Попов_40_лекций_по_линейной_алгебре11.07.2010

Различным значениям i соответствуют g-ортогональные друг другу решения системы, и, если dim Ker( F - i G )= 1,

e e

то найденное решение x необходимо лишь нормировать (по g), то есть разделить его на длину G(x) . Если же имеются кратные корни i характеристического уравнения F ,G ( ) =0,

то dim Ker( F - i G ) 1, и найденные фундаментальные

e e

системы решений для СЛУ необходимо ортонормировать в смысле g, например, по Граму-Шмидту. После этой процедуры мы получим ортонормированный базис u . И теперь для получения базиса и надо перейти к базису, «комплексно сопряженному» к базису u .

Лекция 39.

28. ГРУППЫ

Далее будем считать, если не оговорено противное, что G – мультипликативная группа (то есть групповую операцию в G мы будем называть умножением), - нейтрал в G.

28.1. Теорема Лагранжа.

Пусть G – группа, и H – подгруппа в G. Введем на множестве G бинарное отношение : для элементов g1, g2 G будем считать по определению, что g1 g2 g1g2-1 Н. Выражение g1g2-1 называется групповой разностью.

Очевидно, g1g2-1= h Н g1= h g2.

Утверждение. Отношение является отношением эквивалентности на G.

Доказательство. Очевидно, отношение - рефлексивно, то есть g G g g , так как g g -1 = H. Кроме того,

отношение - симметрично, так как если g1 g2, то g1g2-1= h Н h -1 H, h -1= g2g1-1 H g2 g1 . И наконец,

отношение - транзитивно, так как если g1 g2, g2 g3, то

181

g1g2-1= h1 Н, g2g3-1= h2 Н h1h2 = g1g3-1 Н g1 g3.

Таким образом, множество G разбивается в объединение непересекающихся классов эквивалентных элементов. При-

чем cl g1 = {g G| g g1} = {g G| g = hg1, h Н } = Hg1 .

Класс Hg1 называется правым смежным классом элемента g1 по подгруппе Н. Аналогично, левым смежным классом элемента g1 по подгруппе Н называется подмножество g1H.

Упражнение. Найти фактормножество G / в случаях,

когда H = G и H = { }.

Пусть G – конечная группа, и число элементов группы G равно п: |G| = n . Число элементов группы называется порядком группы. Пусть Н – подгруппа в G, |H| = m.

Теорема Лагранжа. m | n, причем n = km, где k – число правых смежных классов группы G по подгруппе Н.

Доказательство. Пусть H = { h1,…, hm}. Тогда

Hg ={ h1g,…, hmg }, причем все элементы h1g,…,hmg – различны, так как если hig = hjg , то higg -1 = hjgg -1 hi = hj . Следовательно, |Hg| = m = |H|, то есть число элементов во всех

правых смежных классах одинаково и равно т. Так как количество смежных классов равно k, они не пересекаются и

их объединение совпадает с G, то n = mk m = n / k.

Аналогично доказывается теорема Лагранжа для левых смежных классов группы G по подгруппе Н. И количество их также равно n / k = т.

Определение. Количество смежных классов (правых или левых) группы G по подгруппе Н называется индексом подгруппы Н в группе G и обозначается (G:H).

В новых обозначениях теорема Лагранжа может быть сформулирована так: |G| / |H| = (G:H).

28.2. Факторгруппы.

Пусть G – произвольная, не обязательно конечная группа.

Замечание. Так как a, b G (ab)(b -1a -1)= a(bb-1)a -1 = = a a -1 = , то (ab) -1 = b -1a -1.

182

Теорема. Для подгруппы H G эквивалентны следую-

щие 4 условия:
1. h H, g G	g -1hg H;

2.g G g -1Hg H;

3.g G g -1Hg = H;

4.g G Hg = gH – то есть правые и левые смежные класы совпадают.

Доказательство. Очевидно, 1 2 – это одно и то же условие, записанное в 1 для элементов, а в 2 для множеств. Также очевидно, что 3 2. Покажем, что 2 3. Заменим в условии 2 элемент g на g-1. Получим gHg -1 H. Умножим это включение слева на g -1 и справа на g. Получим H g-1Hg. Это включение вместе с включением из 2 дает равенство 3. Следовательно, 2 3. И наконец, равенство 4 получается умножением равенства 3 на g слева, а равенство 3 получается умножением равенства 4 на g -1 слева. То есть 3 4.

