lec_08-03-01_2014

= −μ N l

21

называется циркуляцией вектора a . Поэтому записанное условие читается так : циркуляция консервативной силы

по любому замкнутому контуру равна нулю.

Из определения консервативной силы вытекает и еще одно важнейшее свойство: работу консервативной силы можно представить, как изменение (убыль) некоторой скалярной функции U (r ) , зависящей только от положения частицы (тела), которая называется потенциальной энергией:

			2
	dA конс = Fконсdr = −dU ,	или	U (r1 ) − U (r2 ) = − U = ∫ Fконсdr.
			1

Последняя из этих формул является определением потенциальной энергии. Из нее следует, что потенциальная энергия определена с точностью до произвольной постоянной. Так как определена только ее разность, то к выраже-

нию U можно добавить или вычесть любую постоянную величину.

Например, потенциальную энергию тела можно вычислять относительно уровня любого этажа здания, относительно уровня моря, относительно центра Земли и т.д.; величина ее при этом, конечно, будет разной, но работа консервативной силы тяжести при перемещении тела m во всех случаях будет одной и той же!

Поэтому в каждом конкретном случае договариваются о начале отсчета потенциальной энергии (в какой именно точке следует считать U = 0 из соображений удобства).

Неконсервативными называются силы, работа которых зависит от длины и формы пути. Отсюда следует, что на замкнутом пути работа неконсервативных сил не равна нулю, и с ними не связана потенциальная энергия.

Примерами неконсервативных сил являются: сила трения скольжения и силы вязкого трения. Так, из приведенного рисунка видно, что работа силы трения скольжения зависит не

от перемещения тела, а от длины пути: Aтр , и не равна нулю при возвращении тела

в исходную точку.

Важным частным случаем неконсервативных сил являются диссипативные силы – силы, зависящие от скорости частицы и направленные против скорости:

Fдис = − f (v)v .

Примером может служить сила вязкого трения. Как следует из записанного ранее уравнения для мощности, мощность диссипативных сил всегда отрицательна: Pдис = Fдисv = − f (v)v2 < 0 , поэтому при действии диссипативных сил

механическая энергия всегда убывает (и превращается во внутреннюю, в тепло). Отсюда и название: “dissipare” ( лат.) – рассеивать.

5.5. Потенциальная энергия частицы и системы частиц. Потенциальная энергия в поле сил тяжести и потенциальная энергия упругого взаимодействия

Вычислим потенциальную энергию различных консервативных сил. 1) Сила гравитационного притяжения:

= −G

m1m2

e , поэтому f (r) = −G

m1m2

Выберем U = 0 при r = ∞ . Тогда

F

.

грав

r 2

r

r2

работой перемещения частицы 2 из бесконечности в точку r будет:

r

m m

m m

A = ∫

−G

1 2

dr = G

1 2

= 0 − U (r).

∞

r2

r

Следовательно, потенциальная энергия притяжения двух точечных масс Uграв

(r) = −G

m1m2

.

= −k r = −k r e

r

f (r)

= −k r

( k

– жесткость, r

2) Сила упругости: F

, т.е.

- удлинение деформируемого тела). Пола-

упр

r

r

kr

2

гаем U = 0 при r = 0 , поэтому A = ∫ (−k r) dr = −

= −U (r).

0

2

Итак, потенциальная энергия упругой силы (или упругой деформации)

U упр(r) =

k r 2

. Отсюда, в частности, следует, что работа, которую надо совершить для

2

удлинения пружины на r , равна k r 2 .

2

											22
								= -dU . . С учетом
Как следует из определения потенциальной энергии, dA конс = Fконс dr									dr	= idx + jdy + kdz
получим:	-dU = Fx dx + Fy dy + Fz dz . Отсюда, при перемещении						вдоль оси x , когда		dy = dz = 0 , находим
-dU = F dx , т.е. F = -		dU				º - ¶U .
x	x	dx			y,z=const	¶x

Проекция консервативной силы на ось x равна частной производной от потенциальной энергии по x - координате (частная производная берется по одной переменной в предположении, что все остальные переменные не изменяются).

Аналогично Fy = - ¶U и Fz = - ¶U .

¶y ¶z

Таким образом, консервативная сила выражается через потенциальную энергию следующим образом:

Fконс = -i ¶U - j ¶U - k ¶U .

