Lektsia_VychMat_9

3) Поскольку, по определению,

Bn = An – qn E = An + pn E = ABn-1		+ pn E ,
используя утверждение 2, имеем:
ABn-1 = – pn E .

Отсюда, так как pn = (-1)n·det (A) ¹ 0, и

следует утверждение 3.

Перейдём к нахождению собственных векторов матрицы A.

Пусть собственные числа l1, l2, …, ln уже вычислены и среди них нет совпадающих.

Построим матрицу

C	= ln-1E + ln-2 B + ln-3B	+ ...+ B .
k			n-1
	k k 1 k 2
Покажем, что любой ненулевой столбец

матрицы Ck является собственным вектором
матрицы A, соответствующим собственному
числу lk .
Действительно,		(B1	- A)+ lk		(B - AB1 )+ ...
(lk E - A)Ck = lk E + lk
n	n-1	14243		n-2	14243
		p1E			p2 E
...+ lk (Bn-1 - ABn-2 )- ABn-1			= P(lk )E = 0
1442443	123
pn-1E	- pn E

т.е. (lk E - A)Ck - нулевая матрица.
Это значит, что для любого столбца U матрицы
Ck
	(lk E - A)U = 0,
что равносильно:
	AU = lk U .

Итак, построив для каждого собственного числа lk матрицу Ck и взяв её ненулевой столбец, получим все собственные векторы матрицы A.

Дмитрий Константинович Фаддеев
(1907-1989)