МехТепЗадачиФинал2013

			20
		Ek1 = mv 2 .						(1)
Аналогично, найдем кинетическую энергию диска
Ek 2	=	mv 2	+	I 2 ω2	=	3 mv 2	,	(2)
	2		2			4

где I2 = mR2 2 – момент инерции диска.

Сравнивая (1) и (2), найдем кинетическую энергию диска

Ek 2 = 34 Ek1 = 30 Дж.

16. Найти скорость v течения углекислого газа по трубе, если известно, что за время t = 30 мин через поперечное сечение трубы протекает масса газа m = 0,51 кг. Плотность газа ρ = 7,5 кг/м3, диаметр трубы D = 2 см.

Решение. За время t через поперечное сечение трубы проходит объем газа цилиндрической формы длиной l, равный

V = πR2l = π D2 l . 4

С другой стороны

V = mρ.

Отсюда найдем длину столба газа

l = π4Dm2ρ .

Учитывая, что l = vt , определим скорость течения углекислого газа

	v = l	=	4m	= 0,12 м/с.
			πD2ρt
	t

17. Шарик всплывает с постоянной скоростью v в жидкости, плотность которой ρ1 в n = 4 раза больше плотности ρ2 материала шарика. Во сколько раз сила трения Fтр, действующая на всплывающий шарик, больше его веса mg?

Решение. На шарик в жидкости действуют: сила трения, сила тяжести и сила Архимеда (рис. 1.12), которые при равномерном движении шарика скомпенсированы

FA − mg − Fтр = 0 ,				(1)	FA
где FA =ρ1Vg - сила Архимеда, m - масса шарика. Из выражения
m =ρ2V , найдем объем и определим силу Архимеда
F = 4ρ		m	g = 4mg .		mg
					Fтр
A	2 ρ2
Из уравнения (1) определим силу трения					Рис. 1.12

Fтр = 4mg − mg =3mg ,

а затем найдем отношение сил

vmax

21

Fmgтр =3 .

18. Материальная точка массой m = 50 г совершает гармонические колебания. Амплитуда колебаний А = 5 см, период Т = 4 с. Записать уравнение колебаний точки, приняв за начальное положение x0 = A . Найти максимальную

скорость vmax колеблющейся точки, максимальное ускорение amax и полную

механическую энергию точки. Определить координату, скорость и ускорение точки время t =T8.

Решение. Движение точки с соответствующими начальными условиями описывается гармоническим законом в виде

	x = Acosωt = Acos	2πt	,	(1)
		T

где ω= 2πT =1,57 с-1 - циклическая частота.

Скорость точки равна производной от координаты по времени

v = dx	= −Aω sin ωt .	(2)
dt

Скорость, как и координата, изменяется по гармоническому закону. Максимальное значение скорости наблюдается при sin ωt =1 и равно

= Aω= 7,85см/с.

Ускорение точки равно производной от скорости по времени a = dvdt = −Aω2 cosωt .

Ускорение изменяется по такому же закону, как и координата. Максимальное значение ускорения найдем по формуле

amax Aω2 =12,3 см/с2.

При колебаниях точки сохраняется полная механическая энергия Е, равная сумме кинетической Ek и потенциальной Ep энергий: E = Ek + Ep . Когда по-

тенциальная энергия равна нулю, кинетическая энергия максимальная и равна полной энергии

				mv2
	E = E	kmax	=	max	=1,54 Дж.
				2
Значения координаты, скорости и ускорения в момент времени										t =T 8
найдем по формулам
π			π			2		π		2
x = Acos 4	=3,54 см, v = −Aω sin		4 = -5,55 см/с, a = −Aω				cos	4	= -8,72 см/с .

1.3. Задачи для работы в аудитории

1. Лодка движется перпендикулярно берегу со скоростью v = 7,2 км/ч. Течение относит ее на s = 150 м вниз по реке. Найти скорость u течения реки и время t, затраченное на переезд через реку. Ширина реки l = 0,5 км.

