Механика

Из соотношения (2.6) с учетом (2.7) получаем для ускорения свободного падения формулу, в которую входят параметры, определяемые опытным путем:

			J
	2mo m
			R2				2 S
g
		m					t	2	.	(2.8)

Описание лабораторной установки. Лабораторная установка «Машина Атвуда» (рис. 2.2) представляет собой укрепленную на основании 1 вертикальную стойку 2 с двумя кронштейнами. Стойка снабжена визиром 8 и миллиметровой шкалой. На верхнем кронштейне 3 размещается легкий шкив 4, через который перекинута нить с грузами, и электромагнитный тормоз для фиксации начального положения грузов. На нижнем кронштейне 5 установлен фотодатчик 6. Нижний кронштейн можно перемещать вдоль стойки и закреплять винтом 7. Установка подключена к электронному блоку.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

1.Включить установку клавишей «СЕТЬ» электронного блока (клавиша находится на задней панели прибора). При этом происходит включение электромагнита тормоза и загорается табло индикации.

2.Перекинуть через шкив нить с подвешенными к её концам основными грузами (груз представляет собой круглую шайбу, соединённую со стержнем

сотверстием).

3.Установить кронштейн 5 с фотодатчиком в нижней части вертикальной стойки так, чтобы плоскость кронштейна, окрашенная в красный цвет, совпала

11

с одной из рисок шкалы, а правый груз при движении вниз проходил по центру рабочего окна фотодатчика.

4.Поднять правый груз в крайнее верхнее положение и установить верхнюю кромку визира 8 на одном уровне с нижней плоскостью основного груза.

Визир установить так, чтобы он не мешал движению груза. Записать в табл. 2.1 расстояние S , которое пройдут грузы ( S разность отсчетов по шкале от риски корпуса фотодатчика до визира).

5.Поместить на левый и правый основные грузы дополнительные разнове-

сы с таким расчетом, чтобы суммарная масса левого груза была равна mo , а правого – ( mo m ). Значения mo и m указаны в табл. 2.1. Масса разновесов

вграммах указана на их поверхностях, масса каждого основного груза равна 50 г.

6.Дождаться прекращения колебаний грузов, убедиться в совпадении визира 8 с нижней плоскостью правого груза и нажать «СТАРТ». При этом размыкается сеть питания электромагнита тормоза и включается таймер электронного блока. Секундомер остановится, когда правый груз пересечет оптическую ось фотодатчика. Показания таймера t занести в табл. 2.1.

7.Поднять правый груз в крайнее верхнее положение. Провести измерения времени движения грузов в соответствии с п. 6 еще четыре раза.

8.При том же значении S повторить действия пп. 5–7 для других сочета-

ний масс mo и ( mo m ), указанных в табл. 2.1.

9. Нажатием клавиши «СЕТЬ» выключить установку.

Таблица 2.1

№	S	mo	m	t	t	g		g
п/п										g
	м	г	г	с	с	м/с2	м/с2			м/с2	%
1		90	20

2

90

30

3

110

20

4

110

30

5

120

20

12

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

1.Вычислить среднее значение < t > отдельно для каждого сочетания масс mo и m.

2.По формуле (2.8) вычислить ускорение свободного падения g для каж-

дого сочетания масс, используя < t > и приняв константу установки равной

RJ2 13 г.

3.Рассчитать среднее значение g .

4.Рассчитать абсолютную g и относительную погрешности определе-

ния ускорения свободного падения, применяя методику расчета погрешностей при косвенных невоспроизводимых измерениях (см. приложение 1).

5.Записать окончательный результат для ускорения свободного падения в стандартном виде (см. приложение 1).

6.Заполнить табл. 2.1.

7.Сделать выводы по результатам работы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какова цель лабораторной работы?

2.Какое движение называется равноускоренным? Напишите кинематические формулы, описывающие равноускоренное прямолинейное движение тел.

3.Какова связь между кинематическими характеристиками поступательного и вращательного движения?

4.Сформулируйте второй закон Ньютона и основной закон динамики вращательного движения.

5.Что представляет собой машина Атвуда?

6.Какие силы действуют на грузы, прикрепленные к концам нити, во время движения? Напишите уравнения движения этих грузов.

7.Моменты каких сил действуют на шкив машины Атвуда? Напишите уравнение движения шкива.

8.Укажите физические допущения, используемые при теоретическом анализе движения грузов и шкива в машине Атвуда.

9.В какую сторону изменится значение определяемой в лабораторной работе величины ускорения свободного падения, если пренебречь моментом инерции шкива?

10.Каковы причины возможного несовпадения экспериментального и табличного значений ускорения свободного падения?

11.Каков порядок выполнения лабораторной работы? Как проводится обработка результатов измерений?

Литература: [6] − § 1, 2, 3, 4, 6, 7, 16, 18; [2] − разделы 1.1, 1.2, 1.3, 2.2, 2.4, 4.1, 4.2, 4.3.

13

Лабораторная работа 1-3

ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Цель работы: проверка основного закона динамики вращательного движения твердого тела с помощью маятника Обербека.

Приборы и принадлежности: лабораторная установка «Маятник Обербека», электронный блок, разновесы.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Вращение твердого тела постоянной массы вокруг неподвижной оси подчиняется основному закону динамики вращательного движения

			M	,	(3.1)
			J
		где – угловое ускорение тела;			M про-
		екция на ось вращения результирующего
		момента всех внешних сил, действующих
		на тело; J момент инерции тела относи-
		тельно той же оси.
		Экспериментальную проверку закона
		(3.1) можно провести на приборе, называе-
		мом маятником Обербека, схематически
		изображенном на рис. 3.1 (общий вид уста-
		новки представлен на рис. 3.2).
		Маятник представляет собой крестови-
		ну, состоящую из четырёх одинаковых
		стержней и шкива. На стержнях крепятся
		грузы (цилиндры) одинаковой массы. Эта
	Рис. 3.1	система тел может вращаться относительно
		горизонтальной оси симметрии			Z , совпа-

дающей с осью шкива, под действием силы натяжения намотанной на шкив нити, к свободному концу которой подвешен груз m .

Данный прибор позволяет менять как момент инерции вращающегося тела, так и приложенный к нему вращающий момент. Момент инерции маятника можно менять, передвигая цилиндры вдоль стержней или снимая их. Момент силы можно менять, изменяя массу подвешенного груза.

14

Таким образом, маятник Обербека даёт возможность разделить экспериментальную проверку закона, отражённого уравнением (3.1), на две стадии:

1) оставляя неизменным момент инерции маятника ( J const ), проверить прямую пропорциональную зависимость между угловым ускорением и моментом приложенных сил, т. е.

~ M ;

(3.2)

2) обеспечив неизменность момента сил ( M const ), проверить обратную пропорциональную зависимость между угловым ускорением и моментом инерции J , т. е.

~ 1	J	.	(3.3)
Выведем формулы, дающие возможность экспериментально определить
физические величины, входящие в (3.1).
Маятник вращается под действием силы натяжения нити Fн (рис. 3.1). Си-

лы трения можно считать малыми и не учитывать создаваемый ими тормозя-

щий момент. Момент силы Fн относительно оси Z равен
	(3.4)
M Fн r ,

где r – радиус шкива, на который наматывается нить. По третьему закону Нью-

тона Fн Fн , где Fн модуль силы натяжения нити, действующей на груз m .
	Силу Fн можно найти, рассмотрев движение груза m .
	Указанный груз движется с ускорением a под действием силы тяжести
mg	и силы натяжения нити Fн . По второму закону Ньютона уравнение дви-

жения груза в проекциях на ось x имеет вид: ma mg Fн , откуда

Fн = m g a .

Подстановка полученного выражения в (3.4) при учете равенства Fн Fн
даёт
M m g a r .			(3.5)
Ускорение a можно определить, зная время t , в течение которого груз m
из состояния покоя опустится на расстояние h :
a	2h	.	(3.6)
	t2

15

Подставляя (3.6) в (3.5) и учитывая, что r d2 ( d диаметр шкива), получаем

		m d		2h
	M		g		.	(3.7)
	2			t2

Угловое ускорение маятника	связано с тангенциальным ускорением a
точек на ободе шкива соотношением
a r .				(3.8)
Если нет проскальзывания нити, то a			a и из (3.6) и (3.8) следует
	4h	.		(3.9)
	d t2

Формулы (3.7) и (3.9) позволяют по экспериментальным данным определить момент силы натяжения и угловое ускорение маятника.

Таким образом, для проверки зависимости (3.2) достаточно определить угловое ускорение при различных значениях момента силы M и построить график f M . Если график будет близок к прямой линии,

зависимость (3.2) справедлива.

Для проверки зависимости (3.3) необходимо, сохраняя величину вращающего момента М, измерять угловое ускорение маятника при различных значениях его момента инерции J.

Момент инерции маятника Обербека J относительно оси вращения складывается из момента инерции крестовины со шкивом Jo и момента инерции

цилиндров, закреплённых на стержнях. В случае, когда центры массы цилиндров находятся на одинаковом расстоянии R от оси вращения (см. рис. 3.1), а их линейные размеры существенно меньше этого расстояния,

J J	o	m	R2 ,	(3.10)
		ц

где mц суммарная масса грузов. Следовательно, меняя расстояние R , можно менять момент инерции маятника Обербека.

Примечание. Изменение момента инерции маятника при постоянной массе груза m , строго говоря, приводит к изменению момента силы M (см. (3.5)−(3.7)). Однако в условиях опыта, рекомендуемых данным руководством, указанные изменения M не превышают погрешностей измерений и его величину можно считать постоянной.

16

Таким образом, для экспериментальной проверки зависимости (3.3) достаточно определить величину углового ускорения при постоянной массе груза на нити m и различных значениях момента инерции маятника J (различных значениях R ) и построить график зависимости f 1 J . Ес-

ли график будет близок к прямой линии, зависимость (3.3) справедлива.

Рис. 3.2

Описание лабораторной установки. Лабораторная установка «Маятник Обербека» (рис. 3.2) представляет собой укрепленную на основании 1 вертикальную стойку 2 с тремя кронштейнами. Стойка снабжена визиром 3 и миллиметровой шкалой. На верхнем кронштейне 4 размещается легкий шкив 5, через который перекинута нить 6 с грузом 7. На кронштейне 8 размещены: узел, на оси которого закреплен двухступенчатый шкив 9, и крестовина, представляющая собой четыре укреплённых в бобышке 11 стержня 10, на которых на расстоянии 1 см друг от друга нанесены риски. Цилиндры 12 могут свободно перемещаться и фиксироваться на каждом стержне. Кроме того, на кронштейне находится электромагнитный тормоз, позволяющий фиксировать положение крестовины. На нижнем кронштейне 13 установлен фотодатчик 14. Нижний кронштейн можно перемещать вдоль стойки и закреплять винтом 15. Установка подключена к электронному блоку.

17

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Внимание! Во избежание выхода из строя установки действия с ней производить строго в соответствии с последующим описанием.

I.Проверка линейной зависимости от M при J const

1.Снять цилиндры 12 со стержней 10 крестовины, ослабляя удерживающие цилиндры винты (рис. 3.2).

2.Закрепить свободный конец нити в прорези одного из шкивов 9 (по указанию преподавателя), перекинуть нить через вспомогательный шкив 5 и к другому концу нити подвесить основной груз (круглую шайбу, соединённую со стержнем с отверстием). Масса основного груза 50 г.

3.Придерживая нить и аккуратно вращая крестовину против часовой стрелки, накрутить часть нити на шкив так, чтобы нить натянулась под действием груза.

4.Включить установку клавишей «СЕТЬ» электронного блока (клавиша находится на задней панели прибора). При этом происходит включение электромагнита тормоза и загорается табло индикации.

5.Проверить установку кронштейна 13 с фотодатчиком. Плоскость кронштейна, окрашенная в красный цвет, должна совпадать с одной из рисок шкалы, а груз при движении вниз должен проходить по центру рабочего окна фотодатчика.

6.Нажав и удерживая кнопку «СТОП» (кнопка находится на передней панели электронного блока), аккуратно вращая крестовину, накрутить нить на шкив так, чтобы груз поднялся в крайнее верхнее положение. Отпустить кнопку «СТОП». Установить верхнюю кромку визира 3 на одном уровне с нижней плоскостью основного груза. Визир установить так, чтобы он не мешал движению груза. Записать в табл. 3.1 диаметр используемого шкива d (диаметр

меньшего шкива d 4,00 см , большего − d 7,00 см ) и расстояние h , которое пройдет груз ( h разность отсчетов по шкале от риски корпуса фотодатчи-

ка до визира). Не менять h при проведении всей серии экспериментов.

7. Нажать кнопку «СТАРТ» (кнопка находится на передней панели электронного блока). При этом размыкается сеть питания электромагнита тормоза и включается таймер электронного блока. Секундомер остановится, когда груз пересечет оптическую ось фотодатчика. Показания таймера t занести

втабл. 3.1.

8.Измерения времени движения груза повторить ещё два раза, результаты записать в табл. 3.1.

18

9. Повторить действия пп. 6–8 для других масс грузов, указанных в табл. 3.1, добавляя к основному грузу разновесы. Масса разновесов в граммах указана на их поверхностях.

10.Для каждой массы m вычислить t и занести результат в табл. 3.1.

11.По формуле (3.7) для каждого m рассчитать значение момента силы M ,

используя t . Ускорение свободного падения принять равным g 9,81 мс2 .

Результаты вычислений занести в табл. 3.1.

12. По формуле (3.9) для каждого m рассчитать значение углового ускорения , используя t . Результаты вычислений занести в табл. 3.1.

13. По полученным данным на миллиметровой бумаге размером не менее тетрадного листа построить график f M : по оси абсцисс откладывать M ,

оси ординат − и с помощью линейки провести прямую линию так, чтобы экспериментальные точки распределились равномерно по обе стороны от прямой.

Примечание. Рекомендации по построению графиков приведены в [1] в разделе 2.2.

14. По котангенсу угла наклона прямой по отношению к оси абсцисс определить экспериментальное значение момента инерции крестовины маятника:

		J	o	M			кг м2 ,				(3.11)
где M и − соответствующие друг другу приращения M и , найденные
по графику.
15. Нажатием клавиши «СЕТЬ» выключить установку.
											Таблица 3.1
№ п/п	d	h		m			t		t			M
	м	м		кг			с		с	рад/с		Н·м
1
				0,0 50
2
3
1
				0,0 60
2
3
1
				0,0 70
2
3
1
				0,080
2
3
					19

II. Проверка линейной зависимости от 1J

при M const

ДЕЛАТЬ ПО УКАЗАНИЮ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ!

1.Записать в табл. 3.2 значение Jo .

2.Нажатием клавиши «СЕТЬ» включить установку.

3.Оставить на нити основной груз.

4.По указанию преподавателя установить и надёжно закрепить винтами на одинаковом расстоянии R 8 см от оси вращения по одному цилиндру на два

диаметрально противоположных стержня или по одному цилиндру на каждый из четырёх стержней крестовины. При этом учесть, что ближайшая к оси риска на стержне отстоит от оси вращения на расстоянии 2,0 см . Суммарную массу

mц установленных цилиндров внести в табл. 3.2 (масса каждого цилиндра

свинтом равна 114 г ).

5.Провести измерения времени движения груза в соответствии с пп. 6−8 части I. Показания таймера записывать в табл. 3.2.

6.Повторить действия пп. 6–8 части I для других указанных в табл. 3.2 расстояний R.

7.Нажатием клавиши «СЕТЬ» выключить установку.

8.Для каждого R вычислить t и занести результат в табл. 3.2.

9.Для каждого R по формуле (3.9), используя t , вычислить угловое ус-

корение . Величины d и h взять из табл. 3.1. Результаты занести в табл. 3.2.

10.По формуле (3.10) для каждого R , используя данные табл. 3.2, рассчитать значение момента инерции J . Результаты вычислений занести в табл. 3.2.

11.Вычислить значения обратной моменту инерции величины 1 J . Ре-

зультаты занести в табл. 3.2.

12. По полученным данным на миллиметровой бумаге размером не менее тетрадного листа построить график зависимости f 1 J : по оси абсцисс откладывать 1 J , оси ординат − и с помощью линейки провести прямую линию

так, чтобы экспериментальные точки распределились равномерно по обе стороны от прямой.

13. По наклону прямой определить значение момента силы:

	M эксп				,	(3.12)
		1	J
где и 1	J − соответствующие друг другу приращения					и 1 J , найден-
ные по графику.

20