ОЭТ / 4.5 Емкостное сопротивление

Цепь переменного тока с емкостью

Рис.1

В цепи отсутствуют активное сопротивление и индуктивность, а имеется только емкость С (рис.1). Если к цепи приложить напряжение u=Um·sinωt, то в цепи возникает ток поляризации, т.е. внешнее электрическое поле вызывает поляризацию диэлектрика. Ток поляризации ,

Скорость изменения заряда пропорциональна скорости изменения напряжения

.

Т.е. ток опережает напряжение по фазе на четверть периода. Физически это объясняется тем, что напряжение на емкости возникает за счет разделения зарядов на его обкладках за счет прохождения тока. Следовательно, напряжение появится только после возникновения тока.

При cosωt =1 ток будет максимальным, т. е. амплитуда тока I_m =U_mωС. Тогда значение тока в любой момент времени можно записать так:

i = I_mcosωt = I_msin(ωt+π/2),

Так как I_m = U_mωc, то разделив на , получим закон Ома для действующих значений

I

Рис.2

= UωC=

Величина X_С = называется емкостным сопротив­лением (Ом=В/А). Зависимость емкостного сопротивления от частоты показана на рис.2. Сопротивление уменьшается с увеличением частоты f.

Мгновенная мощность равна произве­дению мгновенного значения тока на мгновенное значение напря­жения, т. е.

р = I_msin(ωt+π/2) U_m·sinωt = U_m I_mcosωtsinωt =  sin2ωt.

Из уравнения мгновенной мощности видно, что в этой цепи мощность бывает положительной и отрицательной и изменяется с удвоенной частотой.

На рис.3 приведены графики тока, напряжения, мощности и изображена векторная диаграмма тока, напряжения емкостной цепи.

В первую четверть периода напряжение растет, конденсатор заряжается и энергия накапливается в электрическим поле конденсатора. В вторую четверть периода конденсатор разряжается, напряжение на нем уменьшается. Энергия возвращается в сеть (к источнику). Затем процесс повторяется, только полярность электрического поля конденсатора будет обратной.

Средняя площадь за период равна нулю, что означает, что в этой цепи нет расхода энергии, а есть только обмен энергией между источником и потребителем. Конденсатор не потребляет электроэнергию и активная мощность Р = 0.

Рис.3

Таким образом, мощность в цепи с емкостью колеблется между источником и электрическим полем конденсатора, загружая источник и провода. Количественной характеристикой интенсивности обмена энергией служит реактивная мощность, единица измерения которой Вар (вольт-ампер реактивный):

Q = UI = U²ωC.

Последовательное соединение активного сопротивления и емкости

При последовательном соединении активного сопротивления R и емкости С ток во всех участках цепи один и тот же и равен I ампер (рис.4 ).

Рис.4

Напряжение на активном сопротивлении равно произведению тока на активное сопротивление UR= IR и по фазе совпадает с током. Напряжение на емкости равно произведению тока на емкостное сопротивление UС= IХС и ток опережает напряжение по фазе на четверть периода. Общее напряжение U равно сумме напряжений.

Для действующих значений построим векторную диаграмму  треугольник напряжений (рис.5,а). Из нее следует, что при последовательном соединении активного сопротивления R и емкости С напряжение отстает от тока по фазе на угол φ, причем 0φ>π/2.

Из треугольника напряжений суммарное напряжение

U= =

Отношение действующего напряжения данной цепи к действующему току называется полным сопротивлением цепи Z, следовательно

Z = U/I = .

Если стороны треугольника напряжений разделить на ток I, то получим треугольник сопротивлений (рис.5 ,б). Из треугольника сопротивлений следует:

R = , X_С = , cos φ = R/Z, sin φ = X_С/Z, tg φ = X_С/R.

Если стороны треугольника напряжений умножить на ток I, то получим треугольник мощностей (рис.5 ,в).

Рис.5

Активная мощность характеризует расход энергии на активном сопротивлении

Р = U_R I = I²R = S cos φ = UI cos φ (Вт).

Реактивная мощность характеризует интенсивность обмена энергией между емкостью и источником

Q = U_С I = I²X_С = S sin φ (Вар).

Полная мощность цепи

S = UI = I²Z = (Вт).

Множитель cos φ называется коэффициентом мощности. Он характеризует степень использования энергии потребителем:

cos φ = Р/S.

Рис.6

Мгновенная мощность равна произве­дению мгновенного значения тока i=Imsinωt на мгновенное значение напря­жения u=Umsin(ωt-φ): р = ui = Umsin(ωt-φ) Im·sinωt = U Icosφ - U Icos(2ωt - φ). Мгновенное значение мощности колеблется около постоянного уровня P=U Icosφ.

На рис.6 показаны графики тока, напряжения и мощности. Отрицательная часть графика мощности определяет энергию, которая переходит от источника к емкости и обратно.

Пример 1.

Конденсатор емкостью 637 мкФ подключен к источнику переменного напряжения. Если действующее напряжение 100 В, то рассчитать емкостное сопротивление, ток и реактивную мощность.

f, Гц	5	50	100	500
XС, Ом	50	5	2,5	0,5
I, А	2	20	40	200
Q, ВАр	200	2 000	4 000	20 000

Пример 2. Последовательно включены конденсатор емкостью 637 мкФ и активное сопротивление R=10 Ом. Если действующее напряжение 100 В, то:

f, Гц	5	50	100	500
Xс, Ом	50	5	2,5	0,5
R, Ом	10	10	10	10
Z, Ом
I, А
Q, ВАр
Р, Вт
S, Вт
cos φ