Ответ: u = 0,60 м/с; t = 250 с.

22

2. Зависимость координаты х тела от времени t дается уравнением x = At − Bt2 + Ct3 , где А = 2 м/с, В = 3 м/с2, С = 4 м/с3. Найти; а) зависимость скорости v и ускорения a от времени t; б) расстояние s, пройденное телом, скорость v и ускорение a тела через t = 2 с после начала движения. Построить гра-

фик пути, скорости и ускорения для 0 ≤ t ≤ 3 с через 0,5 с.

Ответ: а) v = (2–6t+ 12t2) м/с; a = (–6+24t) м/с2; б) s = 24 м, v = 38 м/с, a = 42 м/с2.

3. С башни высотой h = 25 м горизонтально брошен камень со скоростью v0 = 15 м/с. Найти сколько времени t камень будет в движении; на каком расстоянии l от основания башни он упадет на землю; с какой скоростью v он упадет на землю; какой угол φ составит траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю. Сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ: t = 2,3 с; l = 34 м; v = 27 м/с; φ = 56°.

4. Тело брошено со скоростью v0 = 14,7 м/с под углом α = 30° к горизонту. Найти нормальное an и тангенциальное aτ ускорения тела через t = 1,25 с

после начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ: an = 9,2 м/с2; aτ = 3,5 м/с2.

5. Ось с двумя дисками, расположенными на расстоянии l = 0,5 м друг от друга, вращается с частотой n = 1600 об/мин. Пуля, летящая вдоль оси, пробивает оба диска. При этом отверстие от пули во втором диске смещено относительно отверстия в первом диске на угол φ = 12°. Найти скорость v пули.

Ответ: v = 400 м/с.

6. Точка движется по окружности радиусом R = 10 см с постоянным тангенциальным ускорением aτ . Найти нормальное ускорение an точки через вре-

мя t = 20 с после начала движения, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки v = 10 м/с.

Ответ: an = 0,01 м/с2.

7. Масса лифта с пассажирами m = 800 кг. C каким ускорением a и в каком направлении движется лифт, если известно, что натяжение троса, поддер-

живающего лифт: а) T = 12 кН; б) T = 6 кН?

Ответ: а) а = 4,9 м/с2 (вверх); б) а = 2,45 м/с2 (вниз).

8. Трамвай, трогаясь с места, движется с постоянным ускорением а = 0,5 м/с2. Через t = 12 с после начала движения мотор трамвая выключается и трамвай движется до остановки равнозамедленно. На всем пути движения трамвая коэффициент трения μ = 0,01. Найти наибольшую скорость v и время t движения трамвая. Каково его ускорение а при равнозамедленном движении?

Какое расстояние s пройдет трамвай за время движения?

Ответ: v = 21,6 км/ч; t = 73 с; a = 0,098 м/с2; s = 218 м.

9.Тело лежит на наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол

α= 4°. При каком предельном значении коэффициента трения μ тело начнет скользить по наклонной плоскости? С каким ускорением а будет скользить тело

по плоскости, если коэффициент трения μ = 0,03? Сколько времени t потребу-

23

ется для прохождения при этих условиях пути s = 100 м? Какую скорость v тело будет иметь в конце пути?

Ответ: μ = 0,07; a = 0,39 м/с2; t = 22,7 с; v = 8,85 м/с.

10. Две гири массой m1 = 2 кг и m2 = 1 кг соединены нитью и перекинуты

через невесомый блок. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силу на-

тяжения нити Т. Трением в блоке пренебречь.

Ответ: a = 3,27 м/с2; T = 13 Н.

11. Диск вращается вокруг вертикальной оси с частотой n =30 об/мин. На расстоянии r = 20 см от оси вращения на диске лежит тело. Каким должен быть коэффициент трения μ между телом и диском, чтобы тело не съехало с диска?

Ответ: μ = 0,2.

12.Груз массой m = 1 кг, подвешенный на нити, отклоняют на угол

α= 30° и отпускают. Найти силу натяжения нити T в момент прохождения грузом положения равновесия.

