ftt14

Глава 3. Фазовые переходы II рода

30

кристаллической решетки, в частности, переход из неполярной фазы в полярную, или сегнетоэлектрическую (неполярная и полярная фазы соответственно не содержит или содержит хотя бы одну полярную ось).

При температурах выше 120 C титанат бария BaTiO

3 имеет кубиче- скую кристаллическую структуру типа перовскита. Эта параэлектриче- ская модификация относится к пространственной группе O 1h (P m3m). Â состав элементарной ячейки, имеющей форму куба, входит одна струк-

турная единица типа АВО3. Основу структуры составляют кислородные

октаэдры, в центре которых расположены ионы титана. Ионы кислорода расположены по центрам граней кубов, составленных из ионов бария. Ион титана имеет некоторую свободу перемещения в пределах кисло-

родного октаэдра. При температурах выше Т c вследствие интенсивного

теплового движения ион титана непрерывно перебрасывается от одного кислородного иона к другому, так что его положение, усредненное во времени, совпадает с центром ячейки. Благодаря центральной симметрии такая ячейка не обладает электрическим моментом. При температуре около 120 C ион титана скачком смещается вдоль одной из осей куба,

в результате чего возникает тетрагональная структура. Соседние ионы титана смещаются в том же направлении, что и приводит к появлению макроскопической поляризации, т.е. сегнетоэлектричеству. При температурах ниже 5 C по мере того, как ионы Ti смещаются вдоль других осей

куба, происходит второй фазовый переход, кристалл становится ромби- ческим (кристаллический класс C2v). Вблизи температур 70 90

C титанат бария испытывает третий фазовый переход и ниже этих температур имеет ромбоэдрическую структуру (класс C 3v). Переход Oh !

C, по-видимому, можно рассматривать как фазовый пере-

C4v ïðè 120

ход I рода, близкий к фазовому переходу II рода. Два других перехода являются переходами I рода.

Сегнетова соль NaKC4H4O6 4H2O (тетрагидрат двойной натриево-ка- лиевой соли винной кислоты или тартрат калия-натрия) обладает се-

гнетоэлектрическими свойствами (класс C 2 или 2) только в интервале температур между нижней точкой Кюри 18 C и верхней точкой Кю-

ри 24 C (выше этой температуры симметрия D

2 или 222). Разлагаться

(на смесь натриевого и калиевого тартратов) вещество начинает уже при 55,6 C.

Пример структурного несегнетоэлектрического перехода II рода SrTiO3, в котором при 105 K происходит смена Oh ! D4h.

(â) Переход в магнитоупорядоченное состояние с отличным от нуля

раметром порядка

Глава 3. Фазовые переходы II рода

31

средним магнитным моментом единицы объема M. Вещества, в которых возможет такой переход, называются ферромагнетиками . К ферромагнитным металлам относятся, например, 3d-металлы: Fe (Tc = 1043 K), Co (1403 K), Ni (631 K).

Обозначим в виде j(r) микроскопическую плотность тока в точке кристалла r (усредненную во времени). В магнитонеупорядоченной фазе j = 0 è M = 0. О веществах с j 6= 0 говорят, что они обладают магнитной структурой. Заметим, что при операции инверсии времени ток j меняет направление.

(ã)Антиферромагнитный переход. Тела с магнитной структурой, но

ñM = 0 называются антиферромагнитными. Простейший антиферро-

магнетик характеризуется двумя антипараллельными магнитными под- решетками M1 è M2 = M1 (в отсутствие внешних полей). Температура перехода в антиферромагнитное состояние иногда называется темпера-

турой Нееля. Примеры: MnO (Tc = 120 K); FeO (190 K).

Теория фазовых переходов II рода (теория Ландау, 1937 г.)

Предположение 1 (о параметре порядка). При фазовых переходах II рода всегда можно ввести величину (одну или несколько), называемую ïà-

и определенную таким образом, чтобы она равнялась нулю в одной фазе (более симметричной) и принимала отличные от нуля значения в другой (менее симметричной) фазе (значения положительные

или отрицательные; бывает, что является комплексной величиной).

Глава 4

Механизмы электрон-фононного взаимодействия

Из материала прошлого семестра мы используем здесь в первую оче- редь связь между вектором среднего смещения атомов и оператороами рождения и уничтожения акустических фононов

u(r) = q	2 Vh q !1=2 e(;q)c;qeiqr + e(;q) c;y qe iqr	:	(4.1)
X

Здесь плотность, V объем кристалла, e(;q) вектор поляризации фонона, индекс фононной ветви, пробегающий три значения (для

продольного фонона eL k q, для поперечных фононов eT 1 ? eT 2 ? q; ïðè

наличии анизотропии возможны квазипродольные и квазипоперечные фононы (при этом по-прежнему e(;q) e( 0;q) = 0); q = s q частота

фонона, s скорость соответствующего звука. Операторы рождения ( c;q) и уничтожения (cy;q) удовлетворяют соотношениям

p			p			(4.2)
hN0jc;qjNi = N0;N 1 N ; hN0jc;y			qjNi = N0;N+1 N + 1 ;

ãäå jNi состояние с N фононами ; q.

