методичка по математике (целиком)
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3 −6 −2 |
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−5 |
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Умножимвторую |
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7 |
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0 |
6 |
7 |
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= |
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2 |
3 |
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4 |
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6 |
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= |
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2 |
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3 |
4 |
6 |
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строкуна2 и |
= |
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= |
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5 |
0 |
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8 |
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7 |
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сложимспервой |
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5 |
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0 |
8 |
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7 |
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4 |
0 |
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5 |
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6 |
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0 |
5 |
6 |
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7 |
6 |
7 |
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Вычтемвторуюстрокуиз |
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2 |
−2 |
0 |
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= |
3 (−1)2+2 |
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5 |
8 |
7 |
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= |
первой, а |
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= |
3 |
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1 |
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3 |
1 |
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= |
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4 |
5 |
6 |
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третью вычтем |
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4 |
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5 |
6 |
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извторой |
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= |
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Прибавимвторой |
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= 3 |
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0 |
− 2 |
0 |
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= 3 (− 2) (−1)1+2 |
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4 |
1 |
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= |
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4 |
3 |
1 |
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|||||||||||||||||||||||||
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столбецкпервому |
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9 |
6 |
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9 |
5 |
6 |
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=6 (24 − 9) = 6 15 = 90. |
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ПРИМЕР 2 Вычислить определитель 5 порядка
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3 |
6 |
5 |
6 |
4 |
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Произведем |
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||||||||||||
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5 |
9 |
7 |
8 |
6 |
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тотально уменьшение |
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||||
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6 |
12 13 |
9 |
7 |
= |
элементовопределителя.Дляэтого |
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= |
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|||||
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4 |
6 |
6 |
5 |
4 |
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вычтем 5 - юстрокуиз1- й, удвоенную |
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2 |
5 |
4 |
5 |
3 |
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5 - юизвторой, утроенную5 - юиз |
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третьей, удвоенную5 - юиз4 - й. |
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1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
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Теперьсделаем нуливпервомстолбце, |
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1 |
−1 |
−1 |
−2 |
0 |
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||||||||||
= |
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0 |
−3 |
|
1 |
−6 |
−2 |
= |
взяв1юстрокувкачестверабочей. |
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= |
||||
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0 |
−4 |
−2 |
−5 |
−2 |
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|||||
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2 |
5 |
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4 |
5 |
3 |
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11
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1 |
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1 |
1 |
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1 |
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1 |
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Расположимопределительпо |
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0 |
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−2 |
−2 |
−3 |
−1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
0 |
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−3 |
1 |
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−6 |
−2 |
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= |
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элементам1гостолбца. |
= |
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0 |
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−4 |
−2 |
−5 |
−2 |
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|||||||||||||||
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0 |
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3 |
2 |
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3 |
|
1 |
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||||||||||
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−2 |
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−2 |
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−3 |
−1 |
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||||||||||||||||||
= 1 (−1)1+1 |
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−3 |
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1 |
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−6 |
−2 |
= |
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Вынесем(-1) из1- й, 2 - й |