¶x ¶y ¶z

Введем дифференциальный оператор “ набла”:

		¶		¶	¶
Ñ = i			+ j		+ k		.
		¶x		¶y
						¶z

Им можно подействовать на любую скалярную функцию f (x, y, z) .

В результате получается вектор с проекциями

¶f ,

¶f ,

¶f (рис.3.7), который на-

¶x

¶y

¶z

зывается градиентом функции

f

:

¶

¶

Ñf (x, y, z) º grad f ( x, y, z ) = i

¶

+ j

+ k

f (x, y, z) .

¶y

¶x

¶z

Итак, зная потенциальную энергию частицы, можно простым дифференцированием

найти действующую на нее консервативную силу:

Fконс = -ÑU º -gradU .

Наоборот, по выражению для силы можно интегрированием найти потенциальную энергию частицы. Геометрическое место точек, в которых потенциальная энергия частицы (или потенциал) одинакова, называется эк-

випотенциальной поверхностью. Уравнение такой поверхности имеет вид: U S = const .

При перемещении по этой поверхности dU = 0 , и из выражения Fdr = Fl dl = -dU = 0 следует, что проекция силы Fl на эквипотенциальную поверхность всегда равна нулю. Поэтому

вектор консервативной силы всегда перпендикулярен эквипотенциальной поверхности.

Если n – единичный вектор нормали к эквипотенциальной поверхности, то F = - ¶U		, и при dU > 0	F < 0 ,
n	¶n		n

следовательно,

вектор консервативной силы направлен в сторону убывания (уменьшения) потенциальной энергии, и в этом же направлении под действием силы будут ускоряться все тела. Вектор grad U также направлен по нормали к эквипотен-

циальной поверхности, но в сторону возрастания U , т.е. противоположно силе.

5.6. Кинетическая энергия поступательного и вращательного движения

Пусть на движущуюся частицу действует некоторая сила F . B результате движение частицы изменяется (меняется скорость v ). Найдем, чему равна работа силы по изменению скорости частицы. Для этого запишем второй закон Ньюто-

dv

на m

= ∑ F и умножим каждую его часть скалярно на элементарное перемещение dr . В итоге получим:

dt

dv

dr

vx2

+ v2y + vz2

v2

m

dr

= mdv

= mvdv

= ∑ Fdr = d A. Но vdv

= vx dvx + vy dvy + vz dvz = d

= d

,

dt

dt

2

2

mv2

= dA .

K =

mv2

и поэтому

d

Величину

называют кинетической энергией поступательного движения частицы

2

2

или физического тела. Таким образом, работа всех сил, действующих на частицу (тело), идет на изменение ее кине-

23

		mv2		mv2	2
	тической энергии, т.е. dK = dA или K2 − K1 =	2	−	1	= ∫ ∑ Fdr.
		2		2
					1

Тогда кинетическая энергия вращающегося вокруг закрепленной оси твердого тела

Kвращ = ∑	m ivi2	= ∑	m i (R iω)2		=	I ω2		.
	2		2			2
i		i

Дифференцируя это выражение по времени и используя уравнение динамики вращательного движения, получим закон изменения кинетической энергии вращающегося вокруг закрепленной оси твердого тела:

	dKвращ	= I ω	d ω		= I ωε = M z ω –
	dt		dt

скорость изменения кинетической энергии вращательного движения равна мощности результирующего момента сил относительно оси вращения.

2

Отсюда dKвращ = M z ωdt = M z dϕ K ≡ K2 − K1 = ∫ M z dϕ ,

1

т.е. изменение кинетической энергии вращательного движения равно работе момента сил.

5.7. Закон сохранения и изменения полной механической энергии

Полной механической энергией системы называется сумма её кинетической и потенциальной энергии (как потенциальной энергии взаимодействия частиц внутри системы, так и потенциальной энергии в поле внешних сил). Согласно закону изменения кинетической энергии i -й частицы,

dK i = dA i .

Суммируя эти равенства почленно, получаем закон изменения кинетической энергии системы: приращение кине-

тической энергии системы равно работе всех сил, действующих на все частицы системы, т.е. dKсист = dA конс +dA неконс = −dU + dA неконс ,

откуда

dE сист = dA неконс .

Это – закон изменения механической энергии системы: изменение механической энергии системы равно

суммарной работе всех неконсервативных сил.

Консервативной называется система, полная механическая энергия которой сохраняется: Eсист = const . В такой

системе отсутствуют любые неконсервативные силы (и внешние, и внутренние).

