алгебра и геометрия 2010

=(3,3,-4,-3) =(1,0,0,0)

=(0,6,1,1) =(0,1,0,0)

=(5,4,2,1) =(0,0,1,0)

=(2,3,3,1) =(0,0,0,1)

=(i, -i, 1, 2i)

Алгебра и геометрия

Вариант 7

1. а) Доказать, что множество всех квадратных матриц с действительными элементами, и нулевой суммой элементов, стоящих на главной диагонали с обычными операциями сложения и умножения на числа образует векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.

2. Пусть – подмножество в , состоящее из строк, сумма нечетных координат которых равна нулю. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .

3. Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.

=(1,3,0,5) =(1,1,1,1)

=(0,1,0,2) =(0,1,1,1)

=(1,2,1,3) =(0,0,1,1)

=(0,0,0,1) =(0,0,0,1)

=(i, 2i, 3+i, 1)

Алгебра и геометрия

Вариант 8

1. а) Доказать, что множество всех квадратных матриц с действительными элементами, у которых первый и последний столбец, первая и последняя строка, нулевые с обычными операциями сложения и умножения на числа образует векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.

2. Пусть – подмножество в , состоящее из строк, у которых сумма четных координат равна 0. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .

3. Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.

=(1,0,2,1) =(1,0,0,0)

=(0,1,0,2) =(1,1,0,0)

=(3,1,4,5) =(0,0,1,0)

=(1,0,0,0) =(0,0,0,1)

=(i, 1, 0, 0)

Алгебра и геометрия

Вариант 9

1. а) Доказать, что множество всех квадратных матриц с действительными элементами, имеющими нулевыми (главную и побочную) диагонали с обычными операциями сложения и умножения на числа образует векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.

2. Пусть – подмножество в , состоящее из строк, у которых сумма нечетных координат равна 0, а все четные одинаковы. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .

3. Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.

=(2,3,0,5) =(1,0,2,1)

=(0,1,0,2) =(2,0,1,0)

=(1,2,2,3) =(3,1,4,5)

=(0,0,0,1) =(1,0,0,0)

=(1, 2+i, 2i, 0)

Алгебра и геометрия

Вариант 10

1. а) Доказать, что множество квадратных матриц с действительными элементами и нулевой суммой элементов, стоящих на побочной диагонали с обычными операциями сложения и умножения на числа образует векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.

2. Пусть – подмножество в , состоящее из строк, у которых первая и последняя координаты нулевые, а сумма всех остальных равна нулю. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .

3. Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.

=(1,3,0,5) =(1,0,0,0)

=(0,2,0,2) =(0,1,0,0)

=(1,2,1,3) =(0,0,1,1)

=(0,0,0,1) =(0,0,0,2)

=(-i, 2, i, 2+i)