Математика и информатика

Задания для подготовки к практическому занятию:

1.Из теории государства и права вспомнить основные виды систематизации нормативных правовых актов. Разобраться, какие средства поиска информации могут обеспечить каждый вид систематизации.

2.Вспомнить, какие обязательные реквизиты должны присутствовать у нормативного правового акта согласно правилам юридической техники. Найти средства, реализующие поиск информации по данным реквизитам в справочных правовых системах.

3.Сравнить тематические классификаторы различных справочных правовых систем.

4.Для формирования запроса как логического выражения необходимо вспомнить такие понятия математической логики, как логическая переменная, логические операции, структура логического выражения.

Тема 17. Основы информационной безопасности

Занятие 43. Основы информационной безопасности (2 часа)

План занятия:

1.Законодательство РФ о защите информации.

2.Криптографические методы для защиты компьютерной информа-

ции.

3.Понятие компьютерного вируса и вредоносной программы.

4.Основные функции современных антивирусных систем.

5.Защита от несанкционированного доступа к информации.

6.Понятие сетевой безопасности.

7.Аппаратные и программные средства защиты от сетевых атак.

8.Комплексная защита от сетевых атак.

Задания для подготовки к практическому занятию:

1.Приведите простейшие примеры симметричного и несимметричного шифрования.

2.Какие методы шифрования лежат в основе усиленной электронной подписи?

3.Определите, какой антивирусный пакет установлен на вашем компьютере?

4.В сети Интернет на официальном сайте компании-разработчика найдите функциональные возможности установленного на компьютере антивирусного пакета.

5.В сети Интернет найдите примеры и описание возможностей программ, реализующих комплексную защиту от сетевых атак.

41

3.5. Самостоятельная работа студентов

Курс «Математика и информатика» имеет значительную практическую направленность. Его задачей является не только формирование у студентов базовых знаний в области информатики и математики, но и приобретение ими умений и навыков в использовании информационных технологий, в частности, программ общего назначения и специализированных программ в области экспертной деятельности и права.

Всвязи с этим практические занятия построены таким образом, что студенты самостоятельно выполняют цикл заданий по каждой теме,

азатем защищают выполненную работу. Задания составлены так, чтобы постепенно сформировать и закрепить у студентов умения и навыки в использовании программных средств для решения задач, которые могут возникнуть в их профессиональной деятельности.

Подготовка к занятиям должна начинаться с внимательного изучения задания. Используя материалы лекций, учебно-методические пособия, подготовленные кафедрой правовой информатики, и рекомендованную литературу по изучаемой теме студент должен определить, какие средства и каким образом следует использовать для решения поставленной перед ним конкретной задачи.

При выборе средств для решения задачи следует обращать внимание на то, насколько эти средства просты в использовании и насколько они надежны, то есть их использование не приведет к ошибкам. Студент должен мысленно или в письменном виде составить процедуры решения каждой конкретной задачи. Если при подготовке к занятиям у студента остались невыясненные вопросы, то он должен их вынести на обсуждение.

Каждое практическое занятие начинается с короткого обсуждения вопросов, которые могут возникнуть при выполнении задания. Лишь после общего обсуждения студенты приступают к выполнению задания.

Вцелях самостоятельного и углубленного изучения учебного материала дисциплины рекомендуются учебные пособия из перечня литературы данной программы.

Особенности самостоятельной работы студентов по отдельным разделам и темам курса

Тема 1. Введение

В результате изучения темы у студентов должно сформироваться представление о содержании, структуре и порядке изучения дисциплины «Математика и информатика».

42

Обучаемые должны ясно представлять методику подготовки к лекционным и практическим занятиям; содержание текущего, рубежного и промежуточного контроля; критерии оценивания их учебной деятельности, формы и сроки отчетности; правила работы в компьютерных классах, особенности организации доступа к сетевым ресурсам.

Особое внимание следует уделить назначению и основным возможностям системы компьютерной математики MathCAD. Следует понимать, что от глубины усвоения данного учебного материала зависит эффективность работы по изучению последующих тем из раздела «Математика».

Тема 2. Числа

Цель темы — раскрыть основополагающее понятия математики — число; определить свойства натуральных и целых чисел, усвоить особенности основных операций над ними, сформировать у обучаемых устойчивые практические навыки при работе с числами.

Отметим главные положения изучаемой темы.

Так, прежде отметим базовое понятие в теории чисел — понятие числовой системы.

Известны несколько классов чисел: натуральные числа; целые числа; действительные числа; рациональные числа и иррациональные числа.

Рекомендуется рассмотреть каждый класс чисел как некоторое множество, элементами которого являются числа, имеющие общие признаки (свойства).

Каждый класс чисел целесообразно рассматривать не только как множество, важны также действия, которые определены в этом числовом классе, их свойства и отношение сравнения по величине между рассматриваемыми числами. Под действием, заданным на множестве М, называется закон, сопоставляющий каждой паре элементов из М элемент этого же множества М, называемый результатом действия.

