АГ ПЗ 1-35 (полный вариант)

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17

Практическое занятие 7 Линейные операции с векторами

Краткое содержание: функция расстояния и ее свойства, определение вектора как направленного отрезка, модуль вектора, коллинеарные векторы, положительное направление, ось, ориентация вектора на оси, сонаправленные и противоположно направленные векторы и оси, равенство векторов, свободные векторы, линейные операции с векторами, векторные пространства векторов прямой, плоскости и пространства, необходимые и достаточные условия коллинеарности двух векторов.

п.1. Теория п.1.1. Функция расстояния

Мы полагаем, что нам известно понятие расстояния между двумя точками, как длина отрезка прямой, соединяющего эти точки. Расстояние между точками А и В обозначается АВ или rAB или r(A,B) и

является функцией двух переменных (аргументов), определенная на множестве точек прямой, плоскости или пространства.

Свойства функции расстояния

1) Свойство неотрицательности. Для любых точек А и В:

AB 0 .

2) Свойство симметричности.

Расстояние от точки А до точки В равно расстоянию от точки В до точки А:

AB BA .

3) Неравенство треугольника.

Для любых точек А, В, С справедливо неравенство: AB AC CB ,

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда точки лежат на одной прямой и точка С находится на отрезке АВ, т.е. между точками А и В.

п.1.2. Определение вектора как направленного отрезка Определение. Вектором, как направленным отрезком, называется

упорядоченная пара точек (А, В) и обозначается AB . Первая точка А

называется началом вектора AB , вторая – точка В, называется концом

вектора AB .

Геометрически вектор изображается отрезком прямой, соединяющим точки А и В и стрелкой в точке В:

1

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17

А В

Рис. 1

Определение. Модулем вектора AB называется длина отрезка АВ, т.е. расстояние между точками А и В, и обозначается

| AB | AB .

Определение. Вектор, начало и конец которого совпадают, называет-

ся нулевым вектором, и обозначается 0 .

Из определения очевидно следует, что модуль вектора равен нулю тогда и только тогда, когда вектор нулевой.

п.1.3. Коллинеарные и сонаправленные векторы, ось Определение. Если на прямой выбран один (из двух возможных) порядок следования точек, то говорят, что на прямой выбрано положительное направление.

Определение. Прямая, на которой выбрано положительное направление называется осью.

Определение. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых.

Обозначение: AB || CD – векторы AB и CD коллинеарные, AB || CD –

векторы AB и CD неколлинеарные.

Определение. Вектор называется коллинеарным прямой (оси), если он лежит на ней или на параллельной прямой.

Обозначение: AB || L – вектор AB коллинеарный прямой или оси L.

Определение. Вектор, лежащий на оси, называется сонаправленным с осью, если его начало предшествует его концу (конец вектора следует за его началом). В противном случае говорят, что вектор и ось имеют противоположные направления. (Смотрите рисунки 2 и 3.)

2

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17

A B L

Рис. 2

A B L

Рис. 3

Обозначения: AB L – вектор AB сонаправлен с осью L, AB L –

вектор AB и ось L имеют противоположные направления.

Определение. Вектор AB , лежащий на оси L, называется правоориентированным, если AB L и называется левоориентированным, если AB L .

Определение. Два вектора, лежащие на одной прямой называются сонаправленными, если при любом выборе положительного направления на этой прямой оба вектора будут иметь одинаковую ориентацию. В противном случае векторы называются противоположно направленными.

Обозначение: AB CD – векторы AB и CD сонаправленные,

AB CD – векторы AB и CD имеют противоположные направления (противоположно направленные).

Пусть теперь два вектора AB и CD лежат на параллельных прямых. Тогда обе прямые лежат в одной плоскости. Через начала векторов проведем секущую АС. При этом возможны два случая. См. ри-

сунки 4 и 5:
	А		В		a
					b

С D Рис. 4

3

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17

	А		В	a
				b

D С

Рис. 5

Секущая АС, проведенная через начала обоих векторов делит плоскость, в которой лежат обе параллельные прямые а и b, на две полуплоскости. В первом случае (смотрите рисунок 4) концы векторов лежат в одной полуплоскости, а во втором случае (рисунок 5) – в разных полуплоскостях.