Приближение деформационного потенциала

Обсудим вначале, как меняется энергия электрона в кристалле под действием однородной статической деформации u . Рассмотрим, например,

32

Глава 4. Механизмы электрон-фононного взаимодействия

33

электронв в зоне проводимости кубического кристалла типа GaAs (зона1). В этом случае

	Ec; 1	(k; u ) = E(0) +	h2k2	+ cu + : : : ;	(4.3)
			2mc

ãäå u = divu относительное изменение объема, коэффициент c (êñè) называется константой деформационного потенциала. Заметим, что в

(4.3) могут входить только инварианты точечной группы T d, à èç âå-

личин u можно составить только один инвариант u , точно так же, как из произведений k k можно составить только один инвариант k2.

При более низкой симметрии (а также для более сложной зоны) число линейно независимых констант деформационного потенциала больше единицы.

 приближении деформационного потенциала предполагается,

что при учете взаимодйствия электронов с акустическими фононами потенциал электронов в поле фононных волн равен

DP
Vel-phon = cu ;						(4.4)
где тензор деформаций			+ @x !
u = 2		@x			;	(4.5)
1		@u		@u

u вектор смещения (4.1). Для относительного изменения объема (локального изменения) получаем из (4.1)

div u(r) =	q	2 VhsLq !1=2	iq cL;qeiqr cL;y	qe iqr	;	(4.6)
	X

где учтено, что q e( ;q) = ;L q.

Теперь можно рассчитать матричный элемент рассеяния электрона k ! k0, сопровождаемого испусканием и поглощением акустического

фонона. Расчет производится испусканием и поглощением акустического фонона. Расчет производится на огибающих волновых функциях элеpê-

трона в методе эффективной массы, т.е. на плоских волнах exp (ikr)= V :

h q

j el phonj

q i

"

q

1

2

1

2 V sLq #

1=2

c k0

q;k

k0; N

(L)

1 V -

k; N

(L)

= N

(L)

h

( iq)

;

+

DP

(4.7)

Глава 4. Механизмы электрон-фононного взаимодействия										34
где учтено, что		eik0r		!			eikr
Z						e iqr
	dr	p					p		= k0 q;k :
			V					V

V

Следовательно, обратное время жизни электрона в состоянии k по отношению к рассеянию на фононе

1

=

2

hq

N(L) +

1 1

2

(E

k0

hs

q

E

) ;

h

;k

2 V sL

2

L

k

q

c

k

X0

ãäå (L)

среднее число заполнения фононов, определяемое в равнове-

Nq

сии распределением Бозе Энштейна

(L)

1

Nq

=

:

e(h q

=kBT ) 1

(L)

В квазиупругом приближении, когда h q kBT; E, имеем Nq

kBT=h q 1 è

1

2

X0

kBT

2

Ek) =

c2kBT

k =

h 2

2 V s2

c (Ek0

h s2 g(Ek) ;

(4.8)

k

L

L

где плотность электронных энергетических состояний

p

3=2

2

2

m

k0

(Ek0 Ek) =

qE E(0) :

g(E) = V

2

h2c

X

Таким образом, в квазиупругом приближении

p

kBT

m3=2 2p

;

1

2

=

E

(4.9)

(E)

h4sL2 c

c

где для краткости положено E(0) = 0. В книге Гантмахера и Левинсона Рассеняие носителей тока в металлах и полупроводниках вводится

величина

p

2m3=2

1

2

3=2

=

c c

(h LO)

;

DA

h4sL2

ãäå LO частота продольного оптического фонона. Согласно (4.9) име-

åì

!

1=2

(E) = DA kBT

E

:

h LO

h LO

Глава 4. Механизмы электрон-фононного взаимодействия	35
В конце указанной книги в табл. П.3 и П.5 приведены значения	LO è

DA для некоторых полупроводников. В частности, в InSb h LO=h = 284

K, DA = 60 ïñ; â GaAs h LO=h = 421 K, DA = 4 пс. Таким образом, в GaAs при T = 300 K, E E(0) = kBT получаем (E) 6:6 10 12 ñ.

Пьезоэлектрический механизм взаимодействия

Напомним, что пьезоэлектрическим эффектом называется индуцированное деформацией появление электрической поляризации среды

P (u) = e u ;

(4.10)

ãäå e пьезоэлектрические коэффициенты. Пьезоэлектрические коэффициенты вводят также в виде P (u) = d , где тензор напряжений. Очевидно, d = e s , ãäå s тензор упругой податливости. По порядку величины e e=a2, c e2=a (a постоянная

решетки).