Числовой системой называется множество чисел, рассматриваемое вместе с действиями и отношением сравнения по величине.

Рекомендуется организовать изучение числовых систем последовательно. Переход от одного класса чисел к другому, более широкому, состоит в добавлении некоторых новых чисел (процесс расширения числовых множеств).

При последовательном построении числовых классов особую роль играет исходный класс чисел. Таковым является класс натуральных чисел. Построение и изучение натуральных чисел есть исходный пункт всей теории.

43

Натуральными называются числа, которые используются для счета предметов или обозначения номера предмета в ряду однородных предметов. Обозначение множества натуральных чисел принято

N ^1, 2, 3, 4, 5, ...`.

На множестве натуральных чисел определены действия сложения и умножения, так как при сложении и умножении натуральных чисел снова получается натуральное число.

Сложение обладает свойствами: коммутативности, когда для любых

a,b N ,	a b b a , и ассоциативности	—	a,b,c N ,
a b c a b c .
Под действием умножения понимается закон,		который каждой

паре чисел a,b N сопоставляет натуральное число c , называемое их

произведением и обозначаемое c ab . Свойства умножения: коммутативности — a,b N , ab ba , ассоциативности a,b,c N ,

ab c a bc и дистрибутивности — a, b, c N , a b c ac bc .

На множестве натуральных чисел определено отношение сравнения по величине. Под отношением сравнения понимается закон, который для некоторых пар a,b N устанавливает, что a меньше b (в записи a < b). Отношение сравнения по величине удобно рассматривать, используя графическое представление в виде координатной прямой.

Для любых двух натуральных различных чисел a и b справедливо одно и только одно утверждение: a ! b , a b или a b . Знаки < и > называются знаками строгих неравенств, знаки и — знаками

нестрогих		неравенств. Так, если a d b , то верно одно из двух
утверждений: либо a b , либо a b .
	Неравенства a b и c d называют неравенствами одного знака;
неравенства a b и c ! d называют неравенствами разных знаков.
	Если натуральные числа a,b,c N связаны соотношением a=b+c,
то	число	c называется разностью чисел a и b и обозначается
c	a b .	Процедура нахождения разности называется вычитанием.

Поэтому вычитание не является действием на множестве натуральных чисел, так как разность двух натуральных чисел a и b определена в N тогда, когда a ! b.

Когда натуральные числа a,b,c N связаны соотношением a bc , то число c называется частным от деления числа a на число b и обозначается c a : b . Процедура нахождения частного называется делением, а число b— делителем.

Все натуральные числа имеют по крайней мере два натуральных делителя: единицу и самого себя. В случае с единицей эти два делителя совпадают. Все остальные натуральные числа (кроме 1) имеют, по крайней мере два различных натуральных делителя: единицу и самого себя.

44

Все натуральные числа, исключая единицу, принято делить на простые и составные.

Натуральные числа, кроме основной функции, — характеристики количества предметов, еще характеризуют порядок предметов, расположенных в ряд: пятая Конституция РФ, третий экзамен в сессии и т.д.

Таким образом, система натуральных чисел определяется как некоторое множество с двумя арифметическими действиями (сложением и умножением) и отношением сравнения по величине, обладающее рядом свойств.

Изучаемая тема предполагает формирование у студентов основопологающих знаний, которые позволяют начать изучение других важных понятий курса, таких как «множество».

Тема 3. Множества

Цель темы — изучить важное понятие математики — понятие множества, которое является базовым для овладения другими ключевыми знаниями в области основ математического анализа, в частности, понятия функции, предела функции и их дифференцирования. Тема предполагает формирование устойчивых практических навыков у обучаемых при работе с множествами и операциями над ними.

Выделим основные теоретические положения темы и отметим их особенности.

Важно отметить, что множество — первичное понятие в математике и поэтому неопределяемое через другие.

Элементами множества могут быть объекты различной природы: числа, буквы, точки, углы, предметы, люди и т.п. Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными, а множества, состоящие из бесконечного числа элементов, — бесконечными.

Бесконечные множества делятся на счетные и несчетные. Если элементы бесконечного множества можно пронумеровать с помощью натурального ряда чисел, т.е. установить хотя бы одним способом взаимно однозначное соответствие между измеряемым множеством и эталоном — множеством натуральных чисел, то оно называется счетным. Так, множество действительных чисел — несчетное множество.

Конечные и счетные множества называются дискретными множествами.

Множества задают либо перечислением его элементов, например A ^a1, a2 , a3`, либо описанием характеристического свойства

множества a x , которое четко определяет совокупность его элементов, например X ^x N; x d 6` ^1, 2, 3, 4, 5, 6`.

