Examples

в которой положительные коэффициенты a è c выражают скорость вос-

производства жертв и смертность охотников, а коэффициенты b è d ïðè

нелинейных слагаемых отражают эффективность взаимодействия охотников и жертв. В начальный период такого взаимодействия ещ¼ нет и система упрощается до линейной системы:

½ x0(t) = ax(t) y0(t) = ¡cy(t):

Определим е¼ общее решение.	0	¶;	µ e¡ct	¶ представля-
Легко видеть, что векторные функции µ
	eat		0

ют решения системы. Уже при t = 0 вронскиан этой системы равен

W (0) = 1 =6 0; поэтому эти решения линейно независимы и образуют

базис пространства решений. Заключаем, что общим решением является линейная комбинация этих решений с коэффициентами C1 è C2 âåê-

торная функция:	x(t) = C1eat
	½ y(t) = C2e¡ct:

Число будущих жертв раст¼т, а охотников убывает согласно экспоненциальному закону.

29

10 Ответы и указания к упражнениям.

Комплексные дроби, 1.

X3 + 1 = X ¡ X3 + 1 = X + 3 ÃX + 1

+ X

¡1

p3i + X

1

+ p3i!

;

X4

1

p

3

1

p

3

X

1

1

2

2

i

2 +

2

i

¡ 2

¡

¡ 2

X4 ¡ 1

= X + X4 ¡ 1

= X + 4

2

2

¶

:

µX ¡ 1 + X + 1

+ X ¡ i

+ X + i

X5

X

1

1

1

1

1

Вещественные дроби, 1.

X3

+ 1 = X + X¡3 + 1

= X + 3 µX + 1 ¡ X2 ¡ X + 1¶

;

X4

X

1

1

X + 1

X4

¡ 1 = X + X

4 ¡ 1

= 4 µX ¡ 1

+ X + 1 + 2X2 + 1¶

;

X5

X

1

1

1

X

X4 + X2

+ 1

= 2

µX¡2

X + 1 + X2

+ X + 1¶

:

1

1

X + 1

X + 1

¡

Электротехника, 2.

1. В верхней цепи сила тока 0; 4А, в нижней 1; 8А, а в средней цепи

2; 2À.

2. Эту задачу проще всего решить

åñëè

представить электрическую схему

в другом виде:

1 Îì

1 Îì

q

q

1 Îì

1 Îì

5Â

30

Тогда общее сопротивление верхней ветви цепи согласно следующим упражнениям равно 2,5 Ома. Т.о., в целом по цепи протекает ток в 2А. Отсюда легко видеть, что напряжения в узлах цепи равны 2В и 4В.

3.Это очевидно в силу первого правила Киркгофа и замечания о законе Ома.

4.Следует из правил Киркгофа и закона Ома. Рассмотрим следующую схему: R Îì

r Îì

Vâ

Обозначим общий ток протекающий по цепи, ток через верхнее и ток через нижнее сопротивление через J; I; i: Разумеется, по первому пра-

вилу Киркгофа I + i = J: Следует определить отношение VJ :

По второму правилу Киркгофа заключаем, что IR = ir: В силу закона

Îìà IR = ir = V: Поэтому V				+ V		= J: Тогда
			R		r
	V	=	V			=	1			=	rR
	J		VR + Vr					1	+ 1r		r + R:
								R

В целом причина такого поведения сопротивления в том, что при последовательном соединении напряжения на них складываются, а ток оста¼тся общим. А при параллельном соединении напряжение на них оста¼тся общим, поэтому токи распределяются обратно пропорционально величине сопротивления.

31

Метод комплексных амплитуд, 3.

1. IR¤ = 3; 333ei0A; IC¤ = 6; 2832ei¼2 A; I = 7; 1126ei0;48776A:

2. IR¤ = 3; 3333¢10¡2A; IL¤ = 1; 06103¢10¡2e¡i¼2 A; I = 3; 4981¢10¡2ei0;30817A:

3.При параллельном соединении конденсаторов напряжение на них оста¼тся общим. А токи на них пропорциональны их ¼мкостям в силу их импедансов. Общий ток получается суммированием. В силу комплексного закона Ома это приводит к сумме ¼мкостей.

4.При последовательном соединении конденсаторов на них имеется общий ток, а напряжение на каждом в силу закона Ома обратно пропорционально ¼мкости. Отсюда выводится утверждение.

5.Здесь происходит то же, что и для сопротивлений.

Матрицы в моделях экономики, 4.

В этих задачах для указанных в них допустимых приближениях при вычислении обратной матрицы достаточно ограничиться первым слагаемым в формуле геометрической прогрессии, (E ¡ A)¡1 ¼ E + A:

1. X ¼ (1; 7; 2; 6; 2; 5)T : 2. X ¼ (29; 27; 38)T :

Матрицы в криптографии, 5.

1.QEBOB FP X PMV LK QEB IFKB.

2.VICTORY.

Структура линейного преобразования, 6.

1. Будем представлять число животных каждого цвета вектором (G; R)T : Тогда изменения в их числе определяется линейным преобразованием

32

с матрицей	µ	3	3	¶		3
		2	1			1
		3	3		: Собственные числа 1;		; а собственные векторы
		1	2

(1; 1)T ; (1; ¡1)T : Формула для числа животных принимает вид:

2	µ 1 ¶	2		µ ¡1	¶µ3	¶
R + G	1	+	G ¡ R	1	1	n :

Поскольку G ¡ R = 81; то через четыре дня количество земноводных разного цвета уравняется.

2.Здесь представим число рыб вне и внутри загородки вектором (E; I)T :

µ2 1 ¶

Матрица линейного преобразования						1		1	: Собственные числа 1; 6;
						3		3			1
а векторы (1; 1)T ; (2; ¡3)T						2		2
			: Формула для количества особей принимает
âèä		µ	1 ¶			5		µ ¡3	¶µ6	¶
5											n :
	3E + 2I		1	+	E ¡ I			2	1

Наименьшее число получается 5 ¢ 64 ¼ 8000:

Экстремумы функций нескольких переменных, 7.

1.Точка локального минимума.

2.Седловая точка.

3. Для тр¼х переменных это неверно, например у функции f(x; y; z) = x2 ¡ y2 ¡ z2 гессиан положителен, а начало координат седловая точка.

Линейная независимость функций, 8.

1.Линейно зависимые по основному тригонометрическому тождеству.

2.W (0) = 2 6= 0; линейно независимые функции. Уравнение yIII ¡6yII +

11y0 ¡ 6y = 0:

33

Содержание

1	Неприводимые полиномы и дробно - рациональные вы-
	ражения.	2
2	Правило Крамера в электротехнике.	6
3	Комплексные числа в методе комплексных амплитуд.	9
4	Матрицы в математических моделях экономики. Модели
	Леонтьева.	14
5	Матрицы в криптографии.	17
6	Структура линейного преобразования и формула для чи-
	сел Фибоначчи.	19
7	Квадратичные формы и экстремумы вещественных функ-
	ций нескольких переменных.	21
8	Линейная независимость дифференцируемых функций и
	определитель Вронского.	24
9	Системы линейных дифференциальных уравнений.	27
10	Ответы и указания к упражнениям.	30

34