Заметим, что консервативность системы и закон сохранения механической энергии никак не связаны с замкнутостью системы.

Пример: лобовое столкновение двух летящих упругих резиновых мячей . истема не замкнута (центр масс падает с ускорением g ), но консервативна. Часть кинетической энер-

гии мячей в момент удара переходит в собственную потенциальную энергию упругой деформации, но полная энергия не меняется:

(m

1

+ m

2

) v2

E =

C

+ U

соб

+ (m

+ m ) g h

= const

1

C

2

2

(в момент наибольшего сближения мячи движутся с одной и той же скоростью vC ).

5.8. Плоское движение и законы сохранения

= mv2

Kплоск C

2

+1 ∑ m ivɶ2i

2 i

Движение твердого тела, при котором центр масс перемещается в фиксированной плоскости, а ось вращения тела, проходящая через его центр масс, остается перпендикулярной к этой плоскости, называется плоским движением. Типичный пример – качение симметричного. Это движение можно свести к совокупности поступательного движения и вращения вокруг., остается неподвижной. Поэтому плоское движение описывается упрощенной системой двух уравнений движения:

	m aC		= Fвнеш ,
		I ε = M .
				z

Кинетическая энергия тела, совершающего плоское движение, запишется в виде:

=	mvC2	+	1	∑ m i (ωR i )2	и окончательно	Kплоск =	mvC2	+	I ω2		,
2		2		i		2		2

так как в данном случае vɶ i – скорость вращения i-й точки вокруг неподвижной оси вращения в Ц-системе.

24

6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 6.1. Кинематические характеристики колебательного процесса (амплитуда, фаза, частота). Ус-

ловие возникновения гармонических колебаний

Колебаниями называются движения, повторяющиеся во времени. Если эти повторения следуют через равные промежутки времени, т.е. x(t + T ) = x(t) , то колебания называются периодическими, а интервал времени T – периодом

колебаний. Например, периодически повторяющиеся восходы Луны или Солнца над горизонтом, вызванные ими приливы и отливы и т.п.

Система, совершающая колебания, называется осциллятором (от латинского "oscillare" – колебаться). Колебания,

которые совершает система, предоставленная самой себе, называются собственными, а частота колебаний ν = 1 в этом

T

случае – собственной частотой. В случае механических колебаний, рассматриваемых в данной главе, изменяются координаты x(t) или размеры колеблющейся системы.

Гармоническими колебаниями называются колебания, происходящие по синусоидальному или косинусоидальному закону. Например,

x(t) = A cos(ω t + ϕ 0 ) ,

где x(t) – смещение колеблющейся частицы от положения равновесия, A – максимальное смещение, или амплитуда, ωt + ϕ0

– фаза колебаний, ϕ – начальная фаза (при t = 0 ), ω = 2πν =	2π	– циклическая частота колебаний.
0	T

Система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором. Существенно, что амплитуда A и частота ω гармонических колебаний постоянны. В механике гармонические колебания возникают при выполнении следующего условия:

на частицу (или систему частиц) должна действовать сила или момент сил, пропорциональные смещению частицы из положения равновесия и стремящиеся вернуть ее в положение равновесия. Такая сила (или момент сил) называется

квазиупругой (латинское "quasy" – приставка со значением "якобы", “ мнимый”); она имеет вид F = −k r , где постоян-

ный коэффициент k называется квазижесткостью.

Часто, для удобства вычислений, решение уравнения гармонических колебаний записывают в комплексной форме. Напомним, что комплексным числом называется выражение вида z = x + iy , где i = −1 так называемая мнимая едини-

ца. Число, отличающееся знаком перед мнимой частью, т.е. z* = x − iy									называется комплексно-сопряженным числу z .
				Любое комплексное число можно изобразить точкой или радиус-вектором на ком-
плексной					плоскости.		Длина	такого	вектора равна модулю	комплексного	числа
ρ =				=		, а
		z			x2 + y2		угол	наклона	к действительной оси	равен аргументу	ϕ =

= arctg ( y x) . Комплексное число можно записать в следующих формах: z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ) = ρ eiϕ ,

z* = ρ(cos ϕ − i sin ϕ) = ρe− iϕ.

