Курс_лекций_по_теории_случайных_процессов

Глава 2.

Процессы восстановления

§ 3. Случайные блуждания

Процесс восстановления тесно связан с последовательностью независимых одинаково распределенных (н.о.р.) с.в. одной из наиболее простых моделей теории случайных процессов. Они часто используются в прикладных исследованиях как для непосредственного описания различных случайных явлений, так и в качестве вспомогательных моделей для построения исходного вероятностного пространства. Примерами таких моделей в прикладных задачах могут служить:

интервалы между моментами отказов сложного оборудования в технических системах при исследовании их надежности;

потребление электроэнергии определенным потребителем за некоторые периоды времени;

дебит нефти или газа скважины за отдельные периоды времени;

изменение курсов валют, акций или иных ценных бумаг за отдельные периоды времени, например, час, день и т.д и т.п.

Изучение процессов восстановления начнем с построения вероятностной модели н.о.р. с.в..

3.1.Вероятностная модель последовательности н.о.р. с.в.

Рассмотрим последовательность н.о.р. с.в. Xn; n = 1; 2; : : : с распределением F (x), что будем обозначать выражением Xn 2 F (x). Такую модель можно реализовать на вероятностном пространстве ( ; F; P), которое является прямым произведением вероятностных пространств отдельных с.в. Xn из примера 1.1 § 1.3, а именно = R1 с элементами ! = (x1; : : : ; xn; : : : ), F = R1, а мера P определяется как продолжение меры, заданной на цилиндрах соотношением

			Y
Pf! : ai xi < bi; i =	1; n	g =	[F (bi) F (ai)]:
			1 i n

Тогда последовательность, определенная на ( ; F; P) с помощью координатного отображения

Xn = Xn(!) = Xn(x1; : : : ; xn; : : : ) = xn

(3.1)

задает последовательность н.о.р. с.в. с заданным распределением F (x) (см. упражнение 1). На этом же пространстве можно определить и другие случайные процессы.

3.2.Случайные блуждания. Определение. К.м.р.

На построенном пространстве ( ; F; P) определим теперь конструктивно другую последовательность с.в.

Sn =	X	(3.2)
	Xi

1 i n

Определение 3.1. Последовательность Sn, определенная соотношением 3.3 называется случайным блужданием.

Такие процессы часто встречаются в различных приложениях: в теории игр, страховании, физических моделях и моделях финансовой математики. В качестве примера приведем простой пример из теории азартных игр.

12	Глава 2. Процессы восстановления

Пример 1. Пусть случайные величины Xn принимают два значения +1 и -1 с вероятностями p и q = 1 p соответственно,

Xn = (	+1;		с вероятностью p;
		1;	с вероятностью q = 1		p:

Такие величины можно интерпретировать как выигрыш одного из игроков в отдельной игре при игре двух лиц. Тогда последовательность Sn описывает динамику капитала этого игрока в процессе игры. Эта классическая модель используется в различных приложениях. Например, в рамках этой модели описываются различные проблемы, связанные с поведением активов в финансовой математике, разорением страховых компаний и т.п.

Последовательности н.о.р. с.в. и их суммы изучаются в курсе теории вероятностей. В следующем разделе приведены основные результаты из этого курса, которые затем будут дополнены некоторыми траекторными свойствами случайных блужданий. В этом разделе вычислим к.м.ф.р. этого процесса, которые устанавливаются в следующей далее теореме.

Теорема 3.1. К.м.ф.р. случайного блуждания рекуррентно определяются соотношением

Fn(x1; : : : ; xn)	PfS1 < x1; : : : ; Sn < xng =
	x1
=	Z	Fn 1(x2 u; : : : ; xn u)dF (u):	(3.3)
	1

Доказательство. Используя непрерывный вариант формулы полной вероятности для n = 2 имеем

F2(x1; x2) = P fS1 < x1; S2 < x2g = P fX1 < x1; X1 + X2 < x2g =

x1

=	Z	P fX1 < x1; X1 + X2 < x2 jX1 = ug dP fX1 < ug =
	1
	x1	x1
=	Z	P fX2 < x2 ug dF (u) = Z	F (x2 u) dF (u):
	1	1
Доказательство завершается по индукции (см. упражнение 3).

