ОЭТ / 4.1 Синусоидальный ток
.docПеременный ток
Переменным током называется ток, изменяющийся по величине и по направлению с течением времени.
Переменные токи могут быть различные по форме: прямоугольные, пилообразные, синусоидальные и т.п. (рис.1). Периодический ток — это переменный ток, изменения которого повторяются периодически через равные промежутки времени, называемые периодом (Т). Электротехника рассматривает процессы происходящие в электрических цепях под действием переменной синусоидальной ЭДС, а следовательно – переменные синусоидальные токи.
Рис.1. Периодические токи
Получение синусоидальной ЭДС
Рассмотрим проводник в виде рамки, равномерно вращающийся с угловой скоростью ω в магнитном поле против часовой стрелки (рис.2, а и б).
Рис.2, а |
|
В сторонах 1 и 2 рамки наводятся ЭДС, т.к. они пересекают магнитные линии, поэтому:
е = 2Вlv·sin α.
где l – длина стороны 1 (2).
Угол между направлением скорости и направлением магнитного поля изменяется пропорционально времени: α = ωt.
При равномерном вращении рамки линейная скорость проводника не изменяется: v=ωD/2.
Угол характеризует положение вращающейся рамки относительно плоскости, перпендикулярной направлению магнитной индукции. Поэтому ЭДС в рамке:
e = ВlDω·sinωt.
В момент начала отсчета α=0º и =0º, проводник движется вдоль линий магнитного поля и ЭДС равна нулю. При α= ωt = 90º ЭДС максимальна:
Еm = ВlDω= 2Вlv.
Тогда ЭДС: e = Еm·sinωt.
Если значение индуктированной ЭДС будет отложено по вертикальной оси, а угол поворота рамки (фазу) по горизонтальной оси, то построим график зависимости ЭДС от времени (рис.3).
Рис.3.
Рис.4 |
Если к рамке подключить нагрузку R, то под действием ЭДС через нее будет протекать ток (рис.4): i = e/R = Imsin = Imsinωt, где амплитудное значение тока Im = Еm/R. |
Величины, которые полностью характеризуют переменный ток, т.е. дают полное представление о нем, называются параметрами переменного тока.
Амплитудным значением (амплитудой) называется наибольшее значение переменного тока, которого он достигает в процессе изменений. Амплитудные значения силы тока, напряжения и ЭДС обозначаются соответственно Im, Um, Em.
Мгновенным значением называется значение переменного тока в любой момент времени. Мгновенные значения силы тока обозначаются буквой i, напряжения — буквой u, ЭДС — буквой е.
i = Im·sinωt; u = Um·sinωt; e = Em·sinωt.
Периодом T называется время, за которое происходит полное изменение переменного тока: Т = 1/f . Частотой f называется число периодов в 1 с: f=1/Т. Частота, равная одному периоду за 1 с, называется герцем.
Угловая частота ω (угловая скорость) характеризуется углом поворота ротора (α) генератора в единицу времени (t). Для двухполюсного генератора время одного оборота рамки равно Т и можно записать:
ω = 2π/Т; ω = 2πf; ω = 360/Т.
Если генератор имеет Р пар полюсов, то за один оборот произойдет Р периодов изменения ЭДС. Тогда
ω = 2π/рТ; ω = 2πрf; ω = 360/Т.
При f=50 Гц и частоте вращения ротора n=75 об/мин число пар полюсов
р = 60f/n = 60·50/75 = 40.
Если вращать в магнитном поле не одну, а несколько одинаковых рамок, жестко скрепленных между собою под некоторыми углами, то ЭДС, индуктируемые в рамках, будут отличаться друг от друга только тем, что они будут достигать одноименных значений не одновременно, а в различные моменты времени. В этом случае говорят, что синусоидальные величины не совпадают по фазе, между ними есть сдвиг фаз. Такие синусоидальные величины в начальный момент времени (t = 0) будут иметь разные значения.
Если синусоидальные величины имеют одинаковую частоту, но одноименных значений достигают в различные моменты времени, то они не совпадают по фазе, между ними есть сдвиг фаз (рис.5).
Рис.5
Уравнения синусоидальных величин, сдвинутых по фазе, имеют вид:
i1 = Imsin(ωt + Ψ1), i2 = Imsin(ωt - Ψ2).
Угол, определяющий значение синусоидальной величины в начальный момент времени (при t=0), называется начальной фазой.
В этих уравнениях углы φ1 и φ2 являются начальными фазами. Угол сдвига фаз φ равен разности начальных фаз (с учетом знака):
φ = Ψ1 + Ψ2.
Угол, определяющий значение синусоидальной величины в данный момент времени, называется фазой. Он отсчитывается от ближайшей предшествующей точки перехода ЭДС через нуль к положительному значению. Для первого тока фазой является угол (ωt + Ψ1), а для i2 угол (ωt + Ψ2).
Будем считать опережающим тот ток, максимум которого лежит левее, при условии φ π (т.е. ток i2 опережает по фазе i1).
Пример записи уравнений тока при Im = 5A:
i1 = 5 sin(ωt - 25º), i2 = 5 sin(ωt + 90º), φ = Ψ1 + Ψ2 = 115º.
Действующее значение переменного тока равно такому постоянному току, который за один период выделяет на данном резисторе одинаковое количество теплоты с переменным током. Найдем соотношение между действующим и амплитудным значениями переменного тока.
Количество теплоты, выделяемое переменным и постоянным током
Q = I2RT; Q = .
Приравняем эти выражения и получим: I2RT = .
Сократив на R и учтя, что i = Imsinωt, найдем выражение для действующего значения тока
.
После интегрирования получим выражение для действующего значения переменного тока (рис.6): I = Im/ = 0,707 Im. Тогда Im = I. |
Рис.6 |
Действующее значение переменного тока меньше его амплитуды в раза.
Средним значением переменного тока называется среднее арифметическое из всех мгновенных значений за полупериод. Для синусоидального тока
IC = 2Im/π.
Пример.
Переменный электрический ток задан уравнением i = 100 sin(628 - 60º). Это значит, что амплитудное значение Im = 100 А, угловая частота ω = 626 рад/с и начальная фаза Ψ=60º.
Период Т = 2π/ω = 2·3,14/628 = 0,01 с.
Частота f=1/Т = 1/0,01 = 100 Гц.
Действующее значение переменного тока I = 0,707Im = 0,707·100 = 70,7 А.
Среднее значение переменного тока IC = 2Im/π = 2·100/3,14 = 63,7 А.
Мгновенные значения тока найдем из уравнения i = Imsin(ωt - Ψ), подставив в него соответствующее время:
при t = 0 i0 = 100 sin(-60º) = -86,5 А;
при t1= 0,152 с i1 = 100sin[628·0,152·(360º/2π) - 60º] = 100sin[15,2·360º-60º] = 100 sin(72º - 60º) = 100 sin 12º = 20,8 А.
Синусоидальная величина через 360º повторяется, поэтому мгновенный ток при угле ωt1 = 15,2·360º = 5742º будет таким же, как и при угле 0,2·360º=72º.