Эти формулы называются формулами Муавра. Из них следует, что

		eiϕ + e−iϕ		eiϕ − e−iϕ
	cos ϕ =		; sin ϕ =		.
		2		2 i

Тогда cos ϕ = Re eiϕ (действительная часть комплексного числа eiϕ ), и можно записать, что

x(t) = Re Aei(ωt +ϕ0 ) .

В заключение этого параграфа заметим, что большинство периодических процессов в реальных системах гармоническими не являются. Так, из-за наличия диссипативных сил трения амплитуда смещения колеблющейся частицы должна уменьшаться со временем:

x(t) = Ae−βt	cos (ω t + ϕ0 ) ,	где b = const .
амплитуда	фаза
Эти колебания	не только не	гармонические, но и не периодические, так как

x(t + T ) ¹ x(t) . И все же повторяемость движений очевидна (рисунок в), и подобные коле-

бания, называемые затухающими, по-прежнему характеризуют периодом T = 2πω . Рас-

сматривают даже движения, не повторяющиеся регулярно, т.е. не имеющие постоянного периода T (рисунок г). Их называют случайными колебаниями.

					25
	Отметим следующее: квазиупругая консервативная сила F = - ¶U				= -k x соответствует потенциальной энер-
			x	¶x
	гии U (x) =	k x2
			, т.е. гармонические колебания может совершать только частица, находящаяся в потенциальной яме па-
		2

раболической формы.

Если зависимость U (x) другая, то колебания осциллятора не могут быть гармоническими. Однако к потенциальной энергии U (x) всегда можно добавить постоянную величину, а начало координат сместить так, чтобы минимум по-

тенциальной кривой приходился на значение U (0) = 0 (см.рисунок).

Разложим теперь функцию U (x) в ряд Тейлора вблизи точки x = 0 и ограничимся первым ненулевым членом ряда:

U (x) = U (0) +	dU			× x +	1		d 2U		× x2 + 0(x3 ) »	k x2	.
					2 dx2
	dx		x=0						2
=0									x=0

=0 в точке минимума

Оказывается, что в случае любой зависимости U (x) , т.е. в поле любой консервативной силы, малые собственные колебания частицы вблизи положения равновесия, соответствующему минимуму потенциальной энергии, будут гармо-

	ническими! При этом коэффициент квазижесткости осциллятора в будет равен k =	d 2U		.
		dx2
				x=0

6.2. Одномерный гармонический осциллятор (пружинный маятник). Связь характеристик колебания с начальными условиями

В частности, квазиупругой может быть и просто упругая сила, приводящая в колебания пружинный маятник, колеблющийся вдоль оси x . Уравнение движения такого маятника имеет вид:

d 2 x

m

dvx

= -k x

или

+ w 02 x = 0

, где введено обозначение

w 02=

k

.

dt 2

dt

m

Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться, что решением данного уравнения является функция

x = Acos(w 0 t + j 0 ) ,

где A и ϕ 0 – постоянные величины, для определения которых следует задать два начальных условия: положение

x(0) = x0 частицы и ее скорость vx (0) = v0

в начальный (нулевой) момент времени, откуда

2

x0 = Acos j0 ,

x2

v0

A =

+

,

0

dx

или

w

0

v0 =

= -Aw 0 sin j0 ,

v0

dt

t =0

j = -arctg

.

x w

0

0

0

Итак: записанное выше дифференциальное уравнение представляет собой динамическое уравнение любых гармонических колебаний с собственной частотой w0 . Для грузика на пружинке периодом колебаний пружинного маятника

будет

T =	2p	= 2p		m	.
	w 0			k

6.3. Физический и математический маятник

Физический маятник – это любое физическое тело, совершающее колебания вокруг оси подвеса, не проходящей через центр масс, в поле сил тяжести.

Пусть горизонтальная ось проходит через точку подвеса О, находящуюся на расстоянии d от центра масс (центра тяжести) С. Уравнение динамики вращательного движения маятника в проекции

на ось вращения z (направленную от нас) имеет вид: I0	d ω	= M z или, так как M z = = −mg	d sin ϕ ,
	dt
			плечо силы

26

то	d 2ϕ	+ ω 02 sin ϕ = 0	. Здесь ω 02 =	mgd	, где I0 – момент инерции тела относительно оси подвеса, d – расстояние от
	dt 2			I0

оси подвеса до центра масс тела.

Отсюда следует, что колебания физического маятника будут гармоническими только, если sin ϕ ≈ ϕ , т.е. при ма-

лых углах отклонения.