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= |
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−4 |
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−2 |
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−5 |
−2 |
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и3 - йстрок. |
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3 |
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2 |
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3 |
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1 |
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||||||||
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2 |
2 |
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3 |
1 |
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||||||||||||||
= (−1)3 |
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3 |
−1 |
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6 |
2 |
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= |
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Вычтемиз4 - йстроки |
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= |
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4 |
2 |
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5 2 |
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1- ю. |
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3 |
2 |
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3 |
1 |
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|||||||
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2 |
2 |
3 |
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1 |
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||||||||||||
= − |
3 |
|
|
−1 |
6 |
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2 |
|
= |
|
Разложимопределительпо |
|
= |
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||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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4 |
2 |
5 |
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2 |
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элементам4 - йстроки. |
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1 |
0 |
0 |
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|
0 |
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2 |
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3 |
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|
1 |
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Вычтемиз2 - йстроки удвоенную |
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||||||||||||||||
= (−1)(−1)4+1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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−1 |
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6 |
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|
2 |
= |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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5 |
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2 |
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1- ю. |
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|||||
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|
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|||||||
|
2 |
|
3 |
1 |
|
= (−5) (−1)2+1 |
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3 1 |
|
= 5 (6 −5)= 5. |
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|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
− |
5 |
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
2 |
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
5 |
2 |
|
|
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|||||||||
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12
ПРИМЕР 3 Исследовать и решить систему
2x |
− x |
2 |
|
+ x |
3 |
+2x |
4 |
+3x |
5 |
= 2, |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
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||||
6x1 −3x2 + 2x3 + 4x4 +5x5 = 3, |
||||||||||||
|
|
−3x2 |
+ 4x3 |
+8x4 +13x5 = 9, |
||||||||
6x1 |
||||||||||||
4x |
−2x |
2 |
+ x |
3 |
+ x |
4 |
|
+ 2x |
5 |
=1. |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Составим расширенную матрицу системы и проверим выполнение теоремы Кронекера-Капелли, используя элементарные преобразования матриц:
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2 |
−1 |
1 |
2 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
6 |
−3 |
2 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
~ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
A = |
6 |
−3 |
4 |
8 |
13 |
|
9 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
−2 |
1 |
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
1 |
2 |
3 |
|
|
2 |
|
|
Так как 2 - яи3 - ястроки |
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||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
−1 |
−2 |
−4 |
|
− |
|
|
|
|
||||||||||
~ |
|
0 0 |
|
3 |
~ |
пропорциональны, |
|
~ |
||||||||||||||
|
0 |
0 |
1 |
2 |
4 |
|
|
3 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
товычеркиваем2 - юстроку. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||
|
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0 0 |
−1 |
−3 |
− 4 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
−1 |
1 |
2 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
~ |
|
0 |
0 |
1 |
2 |
4 |
|
|
3 |
|
~ |
Прибавимк3 - йсроке |
~ |
|
||||||||
|
|
0 0 |
−1 |
−3 |
−4 |
|
−3 |
|
|
2 - ю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
−1 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
0 |
|
0 |
1 |
2 |
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
−1 |
− 0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
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|
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Так как = ~ , то по теореме Кронекера-Капелли система rang A rang A
совместна. В качестве базисного минора выберем минор, составленный из 2- го, 3-го и 4-го столбцов. Поэтому x2 , x3 и x4 возьмем за основные неизвестные, а x1 и x5 - за свободные.
13
Восстановим систему по последней матрице, и выразим основные неизвестные через свободные.
|
|
2x |
|
− x |
2 |
+ x |
3 |
+ 2x |
4 |
+3x |
5 |
= 2, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 + 2x4 + 4x5 = 3, |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
= 0. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
2 |
− x |
3 |
|
−2x |
4 |
= 2x |
+3x |
5 |
−2, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x3 + 2x4 = |
|
|
−4x5 +3, |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Из 2-го уравнения |
x3 |
= −4x5 +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Из1го уравнения |
x2 |
= 2x1 +3x5 −2 + x3 |
= 2x1 +3x5 −2 −4x5 +3 = 2x1 − x5 +1. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2x1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
− x5 +1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Χ |
общ |
= x |
3 |
= |
|
|
|
|
−4x |
5 |
+ |
3 |
, x ; x |
5 |
R. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдем Хчаст , положив x1 |
=1, x5 |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
X |
част |
|
|
= |
3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14
ПРИМЕР 4 Исследовать и решить однородную систему. Найти ФСР.
