theor_mech_dynamics

ющей обобщенной координаты должно быть положительным;

4)вычислить кинетическую энергию при абсолютном движении и выразить эту энергию через обобщенные координаты и скорости;

5)вычислить все частные и обыкновенные производные и подставить их в систему

(9).

Пример 6. Кинетическая энергия системы

с

одной

степенью свободы равна

E =4 q/ 2 , обобщенная сила Q=76−2 q . Найти значение ускорения при q=2 .

∂ E

/

∂ E

d

∂ E

/ /

Решение. Частные производные

=8 q

,

=0

,

=8 q

.

Обобщен-

∂ q/

∂ q

dt

∂ q/

ная сила Q 2 =76−2 2=72 . Тогда q/ /=72/ 8=9 .

Пример 7. Дано m1=1 , m2=2 ,

m3=2

кг. Найти ускорение

тела 3 (рисунок 6).

Решение. Общая кинетическая энергия системы определяется

точно также, как при применении теоремы об изменении кинети-

ческой энергии. Получим следующее выражение

27 v2

. Выбе-

E=

3

16

рем обобщённую координату q=S3 , тогда кинетическая энергия

– Рисунок 6

примет вид

27( S`/ )2

. Вычислим

частные

и

обыкновенные

E=

3

16

∂ E

d

∂ E

/

/ /

производные

из

выражения (7):

=

3,375 S 3

,

(

)=3,375 S 3

=3,375 a3 ,

∂ q/

dt

∂ q/

∂ E

∂ E

d

∂ E

∂ E

∂ q

=

=0 . Тогда левая часть выражения (7) примет вид

(∂ q/ )−

∂ q =3,375 a3 .

∂ S 3

dt

Для определения обобщённой силы найдём возможную работу всех активных сил на возможном перемещении δ q=δ S3 : δ AG1 =−G1 δ SC cos 600=−5 δ SC =−2,5 δ S3 , так как

	δ SC =	δ S3	и δ AG3 =G3 δ S3=20 δ S3 ; общая работа будет равна δ A=17,5 δ S3 , а обоб-
		2

щённая сила соответственно Q=17,5 Н.

Тогда из равенства (7) получим a3=5,185 м/с2, что совпадает с решением по теореме об изменении кинетической энергии.

Сделаем проверку с помощью общего уравнения динамики. Найдём возможные ра-

боты активных сил: δ AG3=G3 δ S3=20 δ S3 ,
δ AG1	=−G1 δ SC =−10 0,5 0,5 δ S		3=−2,5 δ S3 , найдём возможные работы сил инерции
	τ	τ		aCτ =0,5 a3
δ AΦC=−ΦC δ SC =−1 aC δ SC =[δ sC =0,5 δ S3]=−0,25 a3 δ S3 ,
δ AΦ3=−Φ3 δ S3=−2 a3 δ S 3 и возможные работы пар сил инерции
δ AM	=−M	1 δϕ1=−ε1 IC δ ϕ1=	[	a3=ε1 AP		a3 δ S3
				δ S = AP δ ϕ	=−
	1			I C =3 m1 r12 0,51]	8		,

21

δ AM =−M 2 δ ϕ2=−ε2 IO δ ϕ2=	a3=ε2 r2	]	=−a3 δ S3
	δ S =r δ ϕ
2	[I O=3m2 2r22 0,52			. Складывая все работы и

приравнивая сумму нулю, получим уравнение: 17,5=3,375 a3 , откуда a3=5,185 м/с2, что совпадает с вышеприведёнными значениями.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

1 (18.3.2). Определить момент М пары сил, который необходимо приложить к барабану 2 радиуса r=0,2 м для равномерного подъёма груза 1 весом 200 Н. Ответ: 20 Нм.

2 (46.9). Полиспаст состоит из одного неподвижного и двух подвижных блоков. Определить в случае равновесия отношение массы поднимаемого груза к силе Р. Ответ: 4.