45

Вместе с термином «множество» вводится термин «принадлежность множеству». Так, если объект a принадлежит множеству A (объект a является элементом множества A ), то a A , если же a не является элементом множества A, то a A .

Запись A B , когда множество A содержится в B , т.е. каждый элемент множества A принадлежит множеству B . В этом случае множество A называют подмножеством B .

Множества называют равными (A = B), если выполнено два условия:

A B и B A.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым ( ). Важно понимать, что пустое множество считается конечным множеством и одновременно является подмножеством любого другого множества.

В теме отдельным вопросом рассматриваются операции над множествами и их свойства.

Так, объединением двух множеств A и B ( A B ) называется множество C , состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат

хотя бы одному из множеств						A и	B , т.е. элементы множества C
принадлежат или множеству						A , или множеству B , или им обоим
вместе: C			A B	^c : c A ɢɥɢ c B`.
Пересечением множеств						A и	B ( A B ) называется множество
D , состоящее из всех тех и только тех элементов, которые
принадлежат и A , и B : D					A B		^d : d A ɢ d B`.
Дополнением (до U )					множества A (обозначается				или ºA)
								A
называется множество всех тех элементов множества U , которые не
принадлежат множеству A.
Операции объединения,						пересечения и операцию дополнения
^ , ,		`называют еще булевыми операциями над множествами.
Разностью множеств					A и B (обозначается A \ B ) называется
множество			G всех	тех и только			тех элементов A , которые не
содержатся в B : G				A \ B	^g : g A ɢ g B`.

Рассмотренные операции над множествами могут быть проиллюстрированы графически с помощью диаграмм Венна (которые также называются кругами Эйлера). Тогда универсальное множество U изображается множеством точек некоторого прямоугольника, а его подмножество A — в виде круга или какой-нибудь другой простой области внутри этого прямоугольника.

Изученные вопросы в теме 3 обеспечивают овладение основами алгебры логики и теории множеств и практическими приемами анализа

46

Тема 4. Функции и их пределы

Цель темы — изучить основополагающее понятие математического анализа — понятие функции, предела функции и ее непрерывности. При изучении темы студенты формируют практические навыки построения функций различных видов как в декартовых, так и полярных системах координат. Изучаемые понятия в рамках данной темы позволяют студентам глубоко овладеть категориями дифференцирования функций и применят их в прикладных задачах.

Выделим основные теоретические положения темы и отметим их особенности.

Понятие функции лежит в основе связей различных параметров, когда множеству значений одной переменной соответствует множество значений другой переменной. Независимая переменная называется

аргументом функции (x), зависимая — значением (y). Например, в теории права и государства независимая переменная — это множество вариантов диспозиции нормы права, а зависимая — это состояние цели правового воздействия.

	Пусть X и Y — непустые числовые множества. Тогда соответствие
f ,	которое	каждому	элементу или нескольким элементам xi X ,
i	1,...n сопоставляет один и только один элемент y Y , называется
функцией и записывается y				f (x) , x X или f : X oY . При этом
говорят, что функция f отображает множество X на множество Y .
	Элемент	x X	называют аргументом,		а элемент	y Y —
значением		функции	f .	Множество X	называется	областью

определения функции f (областью ее существования), а множество

Y — областью значений функции f . Область определения и область значений функции f обозначают Df и E f соответственно.

Задать функцию — значит указать область ее определения и область значений.

Известны способы задания функций: аналитический, табличный, графический.

Задать функцию аналитически — это записать ее формулой. Если множества X и Y определены, то функцию из X в Y задают записью вида y f (x) .

Когда область определения функции состоит из конечного числа точек, эту функцию задают таблицей из двух строк. В первой строке перечислены значения аргумента, а во второй — значения функции. Обычно в подобные таблицы сводят результаты исследования или эксперимента, для каждого из которых нет подходящей формулы. Заметим, что во многих случаях аргументы таблицы — элементы нечислового множества (скажем, фамилии политиков при социологических опросах).

47

Аналитический и табличный способы задания функции недостаточно наглядны. Это обусловливает применение графического способа задания функции, когда по формуле или по таблице строится график функции. Обычно график дополняет другие способы задания функции.

