Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский университет дружбы народов

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

шапкин задачи с решениями

.pdf

Скачиваний:

511

Добавлен:

15.04.2015

Размер:

2.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 4424 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Пусть

t =

è dt =

dx, сменим пределы интегрирования:

xÍ

1, t

xÂ

arctg

J =

lim

2 b→∞ ò

(1+ t

)arctg t

2 b→∞

Пусть z = arctg t, тогда dz =

и новые пределы интегриро-

1+ t2

вания будут:

= arctg1 = π , z

= arctg t

= arctg

arctg

- ln

lim lnz

lim

çlnarctg

2 b→∞

4 ø

π ö

1 æ

π 4

çlnarctg ¥ - ln

÷ =

çln

- ln

ln2

2 π

4 ø

интеграл сходится.

á) J = ò

- 5x + 6

Найдем точки, в которых подинтегральная функция терпит

разрыв: x2 – 5x + 6 = 0,

= 2,

= 3

и обе точки принадлежат

отрезку интегрирования [2; 5]. Тогда

5 ö

3−δ

d ç x -

d ç x

J = εlim→0

+ γlim→0

5 ö

δ →0

2+ε

3+γ

ç x

2 ø

= lim ln

x -

x2 - 5x + 6

23-+δε

+ lim ln

x -

- 5x + 6

35+γ

ε →0

γ →0

δ →0

(3-δ )2 -5(3-δ )+

-ln 2+ε -

+ε )2 -5(2+ε )+6

= limçln 3-δ -

ε→0

δ →0

+ 52 -5×5+6

-ln 3+γ -

+ limçln 5-

(3+γ )2 -5(3+γ )+6 ÷

γ →0 è

231

= ln 3 -	5	- ln 2 -		5		+ ln	5	+ 6 - ln 3 -		5	= ln		1	- ln	1	+
	2			2			2			2			2		2
+ ln	5 + 2		6 - ln		1	= ln	(5 + 2		6 )×2 = ln(5 + 2			6 ) —
		2			2			2

интеграл сходится.

4.3.Приложения определенных интегралов

4.3.1.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, и по-

строить схематические чертежи фигур. а) y = x2 + 2x – 16, 4x – y – 8 = 0.

Имеем параболу: y = (x + 1)2 – 17 и прямую: 4х – y – 8 = 0. Нужно определить заштрихованную площадь (рис. 53).



–2	0	4	x

Ðèñ. 53

232

Найдем общие точки фигуры (пределы интегрирования):

ì y = x2 + 2x -16, íî y = 4x - 8,

отсюда х2 – 2õ – 8 = 0 è õ1 = –2, õ2 = 4. Площадь фигуры определяется как:

S = òb | f (x) -ϕ(x) | dx = ò4 | (4x - 8) - (x2 + 2x -16) | dx =

−2

= ò

| 8 + 2x - x

| dx =

8x + 2

3 ÷

−2

= ç8

×4 + 4

×4

- ç8

×(–2) +

(–2)

= 36 (êâ. åä.)

á) (x2 + y2)2 = 18 xy.

Запишем это уравнение в полярной системе координат:

ìx = ρ cosϕ

íîy = ρ sinϕ

Подставив, получим:

ρ2 = 9 sin 2 ϕ.

Площадь лемнискаты (рис. 54) равна четырем заштрихованным площадям, тогда

ϕ2

S =

ρ 2dϕ =

×4

×9ò sin2ϕ dϕ = 2 ×9×

(-cos2

ϕ )

ϕ1

- cos0

9 (êâ.åä.).

= –9 çcos

4 =

Ðèñ. 54

233

4.3.2. Найти объем тела вращения вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями:

y = 0; y =	x2		; 2x + y -12 = 0.

4
Находим общие точки фигуры:
ì		x		2
ï y =					,

í			4
ï
î y = -2x +12,

отсюда х2 + 8õ – 48 = 0 è õ1 = –12,

õ2 = 4.

