Method-Def_Int

2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x²-2x, y=x.

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией в полярной системе ко-

ординат r=3sin2 .

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией

x 5(t sin t)

, 0 t .

y 5(1 cos t)

5.Вычислить длину дуги кривой y arcsin e x , 0 x 1.

6.Вычислить длину дуги кривой r=2e3/4 , 0 /3.

			/ 2
							6 .
				1 cos2 хdx
7. Доказать, что
	4		/ 4				8

8. Найти объем тела вращения, если вокруг оси OY вращается фигура, ограни-

ченная линиями y=(x-1)2, y=1.

9. Определить силу давления воды на вертикальную стенку, имеющую форму трапеции, нижнее основание которой a=10 м, верхнее b=6 м и высота h=5 м, ес-

ли уровень погружения нижнего основания s=20 м.

										Вариант 24
	2				xdx			4			1		xdx
	1.						, x3e 2 xdx,	x2	16 x2 dx,							.
				3 7 x2								3	2 x
		3				0		0	0

2.Найти площадь фигуры между линией y=xe-x²/2 и ее асимптотой. 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией r=a(1+sin ).

			x 3(t - sin t)
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями				,	y=3
			y 3(1- cos t)
(y 3).
5. Вычислить длину дуги линии y=0,5x2, отсеченной прямой y=2.
			x 5(t - sin t)
6.Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнениями					.
			y 5(1- cos t)
1
	3 4 3x2 dx , не вычисляя его.
7.Оценить интеграл
0

41

8.Вычислить объем тела вращения, образованного вращением фигуры, образо-

ванной кривыми y=x2 и y2=x около оси OX.

9.Какую работу надо затратить, чтобы тело массой m поднять с поверхности земли на высоту h ? Чему равна эта работа, если тело должно быть удалено в бесконечность?

Вариант 25

1	1		1					2
		dx			x 1dx					dx
1. x2ex3 dx,			,				,					.
		(11 5x)2			x 5
0	2		0					1		x2 1

2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y x2 2x и y x.

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией в полярной систем коор-

динат r=4+cos2φ.

	2 cos t
x
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями				,
y 2		2 sin t

y 2,( y 2) .

5. Вычислить длину дуги кривой y2=4/9(2-x)3 , отсеченной прямой x= -1.

				x 3 2cos t cos 2t
6.
	Вычислить длину дуги параметрической кривой y 3 2sin t sin 2t .
	1
		3 5 4x2 dx , не вычисляя его.
7.	Оценить интеграл
	0
8.	Вычислить объем тела, образованного при вращении вокруг оси OY фигуры,

2

ограниченной дугой кривой x 3 y , линиями x=0, x=3 и y=0.

9. Вычислить кинетическую энергию диска массы M и радиуса R, вращающего-

ся с угловой скоростью ω около оси, проходящей через его центр, перпендику-

лярно к его плоскости.

				Вариант 26
/ 2	sin 2x		2	x	2	dx		1	x	2	dx
1.		dx, x2e x3 dx,					,						.
	1 cos2 x			1 x3					(x 1)(x2
0		0	0					0				1)

2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2=4+x, x+3y=0.

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией r=cos2 .

42

x 8	t sin t
	1 cos t ,
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y 8

y12, y 12 , 0 x 16 .

5.Вычислить длину дуги параболы y=x2/2-1, отсеченной осью OX.

x 8(cos t t sin t)

, 0 t

6.

Вычислить длину дуги кривой

.

y 8(sin t t cos t)

4

/ 2

cos x

7.

Оценить интеграл

dx , не вычисляя его.

/ 4

x

8.

Найти объем тела, образующегося при вращении вокруг оси OY фигуры, ог-

раниченной линиями: y = x 4 , y = 0, y = 2, x = 2..

9.

Какую работу надо затратить, чтобы остановить железный шар радиуса R,

вращающийся с угловой скоростью ω вокруг своего диаметра?

Вариант 27

1

x

3

dx

xe2 x2 dx ,

1.

x cos

dx ,

xe xdx ,

.

0

0

3

0

1 (1 x2 )3/ 2

2.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = (x – 2)3, y = 4x – 8.