Определение. Подгруппа H G называется нормальной подгруппой (или нормальным делителем) в G, если для Н выполняется любое из четырѐх эквивалентных условий теоремы (а, следовательно, и все четыре условия).

Очевидно, в коммутативной группе любая подгруппа – нормальная.

В случае нормальной подгруппы Н фактормножество G/ мы будем обозначать G/H. В этом случае левые и правые смежные классы совпадают, и их можно просто называть смежными классами. Обозначать смежный класс элемента g мы будем g .

Очевидно, тривиальные подгруппы { } и G – нормальны. Пусть Н – нормальная подгруппа в G. Зададим на фак-

тормножестве G/H структуру группы.

I. Пусть для g1 , g2 G/H по определению g1 g2 = g1g2 . Утверждение. Определение умножения на G/H коррект-

но, то есть не зависит от выбора представителей в классах g1 и g2 .

183

Доказательство. Пусть g1 g1 , g2 g2 - другие представители в классах. Покажем, что g1 g2 g1g2 , то есть

g1 g2 g1g2. В самом деле, g1 g1 , g2 g2 g1 = h1g1, g2 = h2g2 g1 g2 = h1g1h2g2=h1g1h2(g1-1g1)g2= h1(g1h2g1-1)g1g2=

= h1h g1g2 = h g1g2, и h H g1 g2 g1g2, g1 g2 = g1g2 .

II. Проверим свойства из определения группы.

1. ( g1 g2 ) g3 = g1g2 g3 = (g1g2 )g3 = g1 (g2 g3 ) = g1 ( g2 g3 ) –

ассоциативность в G/H выполняется.

g , то есть в G/H нейтральный эле-

2.

=

g

g

= g =

мент

.

3.

Очевидно, g g 1

= gg 1 =

= g 1 g , то есть в G / H

для элемента g

обратный элемент g -1 = g 1 .

Таким образом,

на фактормножестве G/H мы задали

структуру группы, которая называется факторгруппой.

Упражнения.

1.

Доказать, что если группа

G коммутативна, то и фактор-

группа G/H коммутативна.

2.

Доказать, что G/{ } G,

G/G { }.

Рассмотрим поэлементное произведение смежных клас-

сов: g1H g2H = { g1hg2h | h, h H}. Очевидно, g1H g2H =

= g1(g2g2-1)Hg2H = g1g2(g2-1Hg2)H = g1g2HН = g1g2H (легко видеть, что НН = Н, так как НН Н, и уже Н = Н). Кроме того, (gH) -1= {(gh) -1| h H} = Н -1g -1= Нg -1= (g -1g)Hg -1=

= g -1(gHg -1) = g -1H (очевидно, Н -1 = Н, = Н = Н).

Таким образом, операцию умножения смежных классов на фактормножестве G / H можно определять как операцию поэлементного умножения классов: g1H g2H = g1g2H. При таком определении мы тоже получили бы на G/H структуру группы.

28.3. Морфизмы групп.

Пусть G1 – группа с бинарной операцией , G2 – группа с

184

бинарной операцией .

Определения.

1.Отображение : G1 G2 называется морфизмом (или

гомоморфизмом) групп, если a, b G1 (a b) = a b.

2.Если - морфизм и биекция, то называется изомор-

физмом.

3.Если - морфизм и инъекция, то называется моно-

морфизмом.

4.Если - морфизм и сюръекция, то называется эпимор-

физмом.

5.Если морфизм : G1 G1, то называется эндоморфиз-

мом.

6.Если : G1 G1 - изоморфизм, то называется авто-

морфизмом.

Упражнения.

1. Пусть : G1 G2 , : G2 G3 - морфизмы групп. Доказать, что : G1 G3 - морфизм групп.

2. Пусть AutG – множество автоморфизмов группы G. Доказать, что AutG – группа.

Пусть : G1 G2 - морфизм групп, 1 – нейтрал в G1,2 – нейтрал в G2 .