Ответ: T = 12,4 Н.

13.Камень массой m = 1 кг брошен вертикально вверх с начальной скоро-

стью v = 9,8 м/с. Построить график зависимости от времени t кинетической Eк, потенциальной Ep и полной E энергии камня для интервала 0 ≤ t ≤ 2 с через 0,2 с.

14.С башни высотой Н = 25 м горизонтально брошен камень со скоро-

стью v0 = 15 м/с. Найти кинетическую Eк и потенциальную Ep энергию камня спустя время t = 1 с после начала движения. Масса камня m = 0,2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: Eк = 32,2 Дж; Ep = 39,4 Дж.

15.Человек массой m1 = 60 кг, бегущий со скоростью v1 = 8 км/ч, догоняет тележку массой m2 = 80 кг, движущуюся со скоростью v2 =2,9 км/ч, и вскаки-

вает в нее. С какой скоростью u будет двигаться тележка? С какой скоростью u′ будет двигаться тележка, если человек бежал ей навстречу?

Ответ: u = 5,14 км/ч; u′ = 1,71 км/ч.

16. Шар массой m1 = 2 кг движется со скоростью v1 = 3 м/с и нагоняет шар массой m2 = 8 кг, движущийся со скоростью v2 = 1 м/с. Считая удар центральным, найти скорости u1 и u2 шаров после удара, если удар: а) абсолютно неупругий; б) абсолютно упругий.

Ответ: а) u1 = u2 = 1,8 м/с; б) u1 = 0,6 м/с, u2 = 2,6 м/с.

17. Снаряд массой m = 100 кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью v1 = 500 м/с, попадает в вагон с песком, масса которого m2 = 10 т, и застревает в нем. Какую скорость u получит вагон, если: а) вагон стоял неподвижно; б) вагон двигался со скоростью v2 = 36 км/ч в том же направлении, что и снаряд; в) вагон двигался со скоростью v2 = 36 км/ч в направлении, противоположном движению снаряда?

	Ответ: а) u = 17,8 км/ч; б) u = 53,5 км/ч; в) u = -17,8 км/ч.
m2	18. Шар массой m1	= 5	кг ударяется о	неподвижный шар массой
	= 2,5 кг, который	после	удара движется	с кинетической энергией
Ek′2	= 5 Дж. Считая удар центральным и абсолютно упругим, найти кинетиче-

ские энергии Ek1 и Ek′1 первого шара до и после удара.

24 Ответ: Ek1 = 5,62 Дж; Ek′1 = 0,62 Дж.

19. Два шара с массами m1 = 0,2 кг и m2 = 0,1 кг подвешены на нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Первый шар отклоняют на высоту h0 = 4,5 см и отпускают. На какую высоту h поднимутся шары после удара, если удар: а) упругий; б) неупругий?

Ответ: а) h1 = 0,005 м, h2 = 0,08 м, б) h1 = 0,02 м.

20.Деревянный шарик массой m = 0,1 кг падает с высоты h1 = 2 м. Коэффициент восстановления скорости при ударе шарика о пол k = 0,5. Найти высо-

ту h2, на которую поднимается шарик после удара о пол, и количество теплоты Q, выделившееся при ударе. Коэффициентом восстановления скорости называ-

ется отношение скорости v2 тела после удара к скорости v1 до удара.

Ответ: h2 = 0,5 м; Q = 1,48 Дж.

21.С какой скоростью v двигался вагон массой m = 20 т, если при ударе о стенку каждый буфер сжался на l = 10 см? Жесткость пружины каждого буфера k = 1 МН/м.

Ответ: v = 3,6 км/ч.

22.Мальчик, стреляя из рогатки, натянул резиновый шнур так, что его длина стала больше на l = 10 см. С какой скоростью v полетел камень массой m = 20 г? Жесткость шнура k = 1 кН/м.

Ответ: v = 22,1 м/с.

