моментами Мх и My и температурных напряжений , если они есть. Пренебрегая напряжениями = ± q малыми по

сравнению с напряжениями и (рис. 50), элемент оболочки, выделенный двумя

меридиональными и двумя экваториальными сечениями, можно считать испытывающим плоское деформированное состояние.

Так как касательные напряжения

то нормальные напряжения и представляют собой главные напряжения.

Наибольшее нормальное напряжение, действующее по поперечному сечению цилиндра и направленное вдоль образующей (рис. 50), возникает на одной из поверхностей оболочки и вычисляется как алгебраическая сумма

(2.86)

Знаки плюс или минус в выражении (2.86) зависят от направления нагрузки q, характера изменения температуры и расположения точки, в которой определяется напряжение на внутренней или наружной поверхности оболочки.

Наибольшее нормальное напряжение, действующее по радиальному сечению и направленное по касательной к окружности,

(2.87)

В уравнении (2.87) последний член представляет собой напряжение, вызванное обжатием оболочки вследствие радиального перемещения wx,

Алгебраически большее из двух отрицательных напряжений, вычисленных по формулам (2.86) и (2.87), в случае наружного давления будет главным напряжением ,

меньшее − главным напряжением . Главное напряжение равно нулю. В случае внутреннего давления главное напряжение σ1 равно алгебраически большему из двух положительных напряжений, равно меньшему, a равно нулю. Поэтому в условии прочности по третьей теории прочности

одно из слагаемых в левой части при любом нагружении равно нулю и условие прочности будет

70

.

По четвертой теории прочности условие прочности при внутреннем давлении

.

Найдем, например, главные напряжения и составим условие прочности для цилиндрической оболочки, подвергнутой наружному давлению q, считая температурные воздействия отсутствующими.

В сопряжении цилиндра с торцом мембранные напряжения сжимающие, напряжения от изгиба у торца растягивающие на наружной поверхности оболочки и сжимающие на внутренней, напряжения от обжатия сжимающие. Поэтому на внутренней поверхности

а на наружной поверхности, с учетом того, что местные напряжения больше мембранных и возникающих от обжатия,

Так как на внутренней поверхности абсолютная величина нормальных напряжений больше, чем на наружной, условие прочности примет вид

.

Местные напряжения от краевого эффекта не всегда следует считать расчетными. Для пластических материалов концентрация местных напряжений, превышающих допускаемые, захватывающая небольшой участок конструкции, при статическом постоянном действии нагрузки иногда допускается. Если же такое перенапряжение происходит периодически, например при многократном повышении и спаде давления, оно может вызвать возникновение усталостной трещины именно в зоне концентрации и не может быть допущено. Расчетными считаются также местные напряжения и для оболочек, выполненных из хрупких материалов.

В ряде случаев при наружном давлении размеры оболочки лимитируются не рассмотренными условиями прочности, а условиями устойчивости. Оболочки нередко должны дополнительно удовлетворять требованиям стойкости в коррозионноагрессивных средах и при других химических воздействиях. Для оболочек, подверженных действию высокой температуры, допускаемое напряжение следует назначать с учетом возможной ползучести материала.

71

Пример выполнения задачи №2 РГР «Расчет пластин и оболочек»

Задание

Цилиндрический стальной корпус, имеющий подкрепляющие кольца и торцы (рис. 1), подвержен внутреннему давлению q. Построить эпюры меридиональных изгибающих моментов Мх вблизи от подкрепляющих колец в двух предположениях: 1) кольца абсолютно жесткие; 2) кольца упругие. Все данные взять из таблицы задания в соответствие с номером варианта.

Таблица задания:

l (cм)	h (cм)	b (cм)	h1 (cм)	R (cм)	q	Е	µ
					(Мн/м2)	(Мн/м2)
30	1	5	1,5	30	2	2× 10 5	0,3

Схема задания

Решение.

1. Вычисление вспомогательных величин. Цилиндрическая жесткость

.

Коэффициент затухания

.

Длина оболочки, при которой ее можно считать длинной,

Так как l = 0,6 > 0,266 м, можно не учитывать совместное влияния двух подкрепляющих колец на расположенную между ними оболочку и вести расчет по формулам для длинной оболочки. В формулы, выведенные для цилиндрической оболочки, подверженной наружной нагрузке интенсивностью q, нужно интенсивность подставлять со знаком минус.

72

2. Определим изгибающие моменты Мх в предположении, что кольца абсолютно жесткие.

Сила взаимодействия между кольцами и оболочкой Х

.

Погонная поперечная сила Q на оси кольца

.

Погонный изгибающий момент М0 на оси кольца

.

Ординаты эпюры погонных изгибающих моментов

или после упрощения

.

Функции и берутся из таблицы 1. Соответствующие им координаты х

посчитаны как .

В таблице ниже представлены результаты вычислений ординат Мх.

№		х, см			Мх	,
точки
					Мн
0	0	0	1,0000	0	1,520
1	0,2	0,85	0,9651	0,1627	0,966
2	0,4	1,65	0,8784	0,2610	0,537
3	0,6	2,54	0,7628	0,3099	0,215
4	0,8	3,40	0,6354	0,3223	−0,017
5	1,0	4,25	0,5083	0,3095	−0,170
6	1,5	6,34	0,2384	0,2226	−0,317
7	2,0	8,50	0,0667	0,1230	−0,274
8	2,5	10,6	−0,0166	0,0492	−0,175
9	3,0	12,7	−0,0423	0,0071	−0,086
10	4,0	16,9	−0,0258	−0,0139	+0,003
11	5,0	21,2	−0,0046	−0,0065	+0,013

Положение нулевых точек эпюры изгибающих моментов определяется расстоянием

73

После второй нулевой точки, на расстоянии 3,33 + 13,33 = 16,66 см от оси кольца, изгибающие моменты уменьшаются до величины

и вызывают напряжение

Это напряжение настолько мало, что его можно не учитывать.

3. Определяем изгибающие моменты Мх в предположении, что кольца упругие. Моменты Мх пропорциональны краевому изгибающему моменту М0 и краевой поперечной силе Q0, которые, в свою очередь, пропорциональны силе взаимодействия Х. Поэтому ординаты эпюры Мх получаются путем умножения ординат эпюры Mх, вычисленных в табл. 7, на коэффициент

Таким образом, при учете податливости колец погонные изгибающие моменты составляют лишь 43% от моментов, вычисленных в предположении жестких колец. Соответствующая эпюра изгибающих моментов Мх построена штриховой линией.

Эпюра Мх.

74

Использованные электронные источники:

1. http://www.soprotmat.ru/

75

Светлана Юрьевна Лихачева

Дмитрий Александрович Кожанов

ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК

Учебно-методическое пособие по подготовке к практическим занятиям по дисциплине

«Теория расчета пластин и оболочек» для обучающихся

по специальности 08.05.01 Строительство уникальных зданий и сооружений, специализации: Строительство гидротехнических сооружений повышенной ответственности

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

603950, Нижний Новгород, Ильинская, 65.

http://www.nngasu.ru, [e-mail]

76