3.3.Предельные теоремы для случайных блужданий

В настоящем разделе приводятся без доказательства известные из курса теории вероятностей предельные теоремы для сумм н.о.р. с.в. закон болшьших чисел (ЗБЧ) и центральная предельная теорема (ЦПТ)). Обозначим через MXn = ; DXn = 2 математическое ожидание и дисперсию соответственно с.в. Xn. Напомним, что сходимость по вероятности означает что для любого " > 0

1

P Sn

n

> " ! 0;

n!1

в то время как сходимость с вероятностью 1 (или почти наверное) определяется соотношением

P 8

1

Sk

1

9

= 1:

n

1 k

n l

l

<

=

\ [ \

:

;

§ 3. Случайные блуждания

13

Теорема 3.2 (ЗБЧ). При < 1 имеет место сходимость по вероятности

lim 1 Sn = MX1 = :

n!1 n

Если, кроме того, 2 < 1, то соответствующая сходимость имеет место почти наверное.

Скорость сходимости определяется ЦПТ.

Теорема 3.3 (ЦПТ). Если < 1; 2 < 1, то

n!1		pn					x				du:
					x = (x) = p2 Z
lim	P	Sn	n		1			e		u2
										2
					1

3.4.Дополнения

Вопросы для контроля.

1.Дайте определение случайного блуждания, приведите дополнительные примеры случайных блужданий.

2.Приведите собственные примеры случайных блужданий.

3.Вспомните доказательства теорем 2 и 3 из курса теории вероятностей.

4.Как рекуррентно определить конечномерные распределения случайного блуждания?

Упражнения.

1.Докажите, что определенная соотношением (3.1) последовательность образует последовательность н.о.р. с.в. с распределением F (x).

2.Найдите распределение с.в. Sn из примера 1.

3.Закончите доказательство теоремы 3.1.

4.Вычислите вероятность разорения первого игрока к моменту t в примере 3.1, если его начальный капитал равен a.

Библиографические замечания.

Последовательности н.о.р. с.в. изучаются в курсе теории вероятностей, где содержатся также соответствующие предельные теоремы (см., например, [1], [8]). Дальнейшие свойства случайных блужданий можно найти, например, в [29].

14	Глава 2. Процессы восстановления

§4. Процессы восстановления

4.1.Определение

Пусть ( ; F; P) вероятностное пространство для последовательности н.о.р. с.в. Xn с функцией распределения F (x), определенное в разделе 3.1. Предположим дополнительно, что эти величины строго положительны, т.е.

1 F (0) = P(Xn 0) = 1 и F (+0) = 0

(4.1)

Pn

и положим Sn = i=1 Xi.

Определение 4.1. Процесс N(t), определенный соотношением

N(t) = maxfn : Sn tg; t 2 R+

(4.2)

называется (простым) процессом восстановления. Наряду с простым процессом восстановления полезно рассмотреть его обобщение, общий процесс восстановления, или процесс восстановления с запаздыванием (задержкой), который отличается от простого тем, что первая из величин последовательности Sn имеет отличное от всех остальных распределение F1(x),

F1(x) = PfX1 < xg:

Процесс восстановления называется стационарным (смысл этого определения станет ясным позже), если распределение F1(x) имеет специальный вид, для которого введем специальное обозначение

F1		x	(1 F (u)) du:	(4.3)
	(x) = F^(t) = Z0
	1

Определение 4.2. Процесс восстановления называется дискретным, если определяющие его с.в. Xn имеют дискретное распределение. Напомним, что дискретным называется распределение F (t), сосредоточенное в точках xk = k , при этом максимальное из этих значений называется шагом распределения.

Замечание 1. Понятие процесса восстановления пришло из теории надежности, где с.в. Xn трактуются как “длительности жизни” элементов, при этом предположение 4.1 означает положительность этих величин. 1 В связи с указанной трактовкой величины Sn представляют собой длительность жизни последовательно заменяемых n элементов, а N(t) число элементов, необходимых для поддержания работоспособности системы в течение времени t (число восстановлений (замен) отказавших элементов).

Траектории процесса восстановления напрерывны справа и имеют вид, представленный на рис. 4.1.