Определение. Два вектора, лежащие на параллельных прямых, называются сонаправленными, если их концы лежат в одной полуплоскости относительно прямой, проведенной через их начала. В противном случае говорят, что векторы имеют противоположные направления (противоположно направленные).

Определение. Пусть а и b две параллельные оси. На каждой оси возьмем по одному правоориентированному вектору. Если эти векторы сонаправленные, то данные оси называются сонаправленными. В противном случае говорят, что оси имеют противоположные направления.

п.1.4. Свободные векторы Определение. Два вектора называются равными, если они сонаправленные и имеют равные модули:

df

AB CD (AB CD) & (| AB | | CD |) .

Замечание. Пусть AB – произвольный вектор. Все векторы, равные

данному вектору можно обозначить одной буквой с чертой: a . Тогда про вектор AB a можно сказать, что это вектор a , отложенный от

точки А, которая называется точкой приложения вектора a . Множество всех различных (не равных) векторов будем обозначать VS , где буквой S обозначается множество всех точек пространства. Элементы

4

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17

множества VS называются свободными векторами (не имеющими определенной точки приложения), и обозначать одной буквой с чертой.

п.1.5. Сложение векторов и его свойства Определение. Пусть a,b VS – два произвольных вектора.

Отложим вектор a , от какой-нибудь точки А и обозначим его конец буквой В, так что AB a . Вектор b отложим от точки В (от конца первого вектора) и обозначим его конец буквой С, так что b BC . То-

гда вектор AC называется суммой векторов a и b и обозначается a b .

A					a					B
	a		b						b

C

Рис. 6

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Определение. Вектор b называется противоположным вектору a , если a b и | a | | b | , и обозначается a .

Из определения следует, что a a и | a | | a | , и если a AB , то

a BA .

Существует еще одно правило сложения векторов, которое называется правилом параллелограмма и дает точно такой же результат.

Оба вектора a и b отложим от одной точки А и обозначим через

В конец вектора a , через D – конец вектора b . Достраиваем до параллелограмма. Через точку D проводим прямую параллельную АВ, через точку В – прямую параллельную AD, точку пересечения по-

5

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17

строенных прямых обозначим буквой С. Тогда ABCD – параллелограмм. Вектор AC a b .

A

a

B

b

a

b

D

C

Рис. 7

Равенство AC a b следует из равенства векторов b AD BC и из определения, т.е. из правила треугольника сложения векторов.

Теорема. (Свойства сложения векторов.)

1. Сложение векторов подчиняется закону ассоциативности:

a, b, c VS , (a b) c a (b c) .

2.Нулевой вектор является нулевым элементом относительно сложения векторов:

a VS , a 0 0 a a .

3.Для любого вектора a VS существует противоположный ему вектор a VS , такой, что

a( a) ( a) a 0 .

4.Сложение векторов подчиняется закону коммутативности:

.

a, b VS ,

a

b

b

a

Следствие. Множество всех векторов VS относительно операции сложения является абелевой группой.

п.1.6. Умножение вектора на число

Определение. Произведением вектора a на действительное число

называется вектор, который обозначается a , и удовлетворяет следующим двум условиям:

1)| a | | | | a | ;

2)a a , если 0 и a a , если 0 .

6

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17

Теорема. (Свойства умножения вектора на число.)

1. Умножение вектора на число подчиняется закону ассоциативности:

, R,		VS ,	(
	a			a) ( ) a .

2.Умножение вектора на число подчиняется закону дистрибутивности умножения относительно сложения чисел:

, R, a VS , ( ) a a a .

3.Умножение вектора на число подчиняется закону дистрибутивности умножения относительно сложения векторов:

R, a, b VS , (a b) a b . 4. Верно равенство:

a

VS ,

1

a

a

.

Следствие. Множество всех векторов VS как направленных отрезков

в пространстве точек S является вещественным векторным пространством.