3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями r = sin ,

r = 2sin .

x 6 cos t

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,

y 2sin t

	y		3 ( y 3) .
	5.	Найти длину дуги кривой y ln 1 x2 от точки x											1	до	x		1	.
													2				2
								x 3	t sin t
											t 2 .
	6.	Вычислить длину дуги кривой y 3 1 cos t								,
			5			dx
	7.	Оценить интеграл						, не вычисляя его.
					1 x3
			2

8. Вычислить объем тела вращения, образованного вращением фигуры, ограни-

ченной линями y=2x–x2, y=2-х, x=0 вокруг оси ОХ.

43

9. Пружина имеет длину 20 см. Сила в 10 кГ растягивает ее на 2 см. Определить

работу, затраченную на растяжение пружины от 25 до 35 см.

Вариант 28

6

dx

/ 4

x sin x

1

e

x

dx

1.

3 x

dx,

,

dx,

1

1 x2

(x

1)

0

cos3 x

0

ex

e x

2.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

y arccos x,

x 0,

y 0.

3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой r cos sin .

x 6

t sin t

4.

1 cos t ,

Определить площадь фигуры, ограниченной линиями y 6

y 9, ( y 9), 0 x 12.

5.	Найти длину дуги кривой y ln cos x, 0 x									.
										4
					x 4			t sin t					2
											t
6.	Определить длину дуги кривой y 4							1 cos t	,	2				.
													3
	1.5			dx
7.	Оценить интеграл						, не вычисляя его.
	0 3 27				x3

8.Определить объем тела вращения фигуры, ограниченной линиями x2 + y2 = 4, y = 1 около оси ОY.

9.Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Найти силу давле-

ния воды (плотность воды 1000 Кг/м3), наполняющей аквариум, на одну из 4 –х

его вертикальных стенок, размеры которой 0,4м х 0,7м.

														Вариант 29
1	xdx		8	dx				2		x	2	1
1.		,					,						dx,	x2e x / 2dx .
0	1 x4		2		x			1		x4				0

2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=sinx, y=cosx, x=0.

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией r=5(1-sin ).

44

					3	t
				x a cos
4.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией						.
				y a sin3 t
5.	Вычислить длину дуги кривой y ln sin x от x= /3 до x= /2.
			x 9	t sin t
6.				1 cos t .
	Вычислить длину одной арки циклоиды y 9
	18	x 1
7.	Доказать, что 9		dx 9,5, не вычисляя интеграла.
		x 2
	8

8. Найдите объем тела, образованного вращением параболы y2=4ax вокруг оси

OX от ее вершины до точки x=3a.

9. Материальная точка движется со скоростью (t) arctg t м/с. Вычислить путь, пройденный за 20 секунд с момента начала движения.

Вариант 30

3

9

/ 6

2

x

sin

x

xe x2 dx.

x2 1dx,

1. x

dx,

dx,

x 1

1

4

0

cos x

2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=(1/4)x2, y=3x-x2/2.

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией r=cos - sin .

x 8	t sin t
	1 cos t ,
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y 8

y=12, (y 12), 0<x<16 .

5.Вычислить длину дуги кривой

6.Вычислить длину дуги кривой

y ln 7 ln x, 3 x 8.

	3	t
x 3cos			, /6 t /4.
y 3sin3 t

1

7. Оценить интеграл 1 2x3 dx , не вычисляя его

0

8. Найти объем тела вращения, если вокруг оси OY вращается фигура, ограни-

ченная линиями y=(x-1)2, y=1.

45

7. Какую работу затрачивает подъемный кран при извлечении железобетонной надолбы со дна реки глубиной в 5 м, если надолба имеет форму правильного тетраэдра с ребром в 1 м, а удельный вес железобетона 2500 кг/м3.

									Вариант 31
2	1		4	2 3					2			dx
		1/ x				3
1.		e	dx, x		x		8dx,		x ln(x 1)dx,				.
1 x2			2						1	1	x2	2x 2

2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=16/x2, y=17-x2, (x 0, y 0).