На практике строится график всегда по таблице. Если функция

задана аналитически	и	x R ,	то	составляют	таблицу для
x >xmin , xmax @. На этом отрезке задают сетку x0 xmin , x1,						x2 ,..., xmax
с равномерным шагом 'x		xi 1 xi	const . Для каждого значения xi
по формуле вычисляют	yi	f (xi ) . По данным полученной таблицы,
строится точечный график.
К основным свойствам функций относят четность, монотонность,
ограниченность и периодичность. Опишем эти свойства.
Четность. Функция		f , область		определения	D f	которой

симметрична относительно нуля, называется четной (или нечетной),

если f ( x)	f (x) (или f ( x)		f (x) ) для любого x из области
определения функции.		f
Монотонность. Функция			называется	возрастающей на
множестве X , если для x1 x2 имеет место f (x1 ) f (x2 ) .
Функция f	называется неубывающей на множестве X , если для
x1 d x2 имеет место f (x1 ) d f (x2 ) .
Функция f	называется невозрастающей на множестве X , если
для x1 d x2 имеет место f (x1 ) t f (x2 ) .
Функция f	называется убывающей на множестве X , если для
x1 x2 имеет место f (x1 ) ! f (x2 ) .
Ограниченность. Функция		f	называется	ограниченной сверху

(или снизу) на множестве Df , если существует M такое, что f (x) d M

для любого x Df . Функция f называется ограниченной на множестве Df , если она ограничена и сверху, и снизу. Примером такой

функции будет y sin(x), график которой лежит в полосе от 1 до 1.
Периодичность. Функция	f	называется периодической, если
существует число T ! 0 такое, что	f (x r k T ) f (x) для любого x Df .
Здесь k N . Число T называют периодом функции.
Обратная функция. Функция x g( y) , которая ставит			в
соответствие каждому элементу		y Y элемент x X такой,	что
y f (x) называется обратной к	f .

Функцию f называют прямой (исходной). Если прямая функция обозначена как f , то обратную функцию обозначают как f 1 . Область

48

xox0

определения обратной функции совпадает с областью значений

исходной	функции и наоборот: Df 1 E f ,	E f 1 Df . Функция,
обратная к	f 1 , есть прямая функция: ( f 1 ) 1	f . Значит, функции f

и f 1 взаимно обратные.

Введем понятие предела функции. Число Ⱥ называется пределом функции y f (x) в точке x0 , если для любого положительного числа H

можно найти такое положительное число					G , что	для	всех x ,
удовлетворяющих условию 0		x x0		G ,	выполняется		условие
«y — A« < H.
Тот факт, что A есть предел функции					y = f(x)	в точке x = x0,
записывается формулой lim f x A.

Материал темы 4 обеспечивает овладение основами дифференцирования функций и практическими приемами анализа сложных функций.

Тема 5. Производная и дифференциал функции

Цель темы — изучить базовые категории математического анализа, связанные с дифференцированием сложных и обратных. Овладеть приемами и методами исследования функциональных зависимостей.

Выделим основные теоретические положения темы и отметим их

особенности.	f (x) , которая
Так, выделим из семейства функций зависимость y
непрерывна в некоторой окрестности точки x . Так,	пусть 'x –

приращение аргумента в точке x . Тогда 'y или 'f — приращение функции, равное f (x 'x) f (x) . Функция непрерывна в точке x , если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента 'x соответствует бесконечно малое приращение функции 'f .

Если существует предел отношения f (x 'x) f (x) / 'x в точке

'x 0 , то он называется производной функции						y f (x) в точке x и
	f		(x) lim	f (x 'x) f (x)
обозначается		c			.
			'xo0	'x
Нахождение			производной называется			дифференцированием

функции.

Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции f (x) в точке x равна тангенсу угла наклона

касательной к графику функции в этой точке.

49

Производная – это скорость изменения функции в точке x . Из

'f

определения производной следует, что f (x) | 'x , причем точность

этого приближенного

равенства

тем выше,

чем меньше

'x .

Производная

f (x)

является

приближенным

коэффициентом

c

пропорциональности между 'f

и 'x .

f (x)

Важно отметить случай, когда может оказаться, что функция

,

c

называемая первой производной, тоже имеет производную

( f (x))

c. Эта

c

производная

называется

второй

производной

функции

'f

и

обозначается

cc

'f

есть

координата движущейся

точки и

f (x) . Если

является функцией времени, то мгновенная скорость точки в момент времени t равна f c(x), а ускорение равно f cc(x) .

Все производные, начиная со второй, называются производными высших порядков.

Главная, линейная относительно 'x , часть приращения функции

y f (x) , равная	f (x) 'x ,	называется дифференциалом и
обозначается dy: dy = fc (x) 'x.			dy
Отсюда следует,	что f c(x)			, то есть производная функции
			dx

f (x) равна отношению дифференциала функции y к дифференциалу аргумента x .

Материал тем 3, 4 и 5 обеспечивает формирование знаний студентов, достаточных для овладения методами анализа функций.

Тема 6. Исследование функций

Цель темы — изучить методы анализа функций, получить устойчивые практические навыки применения этих методов при исследовании функций с применением математической компьютерной системы MathCAD.

Изучаемые понятия в рамках данной темы обеспечивают выполнение студентами самостоятельного анализа как типовых функциональных зависимостей, так и зависимостей, построенных на реальных экспериментальных данных.

Выделим основные теоретические положения темы и отметим их особенности.

Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие: f(x) > f(x0).

50