Итак: для малых амплитуд уравнение колебаний физического маятника принимает вид

	d 2j		+ w 02 j = 0 .
	dt2
Его решением является функция j(t) = j 0cos(w 0 t + a 0 ) , а период колебаний определяется формулой:
	T =		2p	= 2p		I0	.
			w 0			mgd
Заметим, что квазиупругим	здесь является момент силы тяжести M z » -mgd × j , пропорциональный угловому от-
клонению ϕ .
Частным случаем физического маятника является математический маятник – точечная масса, подве-

шенная на невесомой нерастяжимой нити длины l . Как видно из рисунка, в этом случае I0 = ml 2 , d = l , поэтому период малых колебаний математического маятника

			ml2
T	= 2p				= 2p		l	.
мат. м.			mgl				g

6.4. Связь энергии гармонического осциллятора и амплитуды его колебаний

Полная механическая энергия осциллятора складывается из потенциальной энергии, обусловленной наличием кон-

x

2

сервативной

квазиупругой силы Fx = -k x

и равной U (x) = U (0) - ∫ (-k x) dx =

k x

и кинетической

энергии

2

=0 0

m d x

2

I dj 2

K =

. При вращательном движении осциллятора последняя заменяется на K =

.

2

dt

2

dt

Пример: незатухающие колебания гармонического осциллятора. Здесь x = Acos(w

t + j ) , где w

=

k

, и пол-

0

0

0

m

E = K + U =

ная механическая энергия

=

m

(-Aw 0 sin(w0t + j0 ))2 +

k

( Acos(w

0t + j0 ))2 =

k A2

= const .

2

2

2

Вывод: полная механическая энергия гармонического осциллятора всегда пропорциональна квадрату ам-

плитуды его колебаний.

6.5. Свободные затухающие колебания. Зависимость амплитуды и периода затухающих колебаний от коэффициента затухания. Критическое затухание. Логарифмический декремент

В реальной ситуации на осциллятор со стороны окружающей среды всегда действуют диссипативные силы (вязкого

= -hv

трения, сопротивления среды) F

, которые замедляют движение. Уравнение движения тогда принимает вид:

сопр

m

d

2 x

= F

+ F

= -k x - h

d x

.

dt2

упр x

сопр x

dt

Обозначая

k

= w 02

и

h

= b , получаем динамическое уравнение собственных затухающих колебаний:

m

2m

d 2 x

+ 2b

dx

+ w 02 x = 0.

dt2

dt

Как и в случае незатухающих колебаний, это –

общая форма уравнения.

Решение такого уравнения ищем в виде

x = Aeλ t , где A и λ – неизвестные константы. Подставляя это выраже-

ние и сокращая экспоненту, получаем характеристическое уравнение:

27

λ2 + 2βλ + ω 02 = 0 ,

откуда находим

				λ = −β ± β2 − ω 2 .
					0
			Как и в случае незатухающих колебаний, это –							общая форма уравнения.
Сначала рассмотрим случай	β < ω0	.
Обозначив ω 02− β2 = ω2 > 0 , находим λ = −β ±							= −β ± iω ; поэтому общее решение уравнения имеет вид:
						−ω2
		x = A1 e−βt +iωt + A2 e−βt −iωt .
Но смещение x должно быть не комплексным,					а действительным числом. Поэтому необходимо, чтобы само число
равнялось его комплексно-сопряженному, т.е. x = x* = A*1 e−βt−iωt + A *2 e−βt+iωt , откуда немедленно следует: A 1 = A*2
и A 2= A*1 . А так как любое комплексное число можно представить в виде A1 =								A 0	e iα , где	A 0 и α – постоянные
					2
действительные числа, то
		x (t) =	A 0	e −βt (ei(ω t +ϕ0 ) + e−i(ω t +ϕ0 ) ) .
2

Используя формулы Муавра, получаем, что при не слишком большом сопротивлении среды ( β < ω 0 ) колебания осцил-

лятора совершаются по закону: x(t) = A0 e −βt cos (ωt + ϕ0 ) .

График функции x (t ) при ϕ0 = 0 изображен на следующем рисунке.