Заштрихованная фигура (рис. 55) вращается вокруг оси Ох.

Объем тела вращения определяется как:

æ x2 ö2

V =

òy

dx =

dx +

ò (–2x +12)

dx =

dx +

4 ÷

ò4

x4dx +4π ò6

(x2 -12x + 36)dx =

4π

-12

+ 36x

öö

ö æ

×4

+ 4π

6×

+ 36×6÷- ç

×4

- 6×

+ 36×4÷÷

è 3

øø

64π

32π

352

(êóá. åä.)



0	4 6	x

Ðèñ. 55

234

4.4. Приближенные вычисления определенных интегралов

4.4.1. Разбивая отрезок интегрирования сначала на 10 равных частей, а затем на 20 частей, найти приближенно интегралы J10 è J20. Определить точность с помощью разности ε = | J10 – J20 | .

			J = ò9		x2 + 4 dx
			−1
а) по формуле трапеций;
б) по формуле Симпсона.
Решение. Имеем подинтегральную функцию						y = x2 + 4 . Ñî-
ставим вспомогательную таблицу.

			При делении			При делении
xi	xi2	xi2 + 4	на 10 частей			на 20 частей
			y	i	= x2 + 4	y	i	= x2 + 4
				i	i		i	i
–1	1	5	y0 = 2,23607			y0 = 2,23607
–0,5	0,25	4,25				y1 = 2,06155
0	0	4	y1 = 2,0			y2 = 2,0
0,5	0,25	4,25				y3 = 2,06155
1	1	5	y2 = 2,23607			y4 = 2,23607
1,5	2,25	6,25				y5 = 2, 5
2	4	8	y3 = 2,82843			y6 = 2,82843
2,5	6,25	10,25				y7 = 3, 20156
3	9	13	y4 = 3,60555			y8 = 3,60555
3,5	12,25	16,25				y9 = 4,03113
4	16	20	y5 = 4,47214			y10 = 4,47214
4,5	20,25	24,25				y11		= 4,92443
5	25	29	y6 = 5,38516			y12 = 5,38516
5,5	30,25	34,25				y13		= 5,85235
6	36	40	y7 = 6,32456			y14		= 6,32456
6,5	42,25	46,25				y15		= 6,80074
7	49	53	y8 = 7,28011			y16 = 7,28011
7,5	56,25	60,25				y17		= 7,76209
8	64	68	y9 = 8,24621			y18 = 8,24621
8.5	72,25	76,25				y19 = 8,73212
9	81	85	y10 = 9,21954			y20 = 9,21954

235

а) По формуле трапеций. При делении на 10 частей:

9 - (-1) æ y0

y10

J10

+ 4 dx »

+ y1 + y2

+ ...+ y8

+ y9 +

÷ =

−1

×48,10604 = 48,10604.

При делении на 20 частей:

9 -

(-1) æ y0

y20 ö

J20

+ 4 dx »

+ y1 + y2

+ ...+ y18

+ y19 +

−1

×96,03356 = 48,01678.

Точность вычислений оцениваем с помощью разности:

ε = | J10 – J20 | = | 48,10604 – 48,01678 | = 0,08926.

б) По формуле Симпсона. При делении на 10 частей:

J10 = ò9

x2 + 4 dx »

9 - (-1) (y

−1

+ 4(y

+ y + ...

+ y

) + 2(y

+ y

+ ... + y

) + y ) =

10×3

×143,95475 = 47,98492.

10×3

При делении на 20 частей:

J20 = ò9

x2 + 4 dx »

−1

»9 - (×-1) (y0 + 4(y1 + y3 + ...+ y17 + y19 ) + 2(y2 + y4 + ...+ y16 + y18 ) + y20 ) = 20 3

= 2010×3 ×287,92215 = 47,98702.

Точность вычислений:

e = | J10 – J20 | = | 47,98492 – 47,98702 | = 0,0021.

Известно, что при одинаковом числе точек разбиения формула Симпсона дает более точный результат.