Теорема. (Простейшие свойства векторного пространства.)

1)В векторном пространстве существует единственный нулевой вектор.

2)В векторном пространстве любой вектор имеет единственный противоположный ему.

3)Произведение скаляра на вектор равно нулевому вектору тогда и

только тогда, когда либо скаляр нулевой, либо вектор нулевой:

K, x V : x 0 0 или x 0 .

4)Произведение вектора на минус единицу равно противоположному

вектору: x V :

( 1) x x .

Определение. Пусть a и b два произвольных вектора. Если верно равенство b a , где R , то говорят, что вектор b линейно вы-

ражается через вектор a .

Замечание. По определению полагают, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Теорема. (Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух

7

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17

векторов.) Для того, чтобы два вектора были коллинеарными необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них линейно выражался через другой.

Определение. Пусть a, b и c – произвольные векторы. Если верно равенство c a b , где , R , то говорят, что вектор c линей-

но выражается через векторы a и b .

п.2. Список задач Список №1

1.Изобразить на рисунке произвольный вектор и отложить его от произвольной точки.

2.Изобразить на рисунке правоориентированный (левоориентированный) вектор оси.

3.Построить сумму двух данных векторов по правилу параллелограмма.

4.Построить сумму двух или более данных векторов по правилу треугольника.

5.Построить произведение вектора на число.

6.Построить вектор, противоположный данному.

7.Построить разность двух векторов.

8.Определить взаимное расположение двух векторов.

9.Найти линейное выражение одного вектора через другой.

Список №2

1.Найти линейное выражение одного вектора через два других.

2.Решение некоторых задач геометрии с помощью векторов.

п.3. Примеры Пример 1. Для данного вектора, лежащего на прямой, выбрать на ней

положительное направление таким образом, чтобы вектор имел правую ориентацию.

Решение. Пусть дан вектор AB , лежащий на прямой L. A B L

Рис. 8

8

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17

Чтобы вектор AB был правоориентированным, нужно так выбрать направление на прямой L, чтобы его начало -- точка А предшествовала его концу – точке В. Следовательно, выбираем на прямой L положительное направление слева направо. Смотрите следующий рисунок.

A B L

Рис. 9

Ответ: рисунок 9.

Пример 2. Построить сумму двух данных векторов по правилу параллелограмма.

Решение. Оба данных вектора откладываем от одной точки и рассматриваем их как смежные стороны параллелограмма. Достраиваем до параллелограмма: через конец каждого вектора проводим прямую параллельную другому вектору.

a b

a b

Рис. 10

По определению суммы двух векторов, вектор a b , отложенный от той же точки, что и векторы слагаемые, совпадает с диагональю построенного параллелограмма.

Ответ: рисунок 18.

Пример 3. Построить сумму двух или более данных векторов по правилу треугольника.

Решение. Пусть даны 3 вектора a, b и c . Найдем их сумму a b c .

Отложим вектор a от произвольно выбранной точки А и обозначим его конец через В. Тогда a AB . Отложим вектор b от точки В и обозначим его конец через С, тогда b BC . Отложим вектор c от точки С и обозначим его конец через D, тогда с CD . По правилу треугольника сложения векторов, искомый вектор a b c AD .

9

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17

					С
			b
А	a
							c

В

a b c

D

Рис. 11

Ответ: рисунок 11.

Пример 4. Построить произведение данного вектора на данное число. Решение. Пусть дан вектор a и число k. Найдем их произведение k a . По определению умножения вектора на число, вектор k a коллинеарный вектору a и его модуль | k a | | k | | a |. Отложим вектор

a от произвольно выбранной точки А и обозначим его конец через В. Тогда a AB . Проведем через точки А и В прямую L. Отложим вектор k a от точки А, тогда его конец, обозначим его через С, лежит на прямой L и AC k a , причем его длина AC | k a |.