Функция A(t) = A0 e−βt представляет собою убывающую по экспоненте амплитуду колебаний. Это уменьшение амплитуды называют релаксацией (ослаблением) колебаний, а коэффициент β – коэффициентом затухания колебаний. Время τ , за которое амплитуда колебаний уменьшается в e = 2, 71828 раз, называется временем релаксации. Из закона изменения амплитуды следует:

	A(t)		A0 e−βt							βτ
		=							= e		= e ,
	A(t + τ)		A0 e		−β (t+τ)
откуда время релаксации				τ =		1	.
						β

Кроме коэффициента затухания, вводится еще одна характеристика, называемая логарифмическим декрементом за-

тухания – это натуральный логарифм отношения амплитуд (или смещений) через период:

A(t)

A e−βt

2πβ

θ = ln

= ln

0

= ln eβT

= βT =

.

A(t + T )

−β

ω

A0 e

(t +T )

Частота собственных затухающих колебаний

ω =

ω 2

− β2

0

зависит не только от величины квазиупругой силы и массы тела, но и от сопротивления среды.

Поэтому период затухающих колебаний

2π

2π

T =

=

ω

ω 02− β2

всегда больше периода незатухающих гармонических колебаний

T = 2π .

0 ω 0

Теперь обратимся к случаю, когда сопротивление среды велико, т.е. β ³ ω 0 . Это про-

исходит, например, когда грузик пружинного маятника находится в очень вязком веществе (например, в смоле).

В этом случае общее решение уравнения колебаний представляет собою сумму двух

убывающих экспонент (поскольку λ	= −β ±	β2 − ω 2	действительные числа):
1, 2		0
x(t) = A eλ1 t + A eλ2 t .
	1	2

При возвращении осциллятора в положение равновесия никаких колебаний не возникает, и такое движение осциллятора называется апериодическим (см.рисунок).

28

6.6. Сложение взаимно-перпендикулярных и однонаправленных колебаний. Метод векторной диаграммы

Примером сложения взаимно перпендикулярных колебаний могут служить колебания атомов в узлах кубической кристаллической решетки или эквивалентная модель грузика m , прикрепленного к двум взаимно-перпендикулярным парам пружинок.

В этом случае вдоль осей x и y действуют две квазиупругие силы. Тогда

x = Acos(ω 1t + ϕ1 ), y = B cos(ω 2t + ϕ2 ).

Чтобы найти траекторию осциллятора, следует исключить из этих уравнений время t .

Проще всего это сделать в случае кратных частот:

ω 1

=

n

, где n и m – целые числа. В этом случае траекторией

ω 2

m

осциллятора должна быть некоторая замкнутая кривая, называемая фигурой Лиссажу.

Пример: пусть частоты колебаний вдоль осей x и y одинаковы

(ω1 = ω 2 = ω) , а разность фаз колебаний

x = Acos(ω t),

ϕ2 − ϕ1 = 3π 2 (для простоты положим ϕ1 = 0 ):

Отсюда находим:

y = B cos (ω t + 3π

2) = −B sin ω t.

x 2

y 2

2

2

+

= cos

ω t + sin

ω t = 1 – фигурой Листажу будет эллипс (рисунок а).

A

B

Докажите, что в случае ϕ 2= π2 ; ϕ 1= 0 фигура Лиссажу не изменится (рисунок а), но осциллятор будет двигаться по эллипсу в обратном направлении, а в случае ϕ2 = π он будет колебаться вдоль прямой линии y = −B x A (рисунок б).

При сложении гармонических колебаний траектория осциллятора зависит не только от частот (от действующих квазиупругих сил), но и от начальных фаз и амплитуд, т.е. от

начальной скорости и положения осциллятора.

К сожалению, в реальных механических системах устойчивой траектории осциллятора в виде фигуры Лиссажу при сложении колебаний с кратными частотами не наблюдается! Для примера рассмотрим висящий пружинный маятник, у которого длина l практически невесомой пружины в положении равновесия такова, что частота малых вертикальных колеба-

ний совпадает с частотой малых горизонтальных колебаний математического маятника: ω 2 = k / m = ω1 = g / l .

Заставим маятник колебаться строго вертикально (рисунок а). Однако это движение не сохраняется – амплитуда вертикальных колебаний уменьшается, но возникают горизонтальные колебания, и, наконец, маятник начинает колебаться горизонтально, как математический (рисунок б). Затем горизонтальные колебания снова перейдут в вертикальные, и т.д.