23.Гиря массой m = 0,5 кг, привязанная к резиновому шнуру длиной l0, описывает в горизонтальной плоскости окружность. Частота вращения гири n = 2 об/с. Угол отклонения резинового шнура от вертикали α = 30°. Жесткость

шнура k = 0,6 кН/м. Найти длину l0 нерастянутого резинового шнура. Ответ: l0 = 6,3 см.

24.Льдина площадью поперечного сечения S = 1 м2 и толщиной h = 0,4 м плавает в воде. Какую работу А надо совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду?

Ответ: А = 7,84 Дж.

25.Две гири с массами m1 = 2 кг и m2 = 1 кг соединены нитью, перекинутой через блок массой m = 1 кг. Найти ускорение a, с которым движутся гири, и силы натяжения Т1 и Т2 нитей, к которым подвешены гири. Блок считать одно-

родным диском. Трением пренебречь.

Ответ: а = 2,8 м/с2; Т1 = 14 Н; Т2 = 12,6 Н.

26.Шар диаметром D = 6 см и массой m = 0,25 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости с частотой вращения n = 4 об/с. Найти кинетиче-

скую энергию Ек шара. Ответ: Ек = 0,1 Дж.

27.Найти кинетическую энергию Ек велосипедиста, едущего со скоростью v = 9 км/ч. Масса велосипедиста вместе с велосипедом m = 78 кг, причем

на колеса приходится масса m0 = 3 кг. Колеса велосипеда считать обручами. Ответ: Ек = 253 Дж.

28.Горизонтальная платформа массой m = 100 кг вращается вокруг вер-

тикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой n1 = 10 об/мин. Человек массой m0 = 60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой часто-

25

той n2 начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека - точечной массой.

Ответ: n2 = 22 об/мин.

29.Однородный стержень длиной l = 0,5 м совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Найти период колебаний Т стержня.

Ответ: Т = 1,16 с.

30.В дне цилиндрического сосуда диаметром D = 0,5 м имеется круглое отверстие диаметром d = 1 см. Найти зависимость скорости v понижения уровня воды в сосуде от высоты h этого уровня. Определить значение этой скорости для высоты h = 0,2 м.

Ответ: v = (d 2D2 ) 2gh ; v1 = 0,8 мм/с.

31. Какое давление р создает компрессор в краскопульте, если струя жидкой краски вытекает из него со скоростью v = 25 м/с? Плотность краски ρ = 800 кг/м3. Краску считать несжимаемой жидкостью.

Ответ: р = 250 кПа.

32.Шарик всплывает с постоянной скоростью v в жидкости, плотность

которой ρ1 в 4 раза больше плотности ρ2 материала шарика. Во сколько раз n сила трения Fтр, действующая на всплывающий шарик, больше силы тяжести mg шарика?

Ответ: n = 3.

33.В боковую поверхность цилиндрического сосуда радиусом R = 2 см вставлен горизонтальный капилляр, внутренний радиус которого r = 1 мм и длина l = 2 см. В сосуд налито касторовое масло, динамическая вязкость кото-

рого η = 1 Па с. Найти зависимость скорости v понижения уровня касторового масла в сосуде от высоты h этого уровня над капилляром. Определить значение этой скорости при h = 26 см.

Ответ: v = r4ρgh = 3 10-5 м/с.

8lηR2

34. Полная энергия тела, совершающего гармонические колебания, Е = 30 мкДж. Максимальная сила, действующая на тело, Fmax = 1,5 мН. Напи-

сать уравнение движения этого тела (зависимость координаты от времени), если период колебаний Т = 2 с и начальная фаза α = π/3.

Ответ: x = 0,04sin(πt + π3) м.

1.4. Задачи для самостоятельной работы

1. Камень бросили вертикально вверх на высоту h0 = 10 м. Через какое время t он упадет на землю? На какую высоту h поднимется камень, если начальную скорость камня увеличить вдвое? Сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ: t = 2,9 с; h= 4h0 = 40 м.