3 (46.10). Дан	кривошипно-кулисный механизм, при этом
OC=1 , OK =0,3	м, ϕ=300 . Найти величину силы Q для урав-

новешивания силы P =40 H. Ответ: 16 H.

4 (2.4.35) Определить реакции в заделке А, если T =50 Н, Q=100 Н, а размеры AB=BC =2 м. Сделать проверку.

5 (46.27). Балка, которая состоит из двух частей, закреплена в жёсткой заделке и подвижном шарнире. Определить реакцию

опор, если F =10 Н,	α=600 и a=1 м. Ответ: X A=5 ,
Y A=4,33 H, M A=8,66	Нм.

6 (3.2.9) Два стержня соединены в шарнире В. Определить реакции в опорах, если T =60 , Q=60 Н и AD= DB=2 , BE= EC=3 м. Сделать проверку.

22

7 (47.4). Два груза массы M 1=20 M 2=34 кг подвешены на тросах, которые намотаны на барабаны с радиусами r1=0,05 , r2=0,1 м и массами mI =4 , mII =8 кг равномерно распределёнными по ободам колёс. Определить угловое ускорение

колёс и	натяжение в нитях. Ответ: ε=49 1/с2, T 1=246 ,
T 2=167	Н.

8 (47.5). К системе блоков подвешены грузы с массами M 1=10 , M 2=8 кг. Определить ускорение второго груза и натяжение нити, пренебрегая массами блоков. Ответ: a2=2,8 м/с2,

T =56,1 Н.

9 (19.2.13). Определить угловое ускорение барабана 1, если к нему приложена пара сил с постоянным моментом M =0,2 Нм, массы тел m1=m2=1 кг, моменты инерции относительно центральных осей I 1=I 2=0,02 кг·м2, радиусы r1=r2=0,2 м. Ответ: 2,5 1/с2.

10 (19.3.11). Определить модуль силы F, под действием которой тело 1 массой 10 кг поднимается с постоянным ускорением a=1 м/с2. Ответ: 108 Н.

11 (19.3.20). Определить модуль силы F, под действием которой центр С однородного сплошного катка 1, масса которого 20 кг, а радиус r=0,4 м, движется вверх с постоянным ускорением aC =1 м/с2. Ответ: 128 Н.

12 (19.3.16). Определить модуль момента М пары сил, если тело 1 поднимается с ускорением 1 м/с2, массы тел m1=m2=2 кг, радиус однородно цилиндрического барабана 2 r2=0,2 м. Ответ: 4,52 Нм.

13 (20.2.2). Однородный стержень длинной 3 м и массой 30 кг вращается в вертикальной плоскости. Определить обобщённую силу которая соответствует обобщённой координате ϕ , в момент времени, когда ϕ=450 . Ответ: -312 Нм.

23

14 (20.2.8). Грузы 1 и 3 массой 30 и 10 кг присоединены к нерастяжимому тросу, который переброшен через блок 2 массой 5 кг. Определить обобщённую силу, которая соответствует обобщённой координате s1 .

15 (20.5.3). Обобщённая сила системы Qϕ=−20sinϕ , где Qϕ – Нм, ϕ – обобщённая координата, рад. Определить угловое ускорение в момент времени, когда ϕ=3 , если кинетическая энергия системы E=5(ϕ/)2+ 30 ϕ/ sinϕ . Ответ: -0,282

16 (20.5.13). Механическая система, которая состоит из тела 1 массой 20 кг и цилиндра 2 с моментом инерции I O=2 кг●м2, имеет кинетическую энергию E=35( s/ )2 . Определить ускоре-

ние тела 1, если момент пары сил M =20 Нм, радиус r=0,2 м. Ответ: 0,470

17 (20.5.15). Определить угловое ускорение катка 1, который катится без скольжения, если на блок 2 действует пара сил с моментом M =0,6 Нм. Каток 1 считать однородным цилиндром массой 4 кг и радиусом 0,5 м. Ответ: 0,4 1/с2.