Рассмотренная система является примером связанных колебаний, которые возникают при наличии у осциллятора нескольких степеней свободы. Между различными колебаниями существует связь, через которую энергия одного колебания передается другому. В рассмотренной системе, такой связью будет пружинка – при сжатии она слегка изгибается и заставляет грузик m колебаться гори-

зонтально.

Учет связей очень важен во всех устройствах, где возникают механические колебания. Например, крыло самолета может совершать крутильные и вертикальные (изгибные) колебания. Передача энергии

от одного типа колебаний к другому может вызвать разрушение крыла (флаттер).

Примером сложения однонаправленных колебаний могут быть колебания мембраны микрофона, на которую одновременно попадают несколько звуковых волн, или грузика на двух пружинках.

Пусть складываются два гармонических колебания, происходящих вдоль оси x :

x = x1 + x 2 = A1 cos(ω1t + ϕ10 ) + A2 cos(ω 2t + ϕ 20 ) или x = Re (A 1 eiϕ1(t ) + A2 eiϕ2 (t ) ) ,

где ϕ1 (t) = ω1t + ϕ10 и ϕ 2 (t) = ω 2t + ϕ 20 – фазы колебаний.

Аналитически колебания складывать очень неудобно, особенно, когда их не два, а несколько; поэтому часто используется геометрический метод векторных диаграмм.

				ϕ1 (t) к
На комплексной плоскости изобразим первое слагаемое вектором A 1		под углом
оси x , а второе – вектором	A 2 под углом ϕ2 (t) к оси x . Тогда результирующее колеба-
			+
ние изобразится геометрической суммой этих векторов, т.е. вектором		A = A1		A2 .	Так
как фазы колебаний ϕ 1(t)	и ϕ 2(t) меняются с течением времени, то векторы
			A1 и		A 2

29

будут вращаться вокруг точки О с угловыми скоростями ω1 и w 2 .

Если w1¹ w 2 , то угол между векторами A 1 и A 2 все время меняется и, следовательно, изменяется и длина век-

тора A , т.е. в этом случае результирующее движение не будет гармоническим колебанием.

Если же w1= w2 = w , то угол между векторами остается все время постоянным и равным разности фаз колебаний: Δϕ = ϕ2 0 − ϕ10 = const . Поэтому векторы вращают-

ся с одинаковой угловой скоростью, и длина вектора A остается неизменной, – результирующее колебание будет гармоническим. Амплитуду и начальную фазу его можно (и достаточно) вычислить в начальный момент времени t = 0 .

Как следует из рисунка, согласно теореме косинусов,

A2 = A 12+ A 22− 2 A 1 A 2 cos(π − Δϕ) ,

т.е. амплитуда результирующего колебания будет:

Рис.9.16

A = A 12+ A 22+ 2 A 1 A 2c os(Δϕ) .

Начальная фаза его определяется из треугольника ОВС:

tg ϕ0	=	BC		=	BE + EC		, т.е.
		OC OD + DC
				tg ϕ =		A 2sin ϕ20 + A 1sin ϕ10			.
			0			A2 cos ϕ20		+ A 1cos ϕ10

Итак, сумма двух однонаправленных колебаний с одинаковой частотой есть гармоническое колебание той же частоты:

x(t) = x1 (t) + x 2 (t) = Acos(ω t + ϕ0 ) .

Таким способом можно сложить сколько угодно колебаний одинакового направления.

6.7. Вынужденные колебания. Зависимость амплитуды и начальной фазы вынужденных колебаний от частоты

Вынужденные колебания возникают при действии на осциллятор внешней периодической силы, изменяющейся, например, по гармоническому закону с частотой ωвн : Fвн = F0 cos ωвн t

Пусть эта сила действует на одномерный осциллятор , рассмотренный ранее. Уравнение его движения

m	d 2 x	= −k x − η	dx	+ F
	dt 2		dt	вн x

называют динамическим уравнением вынужденных колебаний и записывают в виде дифференциального уравнения, аналогичного уравнению собственных затухающих колебаний:

d	2 x	+ 2β	d x	+ ω 2	x =	F	cos ω t .
						0
dt2			dt	0		m	вн

Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение неоднородного дифференциального уравнения является суммой общего решения

однородного (с нулевой правой частью) дифференциального уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения.

Иначе говоря, осциллятор одновременно совершает два типа колебаний.

Во-первых, это – общее решение однородного уравнения, которое, как уже получено ранее, представляет собою за-

тухающие колебания с собственной частотой ω = ω 02− β2 : x(t) = A 0 e−βt cos(ω t + ϕ0 ) , из-за сопротивления среды

они быстро затухают.