Утверждение 1. 1 = 2 , (g -1) = (g) -1 g G1.

Доказательство. Пусть 1 = с. Тогда ( 1 1) = 1 1 =

= 1 сс = с с -1сс = с -1с 2с = 2 с = 2 . Далее

(gg -1) = (g) (g -1) = 1 = 2 (g -1) = (g) -1.

Определение. Ядром морфизма : G1 G2 называет-

ся Ker = -1 2 = {g G1| g = 2}.

Утверждение 2. Ker - нормальная подгруппа в G1.

Доказательство. Пусть a, b Ker . Тогда a = b = 2

(ab) = a b = 2 2= 2 ab Ker . Также (а -1)= (а) -1 =

=2-1 = 2 a -1 Ker . И наконец, 1 = 2 1 Ker .

Следовательно, Ker - подгруппа в G1.

185

Пусть теперь g G1, a Ker . Тогда (g -1аg)= (g)-1 а g= = (g)-1 2 g = 2 g -1аg Ker .

Следовательно, Ker - нормальная подгруппа в G1.

Упражнение. Доказать, что Im - подгруппа в G2 .

Утверждение 3. - инъекция Ker = { 1}. Доказательство. . Пусть - инъекция, и а Ker

а = 1= 2 а = 1 Ker = { 1}.
. Пусть Ker = { 1}, и а = b. Тогда		(аb-1) = а ( b)-1=
= 2 аb-1 Ker аb-1= 1 a = b - инъекция.
Лекция 40.
28.4. Теорема о разложении морфизма.
Пусть Н - нормальная подгруппа в группе G,				G/Н –
факторгруппа. Рассмотрим отображение		: G G/Н та-
кое, что g G	(g) = g .
Утверждение. - эпиморфизм групп, причем Ker = H.
Доказательство. Так как a, b G		(ab) = ab = a b =
= (a) (b), то - морфизм групп. И конечно же,				- сюръ-
екция, то есть - эпиморфизм. Этот эпиморфизм				называ-
ется каноническим и обозначается сап. Очевидно,				g Ker

g = g g Н. Следовательно, Ker = Ker сап =H.

Следствие. Мы видели, что ядро любого морфизма – нормальная подгруппа. Теперь мы увидели, что любая нормальная подгруппа является ядром некоторого морфизма, например, канонического. Таким образом, нормальные подгруппы – это в точности те подгруппы, которые являются ядрами некоторых морфизмов.

Пусть теперь : G1 G2 - морфизм групп, Н = Ker , G1/ Н – факторгруппа, сап: G1 G1 / Н – канонический эпиморфизм.

Определим отображение : G1 / Н G2 следующим

186

		( g ) = g		g G1/Н.
образом: пусть по определению
Наше определение корректно, так как g = gH,				и (gH)=

= g (H) = g 2 = g. Кроме того, a , b G1 /Н

( a b ) = ( ab ) = (ab) = a b = ( a ) ( b ), то есть -

морфизм групп. Если g Ker

, то

( g ) = g = 2

g Ker = H g = 1 Ker

= { 1 }

- инъекция

(см. п.28.3, утверждение 3). Следовательно, - мономорфизм групп. И наконец, если мы будем рассматривать не

как отображение		G1/Н в G2, а как отображение G1/Н в
Im = (G1), то
			будет ещѐ и сюръекцией, то есть и биек-

цией. Таким образом, : G1 / Н Im - изоморфизм групп.

Так как Im G2, то обозначим через i тождественное вложение i : Im G2, i(g) = g g Im . Очевидно, i –

морфизм и инъекция, то есть мономорфизм. Кроме того,

g G1 (i can)(g) = i( (can(g)))= i( ( g )) = i( g)= g

i can = . Таким образом, нами доказана

Теорема о разложении морфизма. Если : G1 G2 -

морфизм групп, то коммутативна следующая диаграмма:

G1				G2
can				i		, то есть i	can = ,
G1 / Ker				Im
						- изоморфизм, i - мономор-
причем сап – эпиморфизм,
физм групп.
Следствие. Для того,				чтобы найти факторгруппу G/H
группы G по нормальной подгруппе Н достаточно найти
морфизм группы G такой,						что Ker = H. И тогда
G/H Im .