Чтобы найти электрическое поле, создаваемое произвольной деформацией u (r; t), нужно решить уравнение Максвелла

div D = 0 ; ãäå D = " + 4 P (u) :

(4.11)

Мы предполагаем поле деформации u (r; t) медленно меняющимся во времени, так что rot E = 0 è E = r'. Тогда для поля ' получаем

уравнение	@2'(r)
"		@u
		+ 4 e		= 0 ;	(4.12)
	@r @r		@r

причем в (4.12) u можно заменить на @u =@r (òàê êàê e = e ).

PA	= e'(r)
Vel-phon							(4.13)
	= e q		2 Vhs q !1=2 qc qeiqr + qcyqe iqr				;
	X
				e q q e(;q)
		q = 4				:	(4.14)
					" q q

Для примера рассмотрим кристаллы с точечной симметрией T d. Согласно общему принципу (стр. 26 конспекта лекций) компоненты поля- ризации P (представление F2 èëè 15) могут быть связаны только с

Глава 4. Механизмы электрон-фононного взаимодействия

36

компонентами uyz; uzx; uxy, также преобразующимися по представлению

F2:

Px(u) = e14uyz ; Py(u) = e14uzx ; Pz(u) = e14uxy ;

ãäå e14 = exyz единственный пьезомодуль кубического кристаллы (приняты обозначения пары координат: 1 xx, 2 yy, 3 zz, 4 yz, 5 zx, 6 xy). В кристаллах с центром инверсии e = 0.

Для простоты мы не будем различать поляризацию фонона, введем некоторую эффективную константу ~

, не зависящую от направления q, и уберем в (4.13) суммирование по (под s будем понимать также неким образом усредненную величину скорости звука s~). Матричный элемент оператора (4.13) между состояниями

eikr

è jk0; Nq 1i

jk; Nqi = jNqi

p

V

равен, сравните с (4.7),

h

q

j

phonj

qi

"

2

2 V sq~

#

1=2

k0

1

V

el

q

+

e ~ ;

(4.15)

; N

-

k; N

=

N

1

h

PA

1

Вычислим транспортное время релаксации

1

X0

d

(4.16)

1(Ek)

=

[1

cos (k; k0)] Wk0 k :

k

Для деформационного механизма 1 и уходное время совпадают. Для пьезоэлектрического механизма в квазиупругом приближении

1

2

X0

~ 2

kBT

h(e )

d

(Ek0 Ek) :

k

)

= h

1(E

k

[1 cos (k; k0)] 2 V sq~ 2 hsq~

Òàê êàê ïðè k = k0

1

cos (k; k0)

=

(k2 kk0)=k2

=

1

;

k2 + k02 2kk0

2k2

òî

q2

d

1

~

2

kBT

~ 2

kBTh

1

(e )

(e )

=

g(Ek) =

g(Ek) /

p

:

(4.17)

1(Ek)

2 s~2k2h

2 s~2Ekmc

Ek

Глава 4. Механизмы электрон-фононного взаимодействия

37

Из (4.8), (4.17) получаем

DP

= 4

~

!

2

s~

2

2

a!

2

m E 1 :

PA(E)

m E

1 (E)

1

e

sL

h

h

1

1

c

c

c

Фр¼лиховский механизм взаимодействия с оптическими фоноами (PO)

Сдвиг подрешеток в кристаллах типа GaAs или NaCl вызывает появление макроскопического поля '(r), которое и оказывает воздействие на

носители тока. В указанных кристаллах с двумя атомами в элементарной ячейке, как можно показать, соответствующий оператор электронфононного взаимодействия

Vel-phon = e'(r) = ie	V "	!	1=2		q	cLO;qe		cLOy	;qe		; (4.18)
			q				iqr
PO	2 h LO		X	1						iqr

ãäå LO частота продольного оптического фонона, (" ) 1 = "11 "0 1. Заметим, что в GaAs "1 = 10:9; "0 = 13:2 (ïðè T = 300 K).

Вычислим уходное время с испусканием (+) или поглощением ( ) LO-фонона:

1

2

e2 2 h

1 1

=

LO

NLO +

(Ek0 h LO Ek)

( )

h k

q2

V "

2

2

LO

X0

NLO +

2e2

LO

1

1

=

(2 )

"

2

2

1

d cos

1 k02dk

2 Z

Z

0

(Ek0 h LO Ek)

k2 + k02

2kk0

cos

(2 )3

=

1

2

0

+ k :

(4.19)

hvk" LO NLO + 2

ln k

e2

1

1

k

k

Здесь vk = hk=m , NLO числа заполнения

оптических

фононов,

k =

m

h LO)

1=2

2

(Ek

:

h2

электрон-фононной связи Фр¼лиха. q

Величина = e2=(hv

0" ), ãäå v0 =

2h LO=m

, называется константой