18 (20.5.14). Определить угловое ускорение диска 1, если на него действует пара сил с моментом M =0,4 Нм. Массы и радиусы дисков одинаковы и равны 10 кг и 0,2 м соотвественно. Ответ: 1 1/с2.

5. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРА

Опр. 1. Удар – это явление, при котором под действием определенных (ударных) сил F уд скорости точек тела за очень малый промежуток времени τ (время удара) изменяется

на конечную величину.

Рассмотрим явление удара о неподвижную поверхность. Опр. 2. Удар называется центральным, если нормаль к поверхности в точке его касания с плитой проходит через центр

масс тела.

Опр. 3. Удар называется прямым, если скорость центра масс в начале удара была направлена по нормали к поверхности падения. В противном случае удар называется косым.

Пусть v, u – начальная и конечная скорости при ударе, тогда
по теореме об изменении количества движения основное уравне-
ние теории удара имеет вид:	– Рисунок 1
(1)	m ( u− v )=∑ pk = pуд ,

24

где pуд – ударный импульс вида

	τ	cp
(2)
	pуд =∫ F	уд dt =F уд τ ,
	0
где – продолжительность удара.		Aуд равна скалярному произведению удар-
Теорема Кельвина. Работа ударных сил
ного импульса pуд	на векторную полусумму начальной v		и конечной u скорости при
ударе:	Aуд=0,5 pуд ( u+ v ) .
(3)

Опр. 4. Величина k, равная отношению модуля нормальной составляющей относительной скорости тела в конце удара к её величине в начале удара, называется коэффициентом восстановления при ударе:

(5)	k=un / vn=	h		tg
			=		,
		H		tg
где h – высота подъёма после удара, H – высота падения,						– угол падения, – угол
отражения.
Величина k характеризует упругость удара: если				k=1 , то удар называется абсолют-

но упругим, если k=0 , то абсолютно неупругим.

Теорема Карно. Потеря кинетической энергии в случае мгновенного наложения связей и отсутствия ударного трения равна кинетической энергии от потерянной скоро-

	сти точки:
	(6)	EI −EII=	1−k	m v−u 2 .
			1 k
				2
	Рассмотрим явление удара двух движущихся тел, если m1 , m2 – массы двух тел;
	v1 , v2	– скорости центров масс в начале удара;		u1 , u2 – скорости центров масс в конце

удара. Будем предполагать, что ось Ох проходит через центры масс от первого тела ко второму. Для появление удара необходимо выполнение двух условий: v1X v2X и u1X ≤u2X ,

то есть первое тело догоняет и ударяет второе.

Закон сохранения количества движения: общее количество движения до удара и после равно между собой:

(6)	m v X m v X =m uX m uX .
	1	1	2	2	1	1	2	2

При ударе двух тел его интенсивность зависит от соотношения между скоростями до удара v1X −v2X , поэтому коэффициент восстановления k будет определяться по формуле

uX −uX

(7) k= 2 1 . vX1 −vX2

Формула теоремы Карно примет вид:

		1−k		m		1		m	2
(8)	EI −EII=			[			v1X −u1X 2			v2X −u2X 2	].
		1 k			2			2

25

		ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
1	(22.1.1). На материальную точку массой 0,2 кг, которая движется		со скоростью
v
	=10 i	−2 j , подействовала ударная сила. Скорость точки после удара	u=−6 i	+8 j .

Определить значение ударного импульса. Ответ: 3,77.

2 (22.1.2). Материальная точка массой 0,1 кг ударяется о неподвижное основание и отскакивает. Скорость до удара v=7 м/с образует с касательной Мх угол α=640 . Скорость после удара u=3,4 м/с образует

угол с касательной β=690 . Определить проекцию ударного импульса на ось Мх и Му. Ответ: -0,185.

3 (22.1.3). Материальная точка М массой 1 кг движется сос скоростью v=10 м/с, сталкивается с поверхностью и отскакивает со скоростью u=8 м/с. При этом α=600 , β=750 . Определить проекцию ударного импульса на ось Мх и Му. Ответ: 7,07.