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
+ x |
|
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
− x4 |
|
|
|
+ x6 = 0, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x5 − x6 = 0, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x1 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
− x |
3 |
|
|
|
+ x |
6 |
=0, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x |
|
|
=0. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
− x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
−1 |
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
0 |
|
−1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
A = 1 −1 |
|
0 0 1 |
−1 |
~ |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
−1 |
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
−1 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
0 |
−1 |
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
1 0 |
−1 0 1 0 |
|
||||||||
|
|
|
|
0 1 |
0 |
−1 0 1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
0 −1 0 1 |
|
|
|||||||||||||||
|
~ |
|
0 |
−1 |
1 0 0 |
|
|
|
|
|
|
~ |
|||||||||||||
|
|
−1 |
~ |
0 1 |
−1 |
0 0 1 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
0 1 |
|
|
0 1 |
|
|
0 0 1 −1 0 0 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
−1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 0 |
−1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
1 0 −1 0 1 0 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
~ |
|
0 |
|
1 |
0 |
−1 |
0 |
1 |
|
|
~ |
|
0 |
|
1 |
|
0 −1 |
0 |
1 |
. rang A= 3 < 6. |
|||||
|
|
0 0 |
−1 1 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 −1 0 0 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
0 |
|
0 |
1 |
−1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система имеет нетривиальные решения.
Восстановим систему по последней матрице, взяв x1 , x2 , x3 за основные неизвестные, а x4 , x5 , x6 - за свободные.
15
x |
− x |
|
|
|
= −x |
|
|
, |
|
|
|||||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
=x5 − x6 , |
|
|
||||||
|
|
x3 |
|
|
|
= x4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теперь x1 = x4 |
− x5 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
4 |
− x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x5 |
− x6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Χ |
|
x |
|
|
|
|
|
, x |
|
|
, x |
|
, x |
|
R. |
общ |
= |
4 |
|
|
|
4 |
5 |
6 |
|||||||
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем фундаментальную систему решений, используя метод бегущей единицы
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
C |
|
|
1 |
|
; C |
|
|
|
|
0 |
|
; C |
|
= |
|
0 |
|
||
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
3 |
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Общее решение запишем следующим образом. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 −λ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
λ2 |
−λ3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Χ |
|
=λ C + λ |
C |
|
+ λ C |
|
|
λ |
|
|
|
,λ ,λ |
|
,λ R. |
|
||||||
общ |
2 |
3 |
= |
1 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
1 1 2 |
|
|
3 |
|
λ |
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
ПРИМЕР 5 Найти собственные значения и собственные векторы линейного
преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.
Решение.
|
2 |
−1 |
2 |
|
|
5 |
−3 |
3 |
|
А = |
. |
|||
|
−1 |
0 |
−2 |
|
|
|
Составим характеристическое уравнение матрицы А
2 −λ |
−1 |
2 |
|
|
|||
5 |
−3 −λ |
3 |
= 0 |
−1 |
0 |
− 2 −λ |
|
(2 −λ)(−3 −λ)(− 2 −λ)+3 + 2 (−3 −λ)+ 5(− 2, −λ)=0 λ3 + 3λ2 + 3λ +1 = 0
(λ +1)3 = 0
λ1 = λ2 =λ3 = −1.
Найденные собственные значения подставим в уравнения
где A,m, n
Получим
(2 |
−λ)A−1 m + 2n = 0, |
|
5A+(−3 −λ)m +3n = 0, |
|
|
|
−1A+0 m +(−2, −λ)n = 0, |
|
- координаты собственного вектора e .