236

5. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

5.1. Частные производные и дифференциал функции

5.1.1. Найти частные производные

′

′′

функций:

zx,

zy,

zxy

à) z = (x – 4)2y2 + x4(y + 2)3 + 8.

Находим:

z¢x =

((x - 4)2 × y2 + x4 (y + 2)3 + 8)¢x = 2(x - 4)× y2 + 4x3 (y + 2)3;

z¢y = ((x - 4)2 y2 + x4 (y + 2)3 + 8)¢y = 2(x - 4)2 y + 3x4 (y + 2)2;

z¢õy = (2(x - 4)× y2 + 4x3 (y + 2)3 )¢y = 4(x - 4)y +12x3 (y + 2)2 .

x−4

á) z = e

y−2

Находим:

æ x−4 ö¢

x−4

æ x - 4 ö

x−4

z¢

çe y

−

= e y

−

e y

−

2 ;

×ç

y - 2

è y - 2

ø õ

æ x−4 ö¢

x−4

æ x - 4

x - 4

x−4

z¢ =

çe y

−

= e y

−

e y

−

2 ×

= -

2 ;

(y - 2)

è y - 2

ø ó

1 ö¢

æ 1

−

x−4

çe

x−4

z¢

× e y 2

× e y 2 +

y 2

- 2

ç y

è y

- 2 ø ó

y - 2 ç

ø ó

x−4

x - 4

x−4

x - 4

y−2

= -

× e

×ç -

= -

ç1+

÷ .

(y - 2)

y - 2

(y - 2)

y - 2

5.1.2. Найти дифференциал dz функции:

z = sin2 (4x2 – 2y2).

Полный дифференциал определяется как: dz= ¶¶xz dx+ ¶¶yz dy.

237

Найдем частные производные:
¶z	= z¢	= (sin2 (4x2 - 2y2 ))¢x = 2sin (4x2	- 2y2 )× (sin (4x2 - 2y2 ))¢x =

¶x	x
		= 2sin (4x2 - 2y2 )×cos (4x2 - 2y2 )× (4x2 - 2y2 )¢x =

		= sin2 (4x2 - 2y2 )×4 ×2x = 8xsin (8x2 - 4y2 ).
¶z	= z¢	= (sin2 (4x2 - 2y2 ))¢y = 2sin (4x2	- 2y2 ) (sin (4x2 -2y2 ))¢y =

¶y	y

=2sin (4x2 -2y2 )×cos (4x2 - 2y2 )× (4x2 - 2y2 )¢y =

=sin2 (4x2 -2y2 )×(-2 ×2y) = -4y×sin (8x2 -2y2 ).

Тогда полный дифференциал будет равен:

dz = 8x sin (8x2 – 4y2) dx – 4y sin (8x2 – 2y2) dy =

=4 sin (8x2 – 4y2) (2xdx – ydy).

5.1.3.Показать, что функция z = y ln (4x2 – 2y2) удовлетворяет

уравнению

z¢

y y

Найдем частные производные:

z¢

= (yln (4x2 -2y2 ))¢x = y×

×(4x2 -

2y2 )¢x =

8xy

4x2 -2y2

z¢

= (y×ln (4x2

-2y2 ))¢y

= y¢

×ln(4x2 -2y2 )+ y×(ln (4x2 -2y2 ))¢y =

= ln (4x2 -2y2 ) + y×

×(4x2 -2y2 )¢y = ln (4x2 -2y2 ) -

4y2

4x2 -2y2

Подставляем найденные частные производные

в уравнение:

8xy

2 æ

4y2

2y ln (4x2 - 2y2 )

çln(4x

- 2y

) -

;

- 2y

y è

2 ln (4x2

- 2y2 )

2 ln (4x2 - 2y2 )

;

4x2

- 2y2

4x2

- 2y2

2 ln (4x2 - 2y2 )

Получили тождество.

238

5.2.Приложения частных производных

5.2.1.Составить уравнение касательной плоскости и урав-

нение нормали к поверхности 4z = xy – 2x – 4y + 8 в точке М (–4; –2; 8).