4.2. Распределение числа восстановлений

Обозначим через pk(t) распределение числа восстановлений за время t,

pk(t) = PfN(t) = kg:	(4.4)
Лемма 4.1. Справедливо представление
pk(t) = PfN(t) = kg = PfSk < t Sk+1g:	(4.5)

1Иногда полезно рассматривать процессы восстановления с неотрицательными интервалами. Однако такие процессы можно рассмотреть в рамках процессов накопления (см. ниже раздел 6.3).

§ 4. Процессы восстановления

15

N(t)

n

n -1

t

S1 S2

Sn - 1

Sn

Рис. 4.1. Траектория процесса восстановления N(t).

Доказательство. События fN(t) = kg и fSk < t Sk+1g эквивалентны, т.е. fN(t) = kg () fSk < t Sk+1g. Таким образом, так как существует тождество между событиями, то справедливо

равенство (4.5) между их вероятностями.

Лемма 4.2. Справедливо представление

P fSk < t Sk+1g = PfSk < tg PfSk+1 < tg:

(4.6)

Доказательство. Эквивалентность событий

t

S

kg Sf

S

< t

S

k+1g

и

f

t

S

k+1g

и несовме-

стимость двух первых из них влечет равенствоf

k

P ft Skg + P fSk < t Sk+1g = Pft Sk+1g;

откуда используя вероятности дополнительных событий получим утверждение леммы.

Лемма 4.3. Справедливо представление

PfSk < tg PfSk+1 < tg = F k(t) F (k+1)(t) = (1 F ) F k(t);

(4.7)

где свертки F ( k)(t) функции F (t) определяются рекуррентно соотношением

t

F ( 1)(t) = F (t); : : : ; F ( n)(t) = Z0

F ( (n 1))(t u) dF (u);

(4.8)

и для 0-свертки F ( 0)(t) любой функции F (t) имеет место представление

F ( 0)(t) = (t) = 1ft 0g:

Доказательство следует из известного из курса теории вероятностей факта о том, что распределением суммы независимых с.в. является свертка их распределений.

Объединяя леммы 1 3 получим следующее утверждение.

Теорема 4.1. Одномерное распределение числа восстановлений процесса восстановления задается формулой

pk(t) = PfN(t) = kg = (1 F ) F k(t):

(4.9)

16	Глава 2. Процессы восстановления

4.3.Производящая функция числа восстановлений

Часто оказывается удобнее вычислять характеристики процесса восстановления с помощью его производящей функции (ПФ)

		X
p(z; t) = MzN(t) =		zkpk(t);
	0	k1
или ее преобразования Лапласа (ПЛ)
1
p~(z; s) = Z	e st p(z; t) dt:
0

Переходя в формуле (4.7) к ПФ, а затем к ПЛ и имея в виду, что ПЛ свертки равно произведению ПЛ, а ПЛ распределения положительной с.в. связано с его ПФ (преобразованием ЛапласаСтилтьеса (ПЛС) распределения) соотношением

11

F~(s) = Z	e st F (t) dt = s Z		e st dF (t) F (0) = f~(s) F (0);
	1

00

иучитывая, что в силу предположения (4.1) F (0) = 0, найдем

11

ZZ

0					0	0 X1
p~(z; s) =		e st p(z; t) dt =				e st		zk(1 F ) F k(t) dt =
							k<
=		zk	1	(1 f~(s)) f~k(s) =				1 f~(s)	:
	X						s(1 zf~(s))			(4.10)
0		k1 s

Зафиксируем этот результат в виде теоремы.

Теорема 4.2. ПЛ ПФ числа восстановлений определяется формулой (4.10).

В общем случае это выражение можно использовать для вычисления моментов числа восстановлений или его асимптотического анализа. Однако, иногда (хотя и не часто) путем его обращения и разложения удается получить явные выражения для распределения вероятностей числа восстановлений. Продемонстрируем это на примере пуассоновского процесса.

4.4.Пример. Пуассоновский процесс

Рассмотрим процесс восстановления с показательно распределенными длительностями безотказной работы мгновенно восстанавливаемых элементов.