3A−m +2n = 0, |
|
|
|
5A−2m +3n = 0, |
|
|
= 0. |
−A−n |
3 |
−1 2 |
|
|
1 |
0 1 |
|
1 |
0 1 |
|
1 |
0 1 |
|||
|
5 |
−2 3 |
|
~ |
|
3 |
−1 2 |
|
~ |
~ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
, rang A = 2 . |
|||||||
|
−1 0 − |
|
|
|
5 |
|
|
|
0 |
−1 −1 |
|
0 |
1 1 |
|
|
1 |
|
|
−2 3 |
|
|
|
|
|
|
17
Восстановим систему
A |
+ n = 0, |
|
m + n = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
A = −n; m = −n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e ={−n;−n;n}.n R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
илиe ={−1, −1,1} t, |
t R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить определитель |
|
|
|
|
||
|
5 |
2 |
1 |
3 |
2 |
|
|
|
2 |
1 |
4 |
3 |
5 |
|
|
|
|||||||||||
|
4 |
0 |
7 |
0 |
0 |
|
|
|
3 |
4 |
0 |
5 |
0 |
1) |
2 |
3 |
7 |
5 |
3 |
|
|
2) |
3 |
4 |
5 |
2 |
1 |
|
2 |
3 |
6 |
4 |
5 |
|
|
|
1 |
5 |
2 |
4 |
3 |
|
3 |
0 |
4 |
0 |
0 |
|
|
|
4 |
6 |
0 |
7 |
0 |
|
7 |
2 |
1 |
3 |
4 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
0 |
2 |
0 |
3 |
|
|
|
0 |
6 |
0 |
4 |
1 |
3) |
3 |
0 |
4 |
0 |
7 |
|
|
4) |
2 |
4 |
1 |
3 |
5 |
|
6 |
3 |
2 |
4 |
5 |
|
|
|
1 |
3 |
5 |
2 |
4 |
|
5 |
1 |
2 |
2 |
3 |
|
|
|
0 |
5 |
0 |
3 |
2 |
|
|
2 |
−1 3 |
4 |
−5 |
|
|
|
5 |
−5 −3 4 |
2 |
|||
|
|
|
||||||||||||
|
|
4 −2 |
7 |
8 |
−7 |
|
|
|
−4 |
4 |
3 |
6 |
3 |
|
5) |
|
−6 |
4 −9 −2 3 |
|
6) |
|
3 |
−1 |
5 −9 −5 |
|||||
|
|
3 −2 4 |
1 −2 |
|
|
|
−7 |
7 |
6 |
8 |
4 |
|||
|
|
−2 |
6 |
5 |
4 |
−3 |
|
|
|
5 |
−3 |
2 −1 −2 |
18
|
2 |
1 2 |
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 −3 |
5 −2 |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 −2 7 |
|
5 −1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
5 −4 −3 |
|
|
|
|||||||||||||||
7) |
|
|
3 −1 −5 −3 −2 |
|
|
|
|
8) |
−2 |
3 −4 |
2 −3 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
5 −6 4 |
|
2 −4 |
|
|
|
|
|
|
6 |
4 |
7 −8 −1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 −3 3 |
|
1 −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 −1 |
7 |
1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
5 |
9 −2 −4 5 |
|
|
|
|
|
|
3 4 −3 −1 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 −3 4 −3 3 |
|
|
|
|
|
|
−5 6 |
|
5 2 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
9) |
|
|
−5 |
−7 |
|
2 |
4 |
|
|
−2 |
|
|
10) |
4 |
−9 |
−3 |
7 |
|
|
−5 |
|
|
||||||||||
|
|
|
4 −5 8 −6 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 −4 |
|
1 |
1 −2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
6 −5 3 −3 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 7 |
|
5 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
2 |
1 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
4 |
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
4 0 7 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
4 0 5 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
11) |
|
|
−1 |
3 |
7 |
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
12) |
|
|
−1 |
4 |
|
5 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 3 6 4 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 5 2 4 3 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
3 0 4 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
6 0 7 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
