ОЭТ / 1.2. Конденсаторы

К О Н Д Е Н С А Т О Р Ы

1. Электрическая емкость

Под электрической емкостью понимают способность тела накапливать электрические заряды.

Для металлического уединенного шара (рис.1.1) радиусом R, имеющего электрический заряд Q, потенциал поверхности шара φ прямо пропорцио­нален величине заряда Q, находящегося на поверхности шара:

Электрическая емкость С численно равна отношению заряда проводника к его потенциалу:

С = Q/φ.

Ем­кость шара зависит только от геометрических размеров шара и диэлектрической проницаемости диэлектрика, окружающего шар,: С = 4πε_аR.

Емкость шара С равна единице, если на нем находится заряд, равный единице, т. е. одному кулону (Кл) и при этом потенциал поверхности шара равен одному вольту. Единицей емкости является фарада (Ф =Кл/В). Такой шар, как наша Земля, обладает емкостью меньше одной фарады. Дольными единицами емкости являются микрофара­да (мкФ), равная 10^-6Ф, нанофарада (нФ), равная 10^-9Ф, и пикофарада (пФ), равная 10^-12Ф.

На емкость проводника оказывает влияние соседство других проводников. Соседство других проводни­ков увеличивает емкость данного проводника: чем ближе проводники расположены друг к другу, тем больше емкость. Речь идет о ем­кости между проводниками. В этом случае емкость C равна отно­шению величины заряда Q, расположенного на одном проводнике, к напряжению между проводниками U:

Рис.1.1. Конденсатор и его условное обозначение

Два проводника, изолированных диэлектриком, называются электрическим конденсатором. Проводники получают равные по величине, но противоположные заряды (рис.1.1). Если проводники выполнены в виде плоских пластин, то такой конденсатор называется плоским и его емкость:

где S — площадь одной пластины в квадратных метрах;

d — расстояние между пластинами (толщина диэлектрика) в метрах.

Энергия электрического поля конденсатора: .

2. Параллельное соединение конденсаторов

Часто параметры одного конденсатора не удовлетворяют требо­ваниям, предъявляемым к нему в данной схеме (не подходит его емкость или напряжение, на которое он рассчитан, или то и другое вместе). В этом случае приходится брать несколько конденсато­ров и соединять их так, чтобы группа этих конденсаторов (бата­рея) удовлетворяла требованиям, предъявляемым к емкости в дан­ной схеме. Конденсаторы соединены параллельно в том случае, если их об­кладки с одной стороны подсоединены к одной общей точке (а), а обкладки с другой стороны подсоединены к другой общей точке (б). Группу конденсаторов можно заменить одним с эквивалентной емкостью С.

Рис.1.3. Параллельное соединение конденсаторов

Все конденсаторы имеют между обкладками одно и то же напряжение U, а заряды получаются разными:

Q₁ = С₁·U; Q₂ = С₂·U; Q₃ = С₃·U.

Общий заряд равен сумме зарядов конденсаторов:

Q = Q₁ + Q₂ + Q₃ + … + Q_N.

Эквивалентная емкость равна сумме емкостей:

С = С₁ + С₂ + С₃ + … + С_N.

Параллельное соединение конденсаторов увеличивает эквивалентную емкость батареи конденсаторов.

3. Последовательное соединение конденсаторов

При последовательном соединении конденсаторов в схеме они соединены одни вслед за другим (рис. 1.4). При этом к точке соединения соседних конденсаторов больше ничего не присоединено. С источником постоянного напряжения соединены обкладки первого и последнего конденсаторов. Группу конденсаторов можно заменить одним с эквивалентной емкостью С.

Рис.1.4. Последовательное соединение конденсаторов

Конденсаторы заряжены одинаково:

Q = Q₁ = Q₂ = Q₃

Напряжение на эквивалентном конденсаторе равно сумме напряжений:

U₁+U₂+U₃=U

Эквивалентная емкость:

= + +

Последовательное соединение конденсаторов уменьшает эквивалентную емкость батареи конденсаторов. Напряжение источника распределяется между конденсаторами в зависимости от их емкости. Последовательное соединение конденсаторов применяют, чтобы напряжение на каждом конденсаторе не превышало его допустимого напряжения.