F (x) = 1 e x; x 0:

(4.11)

Прямые вычисления по формуле свертки показывают, что распределение момента n -го восстановления Sn при этом задается формулой

n	( t)k
X
PfSn < tg F ( n)(t) = 1 e t	k!	:	(4.12)

k=0

Для вычисления распределения числа восстановлений воспользуемся формулой (4.10). Имея в виду, что ПФ показательного распределения равна

1

Z

f~(s) = e st e t dt = s +

0

§ 4. Процессы восстановления				17
из формулы (4.10) найдем
p~(z; s) =	1 f~(s)	=	1	:
			s + (1 z)
	s(1 zf~(s))

Используя единственность обращения преобразования Лапласа из последней формулы имеем

p(z; t) = e (1 z)t:

Наконец раскладывая последнее выражение в ряд Тейлора по степеням z для распределения числа восстановлений получим выражение

pn(t) = e t	( t)n	(4.13)
	n! :

Таким образом, распределение числа восстановлений процесса восстановления с показательно распределенными интервалами между моментами восстановления имеет пуассоновсое распределение, что оправдывает следующее определение.

Определение 4.3. Процесс восстановления называется пуассоновским, если определяющие его с.в. имеют показательное распределение (13.6)

4.5.Дополнения

Вопросы для контроля.

1.Дайте определение процесса восстановления. Какая разница между простым, общим и стационарным процессами восстановления?

2.В каких соотношениях используется условие положительности интервалов Xn между восстановлениями.

3.Какой физический смысл имеют процессы восстановления в теории надежности?

4.Нарисуйте траектории типичного процесса восстановления.

5.Покажите как связан процесс восстановления с соответствующим случайным блужданием.

6.Какой процесс восстановления называется пуассоновским?

7.Дайте определение дискретного процесса восстановления.

Упражнения.

1. Докажите соотношение

N(t) = n тогда и только тогда, когда Sn t < Sn+1:

2. Используя эквивалентность событий fNt = kg и fSk t < Sk+1 распределения суммы н.о.р. с.в., покажите, что распределение числа восстановления задается формулой (4.6)

pn(t) = PfN(t) = ng = (1 F ) F n(t):

g и формулу свертки для восстановлений процесса

3.Используя необходимые сведения из курса теории вероятностей и переходя в соотношении (4.6) к ПФ, а затем к ПЛ, выведите формулу для ПЛ ПФ распределения числа восстановлений общего и стационарного процессов восстановления.

4.Очевидно, что скачки дискретного процесса восстановления могут иметь место только в моменты кратные точкам роста распределений определяющих его величин. Поэтому при исследовании характеристик дискретных процессов восстановления вместо ф.р. моментов скачков процесса восстановления удобнее пользоваться соответствующими распределениями, выражающимися с

18 Глава 2. Процессы восстановления

помощью дискретных сверток распределений интервалов между восстановлениями, а вместо ПЛ ПФ процесса соответствующими s-преобразованиями,

p~(z; s) =	X
	sk p(z; k):
0	k1

Выведите формулу для распределения числа восстановлений дискретного процесса восстановления.

5.Выведите формулу для ПФ числа восстановлений дискретного процесса восстановления и

ееs-преобразования.

6.Процесс восстановления называется вырожденным (обрывающимся, или конечным), если распределение F ( ) вырожденное. Докажите, что для вырожденного процесса

lim N(t) < 1

t!1

по вероятности, с вероятностью 1 и в среднем.

7.Выведите формулы и докажите теоремы восстановления для дискретных процессов восстановления.

8.Найдите ПЛ для следующих функций:

а) f(t) = e t;

б) f(t) = sin(at);

в) f(t) = t.

Задачи.

1. Пусть 0 < S1 < S2 < положения точек пуассоновского процесса с интенсивностью, заданного на [0, 1). Каждая из точек удаляется с вероятностью p (0 < p < 1), независимо от остальных. Полученный таким образом процесс называется p-прореженным процессом. Докажите, что p-прореженный пуассоновский поток является пуассоновским и найдите его интенсивность.

2. ([3]) Рассмотрим с.п., X(t), который определяется следующим образом. На оси времени 0; t имеется стационарный пуассоновский (простейший) процесс N(t) с параметром . С.ф. X(t) попеременно принимает значения +1 и 1; при наступлении каждого события она скачком меняет свое значение с +1 на 1 или наоборот,

X(t) = ( 1)N(t):

Найдите характеристики MX(t), DX(t) и covX(s; t) случайного процесса X(t).

Библиографические замечания. Процессы восстановления первоначально начали изучать, повидимому, в связи с задачами теории надежности, откуда они и получили свое наименование. Обзор основных результатов теории восстановления можно найти в монографии [17].