Если число k 0 ,

то векторы

AB

и

AС

– сонаправленные,

(рисунок 12):

AB

AC

k

L

a

a

А

В

С

Рис. 12

Если же число k 0 ,

то векторы

и

имеют противоположные

AB

AС

направления,

AB

AC

(рисунок 13):

k

a

a

L

С

А

В

Рис. 13

Ответ: рисунки 12 и 13.

10

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17

Пример 5. Построить вектор, противоположный данному.

Решение. По теореме о простейших свойствах векторного пространства, для любого вектора a противоположный ему вектор a ( 1) a . Тогда, в соответствии с предыдущей задачей получаем, что векторы

a и a имеют равные модули, но противоположные направления. Ответ: рисунок 14.

a

a

Рис. 14

Пример 6. Построить разность векторов.

Решение. По определению,

разностью

называется

вектор

a

b

(

назы-

a

b) , т.е. a b a ( b) . Иначе, разностью векторов

a

b

вается такой вектор

, что

.

с

a

b

с

a b с a

b

Рис. 15

Из рисунка мы видим, что если векторы a и b отложены от одной точки, то начало вектора a b находится в конце вектора b , а конец

вектора a b находится в конце вектора a . Ответ: рисунок 15.

Пример 7. Определить взаимное расположение векторов (1 k)a и

(k 1)a , где a – произвольный ненулевой вектор, в зависимости от

значений произвольного числового параметра k R .

Решение. Так как при умножении вектора на число получается вектор коллинеарный данному, то

(1 k)a || a || (k 1)a ,

откуда следует, что данные векторы коллинеарные при любых значениях параметра k. Из определения умножения вектора на число следу-

11

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17

ет, что

(1 k)a (k 1)a (1 k)(k 1) 0 .

Решая последнее неравенство, находим ответ.

Ответ: при k [ 1;1] , (1 k)a (k 1)a , при k ( ; 1) (1; ) , (1 k)a (k 1)a .

Пример 8. Пусть О – точка пересечения медиан треугольника АВС, и AD – одна из его медиан. Найдите линейное выражение вектора OA через: а) вектор DA ; б) векторы AB и AC .

Решение. Смотрите рисунок 16. Из рисунка находим, что векторы OA

и DA лежат на одной прямой и сонаправленные. Точка О делит медиану AD в отношении 2 : 1, считая от вершины, следовательно,

OA 23 DA .

Далее, точка D – середина стороны ВС, поэтому

DB 12 CB 12 (AB AC) .

Из треугольника ABD находим

DA AB DB 12 (AB AC) DA 12 (AB AC) .

Так как OA 23 DA , то OA 13 (AB AC) . A

O

B C

D

Рис. 16

12

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17

Ответ: а) OA 23 DA ; б) OA 13 (AB AC) .

п.4. Задачи Задачи для аудиторного решения 7

1.Изобразите на рисунке какой-нибудь произвольный вектор и отложите его от произвольно выбранной точки.

2.Изобразите на рисунке вектор, лежащий на оси и имеющий правую (левую) ориентацию.

3.Изобразите два произвольных вектора, отложенных от одной точки,

ипостройте их сумму по правилу: а) параллелограмма; б) треугольника.

4.Изобразите два произвольных вектора, отложенных от одной точки,

ипостройте их разность.

5.По данным векторам a и b , отложенными от одной точки, построить векторы:

					1						3						1
а) 2a		b ; б)				(a		2b) ; в)				(a		2b)				(a		2b) a b .
					2						4						4

6.В треугольнике АВС дано: AB a, AC b , М – середина стороны ВС. Используя линейные операции с векторами, выразите вектор

AM через векторы a и b .

7. В треугольнике АВС: М – точка пересечения медиан, AM a, AC b . Используя линейные операции с векторами, выра-

зите векторы AB и BC через a и b .

8.В равнобочной трапеции ABCD дано: AD 2BC , AB a , BC b . Выразите через векторы a и b вектор CD и:

а) постройте вектор

1

;

AB

BC

CD

2

2

1

б)

докажите, что

,

и

CD

BA

BC

AC

DB

AB

1

3

3

.