4 (22.1.13). Определить в кН среднюю силу удара молотка массой 0,5 кг при абсолютно неупругом ударе по наковальне, если скорость до удара 10 м/с и время удара 0,0002 с.

Ответ: 25.

5 (22.1.14). При прямом ударе материальной точки массой 1 кг по неподвижной преграде коэффициент восстановления k=0,6 , а скорость до удара 2 м/с. Определеить потери кинетической энергии. Ответ: 1,28.

6 (22.2.6). Шайба 1 массой m1 ударяет по неподвижной шайбе 2 со скоростью 1 м/с. Предполагая, что удар прямой центральный с коэффициентом восстановления k=0,5 , определить скорость второй шайбы после удара, если m1=3 m2 . Ответ: 1,13.

7 (22.2.9). Два тела 1 и 2 сталкиваются с противоположными по направлению, но равными по величине скоростями v!=v2=6 м/с. Коэффициент восстановления k=0,5 . Массы тел m1=2 , m2=1 кг. Определить скорость второго тела после удара. Ответ: 6.

6. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

Опр.1. Силовая функция U x , y , z – это функция, дифференциал которой равен

элементарной работе dU =dA	dU=Fx dx F y dy Fz dz .
(1)

Силовая функция определяет собой потенциальное силовое поле, в котором работу потенциальной силы на любом перемещении точки М можно определить, не зная заранее траекторию движения точки М по формуле

			M2
(2)	A M1	M2	=∫ dU x , y , z =U2−U1 .
			M1

Опр. 2. Потенциальная энергия точки в положении М – это скалярная величина П,

равная той работе, которую произведут силы поля при перемещении точки из положения М в нулевое:

26

(3)	Π= A(M O)=U O−U M=−U M .

Работу потенциальной силы при перемещении из точки M1 в M2 можно определить по формуле:

(4)	A(M1 M2 )=Π1−Π2 .

Из формулы (4) получим формулы для работы силы тяжести ΠG=G h , силы упругости ΠУ = k 2x2 , где х – деформации.

Закон сохранения механической энергии. При движении под действием потенциальных сил сумма кинетической и потенциальной энергий остаётся постоянной в любой момент времени.

Опр. 3. Консервативная система точек – это система, для которой выполняется указанный закон сохранения. Система, для которой общая энергия уменьшается, называется

диссипативной системой.

Опр. 4. Равновесие системы называется устойчивым, если при малом отклонении системы от положения равновесия все последующие отклонения будут еще меньше. В противном случае равновесие будет неустойчивым.

Теорема Лагранжа – Дирихле (достаточное условие). Если потенциальная энергия консервативной системы имеет в положении равновесия строгий минимум, то равновесие системы в этом положении является устойчивым.

Рассмотрим малые свободные колебания системы с одной степенью свободы. Пусть консервативная система из n точек с одной степенью свободы находится в положении устойчивого равновесия с обобщённой координатой q=0 . Приложим к ней малое по величине возмущение. Тогда обобщенная координата q и её производная q/ так же будут малы. Уравнение Лагранжа 2-го рода в этом случае будет иметь вид:

d ∂ E

∂ E

∂

(5)

∂ q/ −

=0 .

dt

∂ q

∂ q

Можно показать, что

∂ E

=a q/ ,

∂ E

=0

, ∂Π =k q , где a 0 – так называемый

/

∂ q

∂ q

∂ q

инерционный коэффициент; k – обобщённый коэффициент жёсткости. Тогда дифференциальное уравнение малых колебаний совпадает по виду с уравнением свободных прямолинейных колебаний и имеет вид:

(6) q/ /+b2 q=0 , λ2=k /a .