5 2 3 3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 −1 4 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 0 2 0 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 6 −4 4 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
13) |
|
|
3 |
0 |
4 |
0 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
14) |
6 |
4 −2 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4 |
3 |
5 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
3 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
4 1 3 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 5 −3 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 −1 |
|
3 −1 −5 |
|
|
|
|
5 −2 −3 |
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 −2 7 |
1 −7 |
|
|
|
|
−4 |
1 |
|
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||
15) |
|
|
−2 |
4 |
−9 |
1 |
3 |
|
|
16) |
3 |
−6 |
|
5 |
−4 |
−5 |
||||||||||||||||
|
|
|
1 −2 |
|
4 −1 −2 |
|
|
|
|
−7 |
1 |
|
6 |
4 |
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
4 6 |
|
5 |
1 −3 |
|
|
|
|
5 −5 |
|
2 |
1 −2 |
19
|
3 |
1 |
2 3 |
2 |
|
|
|
5 |
−3 |
3 |
−2 1 |
||
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
−2 7 |
5 −1 |
|
|
|
1 |
2 |
1 |
−4 |
−3 |
||
17) |
2 |
−1 |
−5 |
−3 |
−2 |
|
18) |
|
−5 |
3 |
−2 |
2 −3 |
|
|
−1 |
−6 |
4 |
2 −4 |
|
|
|
2 |
4 |
−1 |
−8 |
−1 |
|
|
−1 |
−3 |
3 |
1 −2 |
|
|
|
3 |
−1 |
8 |
1 |
5 |
|
|
5 |
7 −2 −4 1 |
|
|
|
7 |
4 |
−4 −1 |
2 |
||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 1 |
4 |
−3 |
0 |
|
|
|
1 |
6 |
7 |
2 3 |
||
19) |
|
−5 |
−5 |
2 |
4 |
2 |
|
20) |
|
−5 |
−9 |
4 |
7 |
−5 |
|
|
4 |
3 |
8 |
−6 2 |
|
|
|
−5 −4 |
2 |
1 −2 |
|||
|
|
6 |
−2 |
3 −3 |
4 |
|
|
|
4 |
1 |
3 |
2 |
3 |
ЗАДАНИЕ 2 Исследовать систему, найти общее и частное решение, а для однородных
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
систем найти ФСР. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2x1 − x2 |
+ x3 + 2x4 +3x5 = 2, |
|
6x1 + 4x2 +5x3 + 2x4 +3x5 =1, |
|||||||||||||||||||||||||
1) |
6x1 −3x2 + 2x3 + 4x4 +5x5 = 3, |
2) |
3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 |
= 3, |
|||||||||||||||||||||||||
2x |
|
− x |
2 |
+3x |
3 |
+7x |
4 |
+11x |
5 |
= 8, |
3x + 2x |
2 |
−2x |
3 |
+ x |
4 |
|
|
|
= −7, |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2x1 − x2 |
|
|
− x4 |
|
− x5 = −1 |
|
9x1 +6x2 + x3 +3x4 + 2x5 = 2 |
|||||||||||||||||||||
|
x1 + 2x2 |
+3x3 −2x4 + x5 = 4, |
|
6x1 +3x2 + 2x3 +3x4 + 4x5 = 5, |
|||||||||||||||||||||||||
3) |
3x1 +6x2 +5x3 −4x4 +3x5 = 5, |
4) |
4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 +3x5 |
= 4, |
|||||||||||||||||||||||||
x |
+ 2x |
2 |
+7x |
3 |
−4x |
4 |
+ x |
5 |
=11, |
4x |
+ 2x |
2 |
+3x |
3 |
+ 2x |
4 |
+ x |
5 |
= 0, |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2x1 + 4x2 + 2x3 −3x4 +3x5 = 6 |
|
2x1 + x2 +7x3 +3x4 + 2x5 =1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
3x1 + 2x2 + x3 +3x4 +5x5 = 0, |
|
6x1 −2x2 + 2x3 +5x4 +7x5 = 0, |
||||||||||||||||||||||||||
5) |
6x1 + 4x2 +3x3 +5x4 +7x5 = 0, |
6) |
9x1 −3x2 + 4x3 +8x4 +9x5 = 0, |
||||||||||||||||||||||||||
9x |
|
+6x |
2 |
+5x |
3 |
+7x |
4 |
+9x |
5 |
= 0, |
6x −2x |
2 |
+6x |
3 |
+7x |
4 |
+ x |
5 |
= 0, |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3x1 + 2x2 + 4x4 +8x5 = 0 |
|
|
|
|
|
3x1 − x2 + 4x3 + 4x4 − x5 = 0 |
20