тест 2 введение в мат.анализ
.docСледовательно, начиная с n=499, все члены последовательностей будут попадать в заданный интервал, а значит за его пределами находится 498 членов.
-
Найти предел функции
. Для раскрытия неопределенности необходимо выделить в числителе и знаменателе критический множитель x-3.
Т.к. а то получим предел
5. Вычислить . Чтобы выделить в числителе и знаменателе дроби критический множитель (x-3), умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, а именно и числитель разложим на множители
-
Вычислить при непосредственной подстановке получим неопределенность , т.к. и
В этом улучае можно свести предел ко второму замечат. пределу
-
Является ли функция непрерывной?
Функция является непрерывной на каждом из заданных промежутков, поэтому она может иметь разрыв в точке x=3. Исследуем функцию на непрерывность в точке x=3.
Функция y=f(x) является непрерывной в точке если предел функции в x0 точке равен значению функции в данной точке, т.е.
Вычислим односторонние пределы функции в точке x=3,
Т.к. односторонние пределы не равны, то функция не имеет предела в точке x=3 и терпит разрыв первого рода.
Точка является точкой разрыва первого рода, если существуют конечные неравные односторонние пределы.
Следовательно, функция f(x) не является непрерывной.
-
Будет ли функция принимать значение, равное нулю на отрезке ?
Для решения применим первую теорему Больцано-Коши:
Если функция f(x) является непрерывной на отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то найдется хотя бы одна точка из , в которой функция f(x) обращается в нуль.
Во-первых, данная функция является непрерывной.Во-вторых, принимает на концах отрезка значения разных знаков f(0)=-2, f(2)=8. Следовательно, по теореме Больцано-Коши найдется хотя бы одна точка внутри отрезка , в которой f(x)=0.
-
Доказать, что функция эквивалентна функции
Определение. функции
-
Студент должен уметь пользоваться логическими символами; кванторами всеобщности и существования; заменять одно утверждение на другое, эквивалентное ему, свободно читать записать математическое предложение.
Например, запись
читается: для любого положительного числа найдется положительное число , зависящее от , что для всех значений аргумента из области определения, входящих в - окрестность точки выполняется неравенство для значений функции . Это определение предела функции в точке , которое в предельной форме запишется, как