26

2.Зависимость пройденного телом пути s от времени t дается уравнением

s = A − Bt + Ct 2 , где А = 6 м, В = 3 м/с, С = 2 м/с2. Найти среднюю скорость v и среднее ускорение a тела в интервале времени 1 ≤t ≤ 4 с. Построить графики

зависимости пути s, скорости v и ускорения а для 0 ≤ t ≤ 5 с через 1 с. Ответ: v = 7 м/с; a = 4 м/с2.

3.Тело брошено со скоростью v0 = 10 м/с под углом α = 45° к горизонту. Найти радиус кривизны R траектории тела через t = 1 с после начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ: R = 6,3 м.

4.Найти радиус R вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость v1 точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости v2

точки, лежащей на расстоянии r = 5 см ближе к оси колеса. Ответ: R = 8,33 см.

5. В первом приближении можно считать, что электрон в атоме водорода движется по круговой орбите с постоянной скоростью v. Найти угловую скорость ω вращения электрона вокруг ядра и его нормальное ускорение аn. Радиус

орбиты принять равным r = 0,5·10-10 м и линейную скорость электрона на этой орбите v = 2,2·106 м/с.

Ответ: аn = 9,68 1022 м/с2. ω = 4,4 1016 рад/с.

6. На автомобиль массой m = 1 т во время движения действует сила трения Fтр, равная 0,1 действующей на него силы тяжести mg. Какова должна быть

сила тяги F, развиваемая мотором автомобиля, чтобы автомобиль двигался: а) равномерно, б) с ускорением а = 2 м/с2?

Ответ: а) F = 980 Н; б) F = 3 кН.

7. Железнодорожный вагон тормозится, и его скорость за время t = 3,3 с равномерно уменьшается от v1 = 47,5 км/ч до v2 = 30 км/ч. Каким должен быть предельный коэффициент трения μ между чемоданом и полкой, чтобы чемодан при торможении начал скользить по полке?

Ответ: μ ≤ 0,15.

8.Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом

угол α = 45°. Пройдя расстояние s = 36,4 см, тело приобретает скорость v = 2 м/с. Чему равен коэффициент трения μ тела о плоскость?

Ответ: μ = 0,2.

9.Невесомый блок укреплен на конце стола (рис. 1.13). Гири 1 и 2 оди-

наковой массы m1 = m2 = 1 кг соединены нитью и перекинуты
через блок. Коэффициент трения гири 2 о стол μ = 0,1. Найти ус-		2
корение а, с которым движутся гири и натяжение нити Т. Трени-		1
ем в блоке пренебречь.
Ответ: а = 4,4 м/с2, Т = 5,4 Н.		Рис. 1.13
10. К потолку трамвайного вагона подвешен на нити шар.	Вагон идет со

скоростью v = 9 км/ч по закруглению радиусом R = 36,4 м. На какой угол α и в какую сторону отклонится при этом нить с шаром?

Ответ: α = 1°; от центра.

27

11. Груз массой m = 150 кг подвешен на стальной проволоке, выдерживающей силу натяжения T = 2,94 кН. На какой наибольший угол α можно отклонить проволоку с грузом, чтобы она не разорвалась при прохождении грузом положения равновесия?

Ответ: α = 60°.

12. Камень бросили под углом α = 60° к горизонту со скоростью v0 = 15 м/с. Найти кинетическую Ек, потенциальную Ер и полную энергию Е камня: а) спустя время t = 1 с после начала движения; б) в высшей точке траектории. Масса камня m = 0,2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: а) Ек = 6,6 Дж, Ер = 15,9 Дж, Е =22,5 Дж; б) Ек = 5,7 Дж, Ер = 16,8 Дж, Е = 22,5Дж.

13.Тело скользит сначала по наклонной плоскости, составляющей угол

α= 8° с горизонтом, а затем по горизонтальной поверхности. Найти коэффициент трения μ на всем пути, если известно, что тело проходит по горизонтальной поверхности то же расстояние, что и по наклонной плоскости.

Ответ: μ = 0,07.