(AB

BC

CD)

AB

2

9.Даны векторы a и b . Коллинеарны ли векторы:

а) c a 2b и d 2a 4b ; б) c a 2b и d 2a 4b ;

в) c a 2 3 b и d 3 a 6 b ?

13

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17

10. При каких значениях векторы 2 a и ( 3 1) a сонаправленные?

11.Дано: | a | 13, | b | 19, | a b | 24 . Найти | a b | .

12.Точка О является центром тяжести треугольника АВС. Доказать,

что OA OB OC 0 .

Задачи повышенного уровня сложности 7

13. В параллелограмме АВСD: К и М – середины сторон ВС и СD, AK a, AM b . Выразить векторы BD и AD через векторы a и

b.

14.В четырехугольнике АВСD диагонали, пересекаясь делятся пополам. Доказать, что этот четырехугольник – параллелограмм.

15.Пользуясь линейными операциями с векторами докажите, что медианы любого треугольника пересекаются в одной точке. (Указание: пусть О – точка пересечения медиан AD и ВЕ, F – середина

стороны АВ. Выразите векторы OF и CO через векторы AB и

AC .)

16. В треугольнике АВС, CN и BK – медианы. Докажите, что

2

.

(Указание.

Докажите,

что

AB

AC

(CN

BK)

CB

3

, О – точка пересечения медиан.)

CB

OB

OC

Домашнее задание 7. Линейные операции с векторами

1. В равнобочной трапеции ABCD,

AD 2BC ,

,

. Вы-

AB

a

AD

b

разите через векторы

и

векторы: а)

;

б)

; в)

; г)

a

b

AC

BC

CD

BD .

2.При каких значениях х векторы x3 a и (x2 x 2) a противоположно направлены?

3.Дано: a b, | a | 5, | b | 12 . Найти | a b | и | a b | .

4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 , AB p, AD q, AA1 r . Выразите через векторы p, q, r векторы:

AC, D1B1, AC1, B1C, D1B, DB1 .

14

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17

Самостоятельная работа 7

Вариант 1.

1.Определение коллинеарных векторов.

2.Изобразите на рисунке произвольный треугольник ABC, и построй-

те векторы AB AC и AB AC .

3. В треугольнике АВС, AB a, AC b , BD – медиана. Выразите век-

тор DB через векторы a и b . Вариант 2.

1.Определение оси.

2.Изобразите на рисунке произвольный треугольник ABC, и построй-

те векторы AB и BA BC .

3. В треугольнике АВС, АК – медиана, AB a, AK m Выразите век-

тор BK через векторы a и m . Вариант 3.

1.Определение сонаправленных векторов, лежащих на одной оси.

2.Изобразите на рисунке произвольный треугольник ABC, и построй-

те векторы 12 AB 12 AC и AB 12 AC .

3. В треугольнике АВС, AB a, AC b , О – точка пересечения меди-

ан. Выразить вектор OB через векторы a и b . Вариант 4.

1.Определение сонаправленных векторов, лежащих на параллельных прямых.

2.Изобразите на рисунке произвольный треугольник ABC, и построй-

те векторы 12 AB 12 AC и AB 32 BC .

3.В треугольнике АВС, AB a, AC b , О – точка пересечения медиан. Выразить вектор OC через векторы a и b .

п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 7 Обозначения

1.Обозначение пространства точек.

2.Обозначение расстояния между точками А и В.

3.Обозначение вектора, как направленного отрезка.

4.Обозначение модуля вектора.

15

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17

5.Обозначение векторного пространства всех векторов, как направленных отрезков.

6.Обозначение свободного вектора, как элемента векторного пространства.

7.Обозначение коллинеарных векторов, вектора и прямой.

8.Обозначение неколлинеарных векторов.

9.Обозначение сонаправленных вектора и оси.

10.Обозначение противоположно направленных вектора и оси.

11.Обозначение сонаправленных векторов.

12.Обозначение противоположно направленных векторов.

13.Обозначение равных векторов.

14.Обозначение суммы векторов.

15.Обозначение нулевого вектора.

16.Обозначение вектора противоположного данному.