Решение. Проверим принадлежит ли точка М поверхности:

4 · 8 = (–4) · (–2) – 2 · (–4) – 4(–2) + 8, 32 = 32,

следовательно, точка М принадлежит поверхности. Уравнение касательной плоскости имеет вид:

		æ ¶z ö				æ	¶z ö
z - z	=			(õ - õ		) + ç		÷	(y - y ).
		ç	÷		Ì
Ì						ç	÷		Ì
		è	¶x øÌ			è	¶y øÌ

Найдем значения частных производных в точке М:

¶z

ö¢

¶z ö

= ç

(xy - 2x - 4y + 8)

(y - 2);

¶x

¶x øÌ

(-2 -

2) = -1;

ö¢

¶z

¶z ö

= ç

(xy - 2x - 4y + 8)

(x - 4);

¶y è 4

ø ó 4

¶y øÌ

=41 (-4 - 4) = -2,

èподставим в уравнение касательной плоскости:

z – 8 = (–1) (x – (–4)) + (–2)(y – (–2)) èëè x + 2y + z = 0.

Уравнение нормали берем в виде:

x - xÌ

æ ¶z ö ç ÷ è ¶x øÌ

= y - yÌ æ ¶z ö ç ÷ çè ¶y ø÷Ì

èëè

z - zÌ

x + 4 y + 2 z -8

, èëè

-1

- 2

-1

x + 4 =

y + 2

= z - 8.

239

5.2.2. Найти градиент и производную по направлению a = 4i − 2 j функции z = ln (4x2 + 2y2) в точке А (–2; 4).

Решение. Градиент функции z = f (x, y) равен:

¶z

× j.

grad

z =

¶x

¶y

Найдем частные производные:

¶z

= (ln (4x2 + 2y2 ))¢x =

× (4x2 + 2y2 )¢x =

4x2 + 2y2

2x2 + y2

¶x

¶z

= (ln (4x2 + 2y2 ))¢y

× (4x2

+ 2y2 )¢y

2 ×2y

4x2 + 2y2

2x2 + y2

¶y

и их значения в точке А (–2; 4):

¶z ö

4 (–2)

¶z ö

2 ×4

= -

;

è ¶x øA

2 (–2)

+ 4

¶y øA

Тогда градиент в точке А равен:

(grad z)À = - 13ι + 13 j .

Производная функции z в направлении вектора à вычисляется по формуле:

¶¶az = ¶¶xz ×cosα + ¶¶yz ×sinα .

Найдем направляющий косинус вектора à :

	cosα =					4					=		4		=	2	,
					42 + (-2)2								20			5
тогда
sinα =	1- cos2				α =		1		æ	2		ö2		=	1-		4	=	1	.
sinα =	1- cos2				α =		1	- ç				÷		=	1-			=		.
									ç		5	÷					5		5
									è		5	ø					5		5
Следовательно,
æ ¶z	ö	= -	1	×	2	+	1	×	1		= -			1		= -		5	.
ç ÷		= -		×		+		×			= -					= -			.
è ¶a	øA		3		5		3			5				3 5				15

240

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 4424 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.04.201524.08 Кб21ЧИЧЕРИНА Н.docx
#
15.04.2015693.18 Кб83ЧМнервы.pdf
#
21.03.201684.99 Кб37что явл материалом исследования патанатомии.doc
#
27.11.2019107.52 Кб5Шаблон реферата.doc
#
14.04.2015156.32 Кб17Шанхайская организация сотрудничества .docx
#
15.04.20152.34 Mб511шапкин задачи с решениями.pdf
#
30.08.201933.1 Кб3шиза рус.docx
#
30.08.201942.48 Кб1шизофрения(2).docx
#
14.04.2015137.73 Кб79шпаргалки ТГП.doc
#
01.09.201979.37 Кб2шпора бжд.docx
#
01.09.201967.31 Кб7шпора бжд.docx