Пусть на точки системы, когда она выведена из равновесного положения, кроме потенциальных сил начинают действовать ещё силы вязкого сопротивления, тогда обобщённая сила имеет вид Q=−μ q/ и уравнение имеет вид

(7)	q/ /+2 b q/ +λ2 q=0 , λ2=k /a , 2 b= / a .
Пусть кроме того на точки системы действует ещё вынуждающая периодическая
сила R=R0 sin (ω t) . Тогда уравнения малых колебаний имеет вид:
(8)	q/ /+2 b q/ +λ2 q=P 0sin(ω t) , λ2=k /a , 2 b=μ / a , P0 =R0 / a .

Пример 1. Малые колебания задаются дифференциальным уравнением следующего вида q/ / +(4 π)2 q=0 . Найти амплитуду колебаний, если q0 =0,02 м, q0/ /=2 м/с.

Решение. Решим дифференциальное уравнение: q=C1 cos( 4 π t)+C2 sin(4 π t) .

	С учётом начальных значений	C	=0,02	и	C	2	=	2	=0,159 , откуда амплитуда определя-
								4 π
		1

27

ется по формуле A=√C21 +C22=0,160 м.

Пример 2. Определить собственную частоту малых колебаний однородного жёсткого стержня длиной l, если его масса равна 3 кг, коэффициент жёсткости 400 Н/м, точка А делит стержень пополам.

Решение. Пусть перемещение точки А sA является обобщённой координатой системы, тогда v A=OA ωOA=l ω2OA . Составим уравнение Лагранжа вто-

I ω2

рого рода. Найдём кинетическую энергию стержня: E= O OA =

2

=	m l2 ωOA2	=2 (s/A)2 .
	3 2
	Найдём обобщённую силу Q. На систему действуют две силы:						– Рисунок 1
сила тяжести с энергией					ΠG=m g sA и сила упругости пружины с
энергией ΠУ =			k	(Δ+sA)2	, где	– длина пружины в статическом равновесии. Тогда
2

∂ Π

=m g+k (Δ+sA) . В положении равновесия, когда

sA=0 , должно выполняться ра-

∂ sA

m g

∂ Π

∂ Π

венство

=0 , откуда m g +k Δ=0 Δ=− k

. Тогда

=k s A . Подставим выра-

∂ sA

∂ sA

жение для кинетической энергии в уравнение Лагранжа:

∂ E

=4 s/A ,

d

∂ E

=4 s/A/ ,

/

/

∂ E

∂ sA

dt ∂ sA

=0 , откуда получим дифференциальное уравнение

4 s/A/ +400 sA=0 и следователь-

∂ sA

c

400

но, k=√a

=

√ 4 =10 .

Ответ

k=10 1/c.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

1 (21.1.2). Определить период свободных колебаний системы, если дифференциальное уравнение колебаний этой системы имеет вид 56q// +825q=0 , где q – обобщённая координата. Ответ: 1,64.

2. Тонкий однородный стержень длиной 1 м и массой 2 кг закреплён в точке А и удерживается в вертикальном положении горизонтальной пружиной с жёсткостью k, прикреплённой в точке О, причём AO=0,3 м. Определить величину жёсткости пружины, при которой будет сохраняться устойчивое равновесие, и собственную частоту колебаний пружины.

3. Решить предыдущую задачу, если на каждый элемент стержня ds действует R=−β ds v . Найти коэффициент β. Ответ: k>90 , a=0,667 ,

28

4. Однородный стержень АВ длиной 1 м и массой m1=2 кг закреплён в шарнире А. В точке B закреплён нерастяжимый трос,

который перекинут через блок С и несёт груз массой m2=√13 .

Считая, что AB=AC , определить угол φ, при котором будет положение равновесия, а также определить период собственных ко-

лебаний	около положения равновесия. Ответ: ϕ= π3 , τ=2,451 с.
5. Дана	механическая	система,	для	которой m1=12 , m2=6 ,
m3=3 кг; R1=R2=0,5 ,		r2=0,25	м;	k=900 Н/м. Найти частоту

и период малых колебаний возле положения равновесия, а также величину . Ответ: λ=5,48 1/c; τ=1,11 c; Δ=6,5 см.

29