14. Какую мощность N развивает двигатель автомобиля массой m = 1 т, если известно, что автомобиль едет с постоянной скоростью v = 36 км/ч: а) по горизонтальной дороге; б) в гору с уклоном 5 м на каждые 100 м пути; в) под гору с тем же уклоном? Коэффициент трения μ = 0,07.

Ответ: а) N = 6,9 кВт; б) N = 11,8 кВт; в) N = 1,98 кВт;

15. На рельсах стоит платформа массой m1 = 10 т. На платформе закреплено орудие массой m2 = 5 т, из которого производится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда m3 = 100 кг, его начальная скорость относительно орудия v0 = 500 м/с. На какое расстояние s откатится платформа при выстреле, если: а) платформа стояла неподвижно; б) платформа двигалась со скоростью v = 18 км/ч и выстрел был произведен в направлении ее движения; в) платформа двигалась со скоростью v = 18 км/ч и выстрел был произведен в направлении, противоположном направлению движения. Коэффициент трения платформы о рельсы μ = 0,002.

Ответ: а) s = 284 м; б) s = 71 м; в) s = 1770 м.

16. Тело массой m1 = 1 кг, движущееся горизонтально со скоростью v1 = 1 м/с , догоняет второе тело массой m2 = 0,5 кг и неупруго соударяется с ним. Какую скорость u получат тела, если: а) второе тело стояло неподвижно; б) второе тело двигалось со скоростью v2 = 0,5 м/с в том же направлении, что и первое тело; в) второе тело двигалось со скоростью v2 = 0,5 м/с в направлении, противоположном направлению движения первого тела.

Ответ: a) u = 0,67 м/с; б) u = 0,83 м/с; в) u = 0,5 м/с.

17. Деревянным молотком, масса которого m1 = 0,5 кг, ударяют о неподвижную стенку. Скорость молотка в момент удара v1 = 1 м/с. Считая коэффициент восстановления скорости при ударе молотка о стенку k = 0,5, найти количество теплоты Q, выделившейся при ударе. (Коэффициентом восстановления скорости при ударе называют отношение скорости v2 тела после удара к его скорости v1 до удара).

28

Ответ: Q = 0,188 Дж.

18.Деревянный шарик массой m = 0,1 кг падает с высоты h1 = 2 м. Коэффициент восстановления скорости при ударе шарика о пол k = 0,5. Найти высо-

ту h2, на которую поднимется шарик после удара о пол, и количество теплоты Q, выделившееся при ударе.

Ответ: h2 = 0,5 м; Q = 1,48 Дж.

19.Стальной шарик, падая с высоты h1 = 1,5 м на стальную плиту, отскакивает от нее со скоростью v2 = 0,75 v1, где v1 - скорость, с которой он подлетает к плите. На какую высоту h2 он поднимется? Какое время t пройдет с момента падения шарика до второго удара о плиту?

Ответ: h2 = 0,84 м; t = 1,4 с.

20.Груз массой m = 1 кг падает на чашку пружинных весов с высоты H = 10 см. Каковы показания весов F сразу после удара, если после успокоения качаний чашка весов опускается на h = 0,5 см?

Ответ: F = 72,5 Н.

21.Мяч радиусом R = 10 см плавает в воде так, что его центр масс находится на H = 9 см выше поверхности воды. Какую работу А надо совершить, чтобы погрузить мяч в воду до середины?

Ответ: А = 0,74 Дж.

22.С какой линейной скоростью v будет двигаться искусственный спут-

ник Земли по круговой орбите: а) у поверхности Земли; б) на высоте h = 200 км; в) на высоте h = 7000 км от поверхности Земли? Найти период обращения Т спутника Земли при этих условиях.

Ответ: а) v = 7,91 км/с; T = 1 ч 25 мин; б) v = 7,79 км/с; T = 1 ч 28 мин; в) v = 5,46 км/с; T = 4 ч 16 мин.

23. На барабан массой m0 = 9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2 кг. Найти ускорение а груза. Барабан считать однород-

ным цилиндром. Трением пренебречь. Ответ: а = 3 м/с2.