Пример. Пусть G = С* - (коммутативная) группа ненулевых комплексных чисел по умножению, Н=Un= {z C| zn= 1}

– множество корней п-й степени из 1.

187

Упражнение. Доказать, что Un - подгруппа в С* (и следовательно, нормальная подгруппа).

Найдем G/H = С*/Un . Для этого рассмотрим отображе-

ние : С* С* такое, что	z C*	z = zn. Очевидно,
1. - морфизм (эндоморфизм группы		C*), так как (z1z2)=
= (z1z2)n = z1nz2n = z1 z2 .

2.Ker = H = Un. Отсюда, в частности, следует Упражнение.

3.Im = C*, так как и C* z C* такой, что и = zn= z.

Следовательно, С*/ Un С*.

28.5. Циклические группы.

Пусть G – группа, g G. Будем считать по определе-

нию, что для n Z	g n = g g ... g	при n N,	g n = , при
	n

n = 0, g n = (g -n) -1 при -n N.

Упражнение. Доказать, что g ng m = g n+m, (g n)-1= g -n

n, m Z.

Определение. Циклической подгруппой элемента g на-

зывается 3)наименьшая 1)подгруппа в G, 2)содержащая элемент g.

Обозначать циклическую подгруппу элемента g мы будем <g>. Элемент g называется образующим элементом циклической группы <g>.

Пусть В = {g n | п Z}.

Утверждение. В = <g>.

Доказательство.

0. Рассмотрим некоторую подгруппу А G такую, что g A.

Очевидно, g g = g 2 A, g g 2 = g 3 A,…, g п A п N и

п Z В А .

1. Пусть g s, g t В g sg t = g s+t В, (g s)-1= g -s В, = g 0 ВВ – подгруппа в G.

2.g = g 1 В.

3.Если подгруппа А g , то А В (из п.0) В – наименьшая подгруппа, содержащая элемент g В = <g>.

Рассмотрим циклическую группу <g> = {g n | п Z }.

188

Возможны два случая:

1.Все элементы g n - различны. Тогда |<g>| = , <g> - бесконечная циклическая группа.

2.Существуют m n такие, что g т = g n. Можно считать, что т > n. Тогда g т-п = , т – п N. Пусть d – наименьшее натуральное число такое, что g d = . Тогда d называется

порядком элемента g: пор.g = d (в случае 1 пор.g = ).

Пусть пор.g = d < . В этом случае, если п Z, то, разде-

лив п на d с остатком, получим: п = dq + r, 0 r < d, и

g n = g dq+r = (g d)qg r = g r = g r <g> = {g r | r = 0,1,…,d-1}

|<g>| = d - порядок циклической группы равен порядку образующего элемента этой группы.

Следствие. g n = d | n .

Упражнения.

1.Доказать, что Z – бесконечная циклическая (аддитивная) группа. Найти все возможные образующие элементы этой группы.

2.Доказать, что Zт – конечная циклическая (аддитивная) группа. Найти все возможные образующие элементы этой группы.

3.Найти все подгруппы группы Z .

4.Доказать, что подгруппа циклической группы – циклическая группа.

Пусть g G.	Рассмотрим отображение	: Z G та-
кое, что (п) = g n	п Z. Очевидно, -	морфизм групп,
так как (т+п) = g т+п = g т g п = т п .		Кроме того,
Im = <g>, Ker = {n Z | g п = }. Если		Ker = { 0 }, то

по Теореме о разложении морфизма Im = <g> Z / Ker = = Z / { 0 } Z , то есть < g > - бесконечная циклическая

группа. Если же Ker { 0 }, то	Ker = d Z, Im = <g>
Z / Ker = Z / d Z Zd , то есть	< g > - конечная цикличе-

ская группа. Следовательно, любая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе Z, любая конечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе Zd .

189

Литература, использованная при подготовке Курса лекций:

1.Попов А.М. Лекции по линейной алгебре, ч.1.- М.: Изд-во РУДН, 2006

2.Булгаков Д.Н., Попов А.М. Введение в теорию линейных операторов.- М.: Изд-во РУДН, 2003

190