§ 5. Функция и уравнения восстановления

19

§ 5. Функция и уравнения восстановления

5.1.Функция восстановления

Одной из основных и наиболее важных характеристик процесса восстановления является его функция восстановления.

Определение 5.1. Функцией восстановления называется математическое ожидание числа восстановлений,

H(t) = MN(t):

Если нужно особо подчеркнуть, что речь идет о простом, общем или стационарном процессах восстановления, то их функции восстановления будем отмечать соответствующими индексами,

Hо (t); Hп (t) или Hс (t).

Для вычисления функции восстановления обозначим через U(t) ряд
U(t) =	X	(5.1)
	F ( n)(t);

n 0

где свертки F ( n)(t) функции F (t) определяются соотношением (4.8). С использованием этого обозначения справедлива

Теорема 5.1. Для функций восстановления простого, общего и стационарного процессов восстановления справедливы представления

^	U(t):
Hп(t) = F U(t); Hо(t) = F1 U(t); Hс(t) = F

Доказательство. В силу совпадения событий (доказать, см. упражнение 1)

fN(t) ng = fSn tg	(5.2)
имеем для общего процесса восстановления	X
X
Hо(t) = M[N(t)] = nPfN(t) = ng =	PfN(t) > ng
n 0	n 1

XX

=	PfSn tg = F1 F ( n)(t) = F1 U(t);	(5.3)
n 1	n 0

где последнее равенство следует из известного из курса теории вероятностей факта, что ф.р. суммы независимых с.в. представляется в виде свертки ф.р. слагаемых. Подставляя теперь в по-

^	(t) получим соответствующие выражения для простого
следнее выражение F (t) или F (t) вместо F1
и стационарного процессов восстановления.

Заметим, что функция U(t) является функцией восстановления простого процесса восстановления с восстановлением в точке 0. Отметим два важных частных случая

Следствие 5.1. Если ф.р. F1(t) и F (t) интервалов между восстановлениями имеют плотно-

t

R

сти, F (t) = f(u) du, то функция восстановления H(t) также дифференцируема и ее производ-

0

ная h(t) = H0(t), называемая плотностью восстановления, представима в виде

X

hп(t) = f( n)(t); hо(t) = f1 hп (t); (5.4)

n 1

20	Глава 2. Процессы восстановления
где для сверток плотностей используется формула
f( n)(t) = Z0	t
	f( (n 1))(t u) f(u) du:

Доказательство проводится обычным дифференцированием дифференцированием (см. упражнение 2).

Аналогичные соотношения имеют место для дискретных процессов восстановления, для которых вместо функции или плотности восстановления удобнее рассматривать “дискретную” плотность восстановления, которую определим соотношением

h0 = H(0); hk = H(k) H(k 1) k 1;

(5.5)

где в случае необходимости соответствующие функции для простого, общего и стационарного процессов восстановления будем отмечать теперь верхними индексами “(п)”, “(о)” и “(с)” соответственно. При этом для вычисления дискретной плотности восстановления необходимо пользоваться дискретной сверткой распределений, которая определяется формулой

fk( n) = X fk( (in 1)) fi:

0 i k

Пусть задан дискретный процесс восстановления с дискретным распределением интервалов Xn между восстановлениями

fk(1) = PfX1 = kg; fk = PfXn = kg; n = 2; 3; : : : :

Следствие 5.2. Дискретная плотность восстановления дискретного процесса восстановления представима в виде

hk(п) =	fk( n)	; hk(о)	= f(1) hk(п):	(5.6)
	X
	n 1
Доказательство провести самостоятельно в виде упражнения (см. упражнение 3).

При вычислении функции восстановления иногда удобно пользоваться ПЛ ее плотности (или ПЛС функции восстановления)

11

ZZ

~ st st

h(s) = e h(t) dt = e dH(t)

	0		0
	или s-преобразованием дискретной плотности	X
	~		k
		s		hk:
	h(s) =
	0	k1

Переходя в соотношениях (5.4 ) и (5.6) к ПЛ и s-преобразованиям получим следующий результат.

Следствие 5.3. ПЛ плотности восстановления или s-преобразование дискретной плотнолсти восстановления выражаются через ПФ с.в. в виде

~	f~1	(s)
h(s) =			:	(5.7)
	1 f~(s)