4. Расчет батарей при смешанном соединении конденсаторов

Смешанное соединение конденсаторов есть сочетание последо­вательно и параллельно соединенных конденсаторов.

Если требуется рассчитать батарею из смешанно соединенных конденсаторов, то необходимо определить, какие конденсаторы соединены параллельно, а какие - последовательно.

Кон­денсаторы соединены последовательно только в том случае, когда к точке соединения двух конденсаторов больше ничего не присое­динено, т, е. эта точка не является точкой разветвления.

Конденсаторы соединены параллельно в том случае, когда их обкладки с одной стороны присоединены к одной обшей точке, т. е. обе эти точки являются точками разветвления.

Когда находят общую емкость двух или нескольких конденса­торов, то эту эквивалентную емкость целесообразно обозначать так, чтобы по самому обозначению было понятно, какие конден­саторы заменяет этот эквивалентный конденсатор. Например, надо найти общую емкость третьего С₃ и четвертого С₄ конденсаторов. В этом случае их общую емкость целесообразно обозначить че­рез С_3,4 независимо от того, параллельно или последовательно они соединены между собой.

Рис.1.5. Смешанное соединение конденсаторов

В схеме (рис.1.5) напряжение источника U=1200 В и емкости конденсаторов С₁=24 мкФ, С₂=5 мкФ, С₃=4 мкФ, С₄=12 мкФ.

Конден­саторы С3 и С4 соединены последовательно, найдем общую емкость С_3,4 (рис.1.6,а).

Из = + следует, что С_3,4 =С3·С4/(С3+С4) = 3 мкф.

Конден­саторы С2 и С_3,4 соединены параллельно, их общая емкость равна сумме: С_2-4 = С2 + С_3,4 = 5+3 = 8 мкФ (рис.1.6,б).

а)

б)

Рис.1.6. Преобразования смешанного соединения конденсаторов

Конден­саторы С1 и С_2-4 соединены последовательно, найдем общую емкость С_1-4 (рис.1.6,а).

С_1-4 =С1·С_2-4/(С1+ С_2-4) = 24·8/(24+8) = 6 мкф

Поскольку известно общее напряжение, приложенное к батарее, и общая емкость ее, то можно найти общий заряд, накопленный батареей

Q =U· С_1-4 = 1200 · 6 · 10-⁶=7,2 мКл (милликулон).

Этот заряд равен заряду С1, так как пер­вый конденсатор по отношению ко всей остальным конденсаторам включен последовательно, а при последовательном соединении кон­денсаторов заряды на них одинаковы и равны общему заряду всех последовательно соединенных конденсаторов.

Q₁= Q = 7,2 мКл.

Зная емкость С1, рассчитаем напряжение на первом конденсаторе:

Напряжение на С2 является одновременно напряжением на конденсаторе С_3,4. и равно разности общего на­пряжения и напряжения С1:

U₂ = U_3,4 = U - U₁ =1200 - 300 = 900 В.

Зная напряжение С2 и его емкость, найдем заряд второго конденсатора

Q₂ = U₂ ·C₂= 900 · 5 · 10-⁶=4,5 мКл.

Зная напряжение U_3,4 и их общую емкость С_3.4 найдем общий заряд С_3,4:

Q_3,4 = U_3,4 · С_3,4 = 900 · 3 · 10-⁶=2,7 мКл.

Заряд на третьем конденсаторе равен заряду четвертого кон­денсатора, и он равен заряду обоих конденсаторов, так как конден­саторы третий и четвертый соединены последовательно, т. е.

Q₃ = Q₄= Q_3,4=2,7 мКл.

Поскольку нам известны емкости С3 и С4 и заряды на них, то находим напряжение :

Заряды третьего и четвертого конденсаторов можно найти и как разность зарядов первого и второго конденсаторов:

Q₃ = Q₄ = Q₁ - Q₂ = 7,2 - 4,5 = 2,7 мКл.

4