Курсовик 1 сем.Мат.анализ.МТУСИ. 18.10.2012г

Вариант 11

1.

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

sin 2x - 2x

1x

а) lim

; б) lim(p

2

- arctgx )

.

x

2

arcsin x

x®0

x®¥

x

2.

Провести исследование и построить график функции: y =

.

ln x

3.

Построить график функции в полярной системе координат r =

2sin 2j

.

4.

На прямой l : y = 2x -1, найти такую точку C , чтобы сумма квадратов

расстояний от неё до двух точек P (1;3)

и P

(5;2) была наименьшей.

Вычислить y(11)

1

2

5.

функции

y = x3 ln x .

6.

Вычислить с помощью формулы Тейлора 3

с точностью до 10-3 .

e

ìx = cos t / (1 + 2cost )

7.

ï

в

Составить уравнения касательной и нормали к кривой í

= sin t / (1 + 2cos t )

ïîy

точке

t

= -

p

и вычислить y¢¢

(x ).

0

3

xx

0

x

8.

Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: ln y +

=1.

y

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

2x ln (1 + x)- 2x2 + x3

9.

.

x4

x®0

p

(

)

ì

[

]

10. Применима ли теорема Ролля к функции f

í

x

, x ¹ 0,

на

x =

ïxsin

0;1 ?

ï

x = 0.

î0,

Вкаких точках f ¢(x) = 0 ?

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 12

1.

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а)

lim

2x4 + 3x3 - 4x2 - 9x - 4

; б) lim (1 - cos x)x .

x®-1 3x4 + 5x3 + 3x2 + 3x + 2

x®0

ex

2.

Провести исследование и построить график функции: y =

.

x +1

3.

Построить график функции в полярной системе координат (r ³ 0)

r = 2sin 2j .

4.

Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной треугольной

призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких

призм наибольшую полную поверхность.

5.

Вычислить y(12) функции y = (x -1)2x-1 .

6.

Вычислить с помощью формулы Тейлора sin 850 с точностью до 10-3 .

ì

3

+1

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

ïx = t

в точке

í

ïy = t 2

+ t +1

t =1 и вычислить y¢¢

(x ).

î

0

xx

0

8.

Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: arctg(x + y) = x .

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

2xe-(x+1)

- x3 - x

.

(x +1)

3

x®-1

10.Доказать, что если x является корнем многочлена P(x) кратности k , то для

P¢(x) он будет корнем кратности k -1.

11.По графику функции построить график ее первой производной

				Вариант 13
1.	Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
	а) lim	ln x - x +1	; б)	lim (arcsin x)1 / ln x .
	x®1 x - xx			x®+0
2.	Провести исследование и построить график функции: y = x - ln x .
3.	Построить график функции в полярной системе координат r = 2 + sin				j	.
				2

4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной четырехугольной призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких призм наибольший объем.

5.

Вычислить y(13) функции

y =

x

, используя формулу Лейбница.

x2 - 4x -12

с точностью до 10-3 .

6.

Вычислить с помощью формулы Тейлора cos 720

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

ïìx = (1 + ln t ) / t 2

í

в

ïy = (3 + 2ln t ) / t

точке t =1 / e и вычислить y¢¢

(x ).

î

0

xx

0

8.

Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции:

+

=

.

x

y

a

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

x2 - sin 2

x

.

x4

10. В какой точке касательная к параболе

y = 4 - x2

x®0

параллельна хорде, соеди-

няющей точки A(-2;0) и B (1;3)?

11. По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 14

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) lim	x4 + x3 - 3x2 - 5x - 2	; б)	lim (ctgx )1/ ln x .
x®-1 x4 + 2x3 - 2x -1			x®+0

2.Провести исследование и построить график функции: y = ex - x .

3.Построить график функции в полярной системе координат r =1 - cosj .

4.На отрезке прямой между точками A(1;2) и B (5;4) найти такую точку C ,

	чтобы сумма квадратов расстояний от неё до точки P(2;6)					и прямой l :
	x - y - 5 = 0 , была наименьшей.
5.	Вычислить y(14) функции	y = (2x -1)× 23x ×32 x .
6.	Вычислить с помощью формулы Тейлора ln1,3с точностью до 10-3 .
7.				ïìx = (1 + t ) / t2							в
	Составить уравнения касательной и нормали к кривой í				y = 3 /		(	2t 2		)
			ï
			î							+ 2 / t
	точке t = -4 и вычислить y¢¢		(x ).
	0	xx	0
8.	Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: y = x + ln y .
9.	Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim			ln (1 + x)- xex						.
						x2
			x®0

10.Применима ли теорема Ролля к функции f (x) =1 - x на отрезке [-1;1]?

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 15

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

	ln 1 - cos x		)		æ sin x ö			x-3
а) lim	(			; б) lim
					ç		÷
		)				x
x®0+ ln (tgx				x®+0	è		ø

2.Провести исследование и построить график функции: y = x + e-x .

3.Построить график функции в полярной системе координат r =1 - cos j .

								2
4.	Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной четырехугольной
	пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех
	таких пирамид наибольшую боковую поверхность.
5.	Вычислить y(15) функции y = (3 - 2x)2 e2-3 x .
6.	Вычислить с помощью формулы Тейлора arctg0,8 с точностью до 10-3 .
						ì	2	t
7.	Составить уравнения касательной и нормали к кривой					ïx = cos
						í		в точке
						ïy = tg 2t
		p				î
	t =		и вычислить y¢¢	(x ).
	0	4	xx	0
8.	Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: ye- y = ex+1 .
9.	Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim				ln (1 + x) + e-x -1
									.
						x3
				x®0

10.Написать формулу Лагранжа для функции f (x) = ln x и найти c на [1;2].