24. Обруч и диск одинаковой массы m1 = m2 катятся без скольжения с одной и той же скоростью v. Кинетическая энергия обруча Eк1 = 39,2 Дж. Найти кинетическую энергию Ек2 диска.

Ответ: Ек2 = 29,4 Дж.

25. Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью v = 7,2 км/ч. На какое расстояние s может вкатиться обруч на горку за счет его кинетической энергии? Уклон горки равен 10 м на каждые 100 м пути. Трением пренебречь.

Ответ: s = 4,1 м.

26. Горизонтальная платформа массой m = 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой n1 = 10 об/мин. Человек массой m0 = 60 кг стоит при этом на краю платформы. Какую работу А совершает человек при переходе от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека — точечной массой.

Ответ: A = 162 Дж.

29

27.Однородный стержень длиной l = 0,5 м совершает малые колебания в вертикальной плоскости около оси, проходящей через точку, находящуюся на расстоянии а = 10 см от его верхнего конца. Найти период колебаний Т стержня.

Ответ: Т = 1,07 с.

28.На столе стоит сосуд с водой, в боковой поверхности которого имеет-

ся малое отверстие, расположенное на расстоянии h1 от дна сосуда и на расстоянии h2 от уровня воды. Уровень воды в сосуде поддерживается постоянным. На каком расстоянии l от сосуда (по горизонтали) струя воды падает на

стол в случае, если: а) h1 = 25 см, h2 = 16 см; б) h2 =25 см, h1 =16 см? Ответ: l = 0,4 м в обоих случаях.

29.Цилиндрический бак высотой h = 1 м наполнен до краев водой. За какое время t вся вода выльется через отверстие, расположенное у дна бака, если площадь S2 поперечного сечения отверстия в n = 400 раз меньше площади S1

поперечного сечения бака? Сравнить это время с временем t′, которое понадобилось бы для вытекания такого же объема воды, если бы уровень воды в баке поддерживался постоянным на высоте h = 1 м от отверстия.

Ответ: t = 3 мин; t′ = 1,5 мин.

30.Какой наибольшей скорости v может достичь дождевая капля диаметром d = 0,3 мм, если динамическая вязкость воздуха η = 1,2 10-5 Па с? Каплю считать шариком, а силу сопротивления – подчиняющуюся закону Стокса.

Ответ: v = 4,11 м/с.

31.В боковую поверхность сосуда вставлен горизонтальный капилляр, внутренний радиус которого r = 1 мм и длина l = 1,5 см. В сосуд налит глице-

рин, динамическая вязкость которого η = 1 Па с. Уровень глицерина в сосуде поддерживается постоянным на высоте h = 0,18 м выше капилляра. Какое время t потребуется на то, чтобы из капилляра вытек объем глицерина V = 5 см3?

Ответ: t = 1,5 мин.

32. К пружине подвешен груз массой m = 10 кг. Найти период Т вертикальных колебаний груза, если известно, что под действием силы F = 9,8 Н пружина растягивается на l = 1,5 см.

Ответ: Т = 0,78 с.

1.5. Задачи для контроля

1.С башни высотой Н = 20 м горизонтально брошен камень со скоро-

стью v0 = 15 м/с. Найти время t движения камня. На каком расстоянии S от основания башни и с какой скоростью v он упадет на землю?

2.Тело брошено со скоростью v0 = 20 м/с под углом α = 30° к горизонту. Найти радиус кривизны R траектории тела в высшей точке траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.

3.Тело начинает скользить вниз по наклонной плоскости, составляющей с

горизонтом угол α = 45°. Пройдя расстояние s = 36,4 см, тело приобретает скорость v = 2 м/с. Чему равен коэффициент трения скольжения μ тела о плоскость?

4. С вышки высотой h = 50 м горизонтально брошен шар массой m = 0,2 кг со скоростью v0 = 25 м/с. Найти кинетическую Еk, потенциальную Ep