Во-вторых, это – вынужденные колебания с частотой внешней силы ω вн , которые остаются после того, как собст-

венные колебания затухнут. Поэтому для такого, установившегося со временем режима колебаний решением уравнения будет частное решение в виде гармонической функции:

x(t) = Acos (ω вн t − ϕ),

где A –

амплитуда вынужденных колебаний, а ϕ –

отставание по фазе от вынуждающей силы. Для определения A и ϕ

подставим решение в рассматриваемое уравнение:

− Aω 2

cos(ω

вн

t − ϕ) − 2βAω

вн

sin(ω

вн

t − ϕ) + Aω2 cos(ω

вн

t − ϕ) =

F0

cos ω

вн

t и преобразуем это соотношение к

вн

0

m

A(w вн) :

30

виду A(w 02- w вн2 ) cos(wвн t - j) + 2bAw вн cos(wвн t - j + p 2) = F0 cos w внt. m

Полученное равенство означает, что сумма двух колебаний одинаковой частоты в его левой части равна колебанию той же частоты в правой части. Сложим колебания на векторной диаграмме (рисунок слева).

Вектор в правой части равенства длины c = F0 имеет начальную фазу, равную ну- m

лю, и поэтому направлен по оси x ; первый вектор слева длины a = A(ω 02− ω вн2 ) отстает от него по фазе на ϕ ; зато второй вектор слева длины b = 2β A ω вн опережает первый на p2 – поэтому три этих вектора образуют прямоугольный треугольник! Следовательно, согласно

теореме Пифагора, a2 + b2 = c	2 или A2 (w2	- w2	)2 + (2b A w	)2 = ( F m)2	, откуда
	0	вн	вн	0
находим амплитуду установившихся вынужденных колебаний:

A =	F0	m
		.
	(w 02- w вн2 )2 + 4b2 w вн2
Из того же рисунка следует, что tg j = b a , т.е. установившиеся вынужденные колебания отстают по фазе от коле-

баний внешней вынуждающей силы на			j = arctg	2bw вн	.
				w 02- w вн2
	Заметим, что при w вн> w0 получается ϕ < 0 , т.е.		вынужденные колебания будут опережать по фазе колебания
внешней силы.
	Итак: установившиеся вынужденные колебания происходят с постоянной, не зависящей от времени амплитудой,
	т.е. не затухают, несмотря на сопротивление среды. Это объясняется тем, что работа внешней силы ∫ F0 cos wвн t × dx
	идет на увеличение механической энергии осциллятора и полностью компенсирует ее убывание, происходящее из-за
	действия диссипативной силы сопротивления среды.

6.8. Резонанс и резонансные частоты

Как видно из полученной формулы, амплитуда вынужденных колебаний A зависит от частоты внешней вынуждающей силы wвн . График этой зависимости на-

зывается резонансной кривой или амплитудно-частотной характеристикой осциллятора (см.рисунок).

То значение частоты внешней силы, при котором амплитуда колебаний становится максимальной, называется резонансной частотой w рез , а резкое возрастание

амплитуды при w вн= w рез – резонансом. Условием резонанса будет условие экстремума функции

	dA			= 0 .
	dw вн		ω
			рез

Так как числитель в найденной формуле – постоянная величина, то достаточно исследовать на экстремум подко-

ренное

выражение в знаменателе. Поэтому из уравнения

d

((w 02- w вн2 )2 + 4b2w вн2 ) = 0

находим

dw

вн

2(w 02- w вн2 ) × (-2w вн) + 4b2 × 2wвн = 0 или w вн2 = w 02- 2b2 .

Итак, резонансная частота для амплитуды смещения осциллятора определяется выражением

w рез=

w 02- 2b2 .

При этом резонансным значением амплитуды вынужденных колебаний будет

A max =

F0

m

=

F0

m

.

4β4 + 4β2 (ω 02 − 2β2 ) 2β ω 02− β2

b ³ w 0

Заметим, что при достаточно большом сопротивлении среды

2 резонанс отсутствует, и

амплитуда

A(w вн)

монотонно убывает с увеличением частоты w вн . Если же β = 0 , то

A max ® ¥ , что физически бессмысленно.

Поэтому в реальных условиях силы сопротивления среды обязательно действуют на осциллятор.