11.По графику функции построить график ее первой производной

				Вариант 16
1.	Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
	а) lim		3 + ln x	; б) lim (4 - x)tg (p x / 6).
			- 3ln sin x
	x®0+ 2			x®3	ex
	Провести исследование и построить график функции: y =
2.						.
					ex -1

3.Построить график функции в полярной системе координат r =1 - cos 2j .

4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких пирамид наибольший объем.

5.Вычислить y(16) функции y = x log2 (1 - 3x).

6.Вычислить с помощью формулы Тейлора число e с точностью до 10-7 .

	7.	Составить уравнения касательной и нормали к кривой					ìx = t sin t + cost
							í
							îy = sint - t cost
		точке t =	p	и вычислить y¢¢	(x ).
		0	3	xx	0
											x
										-
	8.	Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: y = e									y .
						1 - (1 + x2 )cos								x
	9.	Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim											2
								3	(	2	)
					x®0
							x		1 + x

в

.

10.Написать формулу Коши для функций f (x) = x2 + 2 и g (x) = x3 -1, и найти c

на [1;2].

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 17

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) lim sin x ×ln ctgx ; б)	1/ x2	.
	lim (cos x)
x®0	x®0

-1

2.Провести исследование и построить график функции: y = (x + 2)e x .

3.Построить график функции в полярной системе координат r =1 - cos3j .

4.На прямой l : y = 3x + 2 , найти такую точку C , чтобы сумма квадратов

расстояний от неё до прямой l1 : x + y +1 = 0 , и точки P2 (6;3) была наименьшей.

5.Вычислить y(17) функции y = ln (x -1)2 x .

6.Вычислить с помощью формулы Тейлора: 10 с точностью до 10-3 .

7.	Составить уравнения касательной и нормали к кривой					ìx = t + sin t
						í
						îy = 2 + cos t
	t =	p	и вычислить y¢¢	(x ).
	0	3	xx	0
8.	Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: ln x2 + e2
	Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim				2			- 2 - x	.
9.							1 + x
				x®0			x2

вточке

=e2 y .

10.На интервалах (-1;1) и (1;2) найти точки, в которых касательная к графику функции f (x) = (x2 -1)(x - 2) горизонтальна.

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 18

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

	æ	2	ö
а) lim x ln ç			arctgx ÷	; б)
x®¥	è p		ø

æ 1 öln(1-x)

lim ç ÷ .

x®+0 è x ø

2.Провести исследование и построить график функции: y = xx .

3.Построить график функции в полярной системе координат r =1 - cos j .

3

4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной четырехугольной призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких призм наибольшую полную поверхность.

5.	Вычислить y(18) функции y = x ln	3	+ x	.
	3		- x
6.	Вычислить с помощью формулы Тейлора: sin10 с точностью до 10-6 .
					ì	+ t	2	)
7.	Составить уравнения касательной и нормали к кривой				ïx = ln (1				в точке
					í

ïîy = t - arctgt

t0 =1 и вычислить y¢¢xx (x0 ).

8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: x - y = x . x + y

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim ln x - (x -1)ex-1 .

x®1 2(x -1)3

10.Доказать, что функция f ¢¢(x), где f (x) = (x - 4)2 (x + 2)2 , имеет на промежутке [-2;4] два корня.

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 19

1.

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

(

(

))

; б) lim (sin 2x)1/lnsin x .

а) lim x

p - 2arcsin

x /

x2 +1

x®+¥

x®0

Провести исследование и построить график функции: y = arcsin

4x

2.

.

4 + x2

3.

Построить график функции в полярной системе координат r =

2p

;j Î(0;2p ]

j

4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной шестиугольной призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких призм наибольший объем.

5.

Вычислить y(19) функции

y = x ln (x2 - 3x + 2).

6.

Вычислить с помощью формулы Тейлора: cos 50 с точностью до 10-5 .

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

ìx = cos 2t

в точке

í

p

îy = 2 / cos2 t

t =

и вычислить y¢¢

(x

).

0

4

xx

0

8.

Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: y2 = 2 + 2 px .

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

2xex+2

- x3 - 6x2 -10x

.

(x + 2)

2

x®-2

10. Написать формулу Коши для функций f (x) = x2 и g (x) =

, и найти c на

x

[1;4] .

11. По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 20

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

	æ	1		1	ö
	а) lim ç		-		÷	; б)
				2
	x®0 è xarctgx			x	ø

lim (1 + x)ln x .

x®+0

2.Провести исследование и построить график функции y = 3x - ln (1 + 3x ).

3.Построить график функции в полярной системе координат r = (0,5)j ;j Î[0;2p ]

4.На окружности x2 + y2 - 4x - 6 y +12 = 0 найти такую точку C , чтобы сумма квадратов расстояний от неё до двух точек A(6;1) и B (5;5) была наименьшей.

5.	Вычислить y(20) функции	y = x3 cos x .
6.	Вычислить с помощью формулы Тейлора: 3				с точностью до 10-4 .
				30
7.	Составить уравнения касательной и нормали к кривой					ïìx = (1 + t2 )/ (t 2 -1)			в
						í	-1)
						ïy = t / (t2
	точке t = 2 и вычислить y¢¢		(x ).			î
	0	xx	0
8.	Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: (x + y)2 = 6(x - y) .
9.	Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim					2 - cos2 x +	2sin x	.
						(x + p 2)4
					x®p 2

10.Написать формулу Лагранжа для функции f (x) = x3 и найти c .

11.По графику функции построить график ее первой производной