17.Обозначение произведения вектор на скаляр.

Определения

1.Определение вектора.

2.Определение модуля вектора.

3.Определение коллинеарных векторов.

4.Определение положительного направления на прямой.

5.Определение оси.

6.Определение вектора коллинеарного прямой.

7.Определение вектора оси, сонаправленного с осью.

8.Определение ориентации вектора на оси.

9.Определение сонаправленных векторов, лежащих на одной прямой.

10.Определение сонаправленных векторов, лежащих на параллельных прямых.

11.Определение равных векторов.

12.Определение суммы двух векторов.

13.Определение нулевого вектора.

14.Определение противоположного вектора.

15.Определение произведения вектора на число.

16.Определение линейного выражения одного вектора через другой.

Теоремы

1.Свойства сложения векторов.

2.Свойства умножения вектора на число.

3.Простейших свойствах векторного пространства.

16

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 7, с.17

4.Необходимые и достаточные условия коллинеарности двух векторов.

Тест 7

1.Изобразить на рисунке вектор, лежащий на оси и имеющий левую ориентацию.

2.Изобразите два произвольных вектора, отложенных от одной точки,

ипостройте их сумму по правилу параллелограмма.

3.Изобразите два произвольных вектора, отложенных от одной точки,

ипостройте их сумму по правилу треугольника.

4.Изобразите два произвольных вектора, отложенных от одной точки,

ипостройте их разность.

5.По данному вектору a постройте противоположный ему вектор.

6.По данному вектору a постройте вектор 3a .

7. По данным векторам a и b построить вектор 12 (3a 2b) .

8. В треугольнике АВС дано: AB a, AC b , М – середина стороны ВС. Используя линейные операции с векторами, выразите вектор AM через векторы a и b .

9.Пусть О – точка пересечения медиан треугольника АВС, и AD – одна из его медиан. Найдите линейное выражение вектора OA через вектор OD .

10.В равнобочной трапеции ABCD нижнее основание AD в два раза

больше верхнего ВС, MN – средняя линия. Выразите вектор MN

через векторы AB и CD .

17

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18

Практическое занятие 8 Декартовая система координат на прямой

Краткое содержание: проекция вектора на ось и её свойства, координата вектора оси, координатная форма записи вектора оси, радиус-вектор, координата точки оси, координатная прямая, вычисление координаты вектора числовой оси и расстояния между её двумя точками, деление отрезка в данном отношении, внутренним и внешним образом, вычисление отношения и координаты точки деления.

п.1. Теория п.1.1. Проекция вектора на ось и её вычисление

Определение. Пусть А и В – произвольные точки пространства, L – произвольная ось, A и B – проекции точек А и В на ось L. Проекци-

ей вектора AB на ось L называется действительное число, которое обозначается прL AB и определяется равенством

		A B , если			L
				A B
прL AB						L	,
		A B , если		A B

где A B обозначает длину отрезка A B оси L. (Смотрите рисунок 1.)

А

В L

	A
					B

Рис. 1

Рассмотрим случай, когда проектируемый вектор коллинеарен оси. Смотрите рисунки 2 и 3.

ВА

L

B A

Рис. 2

1

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 8, с.18

	A A
B B			L

Рис. 3

В обоих случаях, по определению проекции вектора на ось, мы имеем равенство

AB A B ,

и проекция вектора AB на ось L равна его модулю, взятому со знаком плюс, если вектор правоориентированный на оси L, и со знаком минус, в противном случае:

| AB |,

если AB L

прL AB

.

если AB L

| AB |,

п.1.2. Координата вектора оси Определение. Координатой вектора оси называется его проекция на эту ось.

Обозначим координату вектора а оси L через aL . Если а AB , то ко-

ординату вектора AB на оси L будем обозначать, по определению,

прL AB .

Теорема. (О знаке координаты вектора оси.)

Координата вектора оси неотрицательна и равна его модулю, если вектор правоориентирован на оси. Координата вектора отрицательна и противоположна его модулю, если вектор левоориентирован на оси.

| a |,