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой r=1/2+sin .

											x 10	t sin t
4.												1 cos t ,
	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y 10
y=15, (y 15), 0 x 20 .
5.	Вычислить длину дуги кривой y=ln(x2-1), 2 x 3.
								x 3	t sin t
											t 2 .
6.	Вычислить длину дуги кривой y 3 1 cos t									,
	2			2	xdx		1
7.	Доказать, что			1				.
		5			x2 1		2

8. Вычислить объем тела вращения, образованного вращением фигуры, ограни-

ченной линиями y=-x2+5x-6, y=0 вокруг оси OX.

9. Водопроводная труба имеет диаметр 6 см., один конец ее соединен с баком, в

котором уровень воды на 100 см выше верхнего края трубы, а другой закрыт заслонкой. Найти силу давления на заслонку.

Вариант 32

											2
13			4				2
										2
		dx			x			dx						xdx
1.			,				dx,		,							.
				1 x				x 1 2
4	4 x 3 0						0			0			1 x2 3

46

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x=y2+2y, x=(y+2)2, x=-y,

(-1 x 1).

3.Вычислить общую часть фигуры, образованную линиями r2=4cos2 , r 2 .

			x	9 cos t	, y=2, (y 2).
4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями				4 sin t
			y
5.Вычислить длину дуги кривой y=5+arcsinx - 1 x2 , 0 x 1.
x 3,5	2 cos t cos 2t
				0 t / 2.
6.Вычислить длину дуги кривой y 3,5	2sin t sin 2t ,

xdx

7.Оценить интеграл, не вычисляя его 0 x 2 .

8.Вычислить объем тела вращения, образованного вращением фигуры, ограни-

ченной линиями y=x2+1, y=x, x=0, x=1 вокруг оси OY.

9.Цилиндр диаметром 50 см. длиной 200 см. заполнен паром под давлением 20

кг/см2. Какую работу надо затратить, чтобы уменьшить объем пара в 4 раза,

считая, что температура пара остается постоянной?

*Несобственный интеграл и его вычисление

Если подынтегральная функция терпит разрыв во внутренней или гра-

ничной точке отрезка интегрирования [a;b], или же сам интервал интегрирова-

ния является бесконечным, то мы имеем дело уже не с определенным, а с не-

собственным интегралом. В этом случае значение интеграла определяется с помощью понятия предела.

	b	dx	, b a .
	Пример 1. Вычислить интеграл a
		x a p

47

Решение:

1

b

lim

, при p 1

1 x a p 1

a

0 p

b

b

1 p

dx

dx

x a

b

lim

lim

1 p

a

, при p 1

a

x a p

0 a x a p

0

0

x a

b

, при p 1

lim ln

a

0

1

1

, при p 1

lim

p

1

p 1

p 1 b

a

p 1

0

1 p

1 p

b a

lim

, при p 1

1 p

1

p

0

b a

lim

, при p 1

ln

ln

0

( расходится) при p 1

b a 1 p

.

1 p

(сходится) при p 1

Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл

xe x2 dx.

xe x2 dx lim

0

B

Решение:

xe x2 dx lim

xe x2 dx

A A

B

0

1

0

1

B

1

0

lim

e x

2 d ( x2 )

lim

e x2 d ( x

2 )

lim

e x2

2 A

A

2 B

0

2 A

A

1

1

1

1

1

lim e x2

B

lim

e A2

lim e B2

0.

2 B

0

2 2 A

2 2 B

Таким образом, указанный интеграл сходится и равен нулю.

48

Содержание

ВВЕДЕНИЕ	3
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ	3
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ	4
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ	5
Площадь криволинейной трапеции	5
Площадь фигуры, ограниченной двумя различными кривыми	8
Площадь в полярной системе координат	12
Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными
в параметрическом виде	15
Длина дуги кривой в декартовой системе координат	18
Длина дуги кривой, заданной в параметрическом виде	19
Длина дуги кривой в полярной системе координат	21
Среднее интегральное значение функции	21
Оценка интеграла	22
Объем тела вращения	22
Приложения определенного интеграла в физике	23
ВАРИАНТЫ ТИПОВОГО РАСЧЕТА	24
*Несобственный интеграл и его вычисление	47

49

Анатолий Николаевич Филиппов

Тамара Сергеевна Филиппова

Кафедра

“Высшая математика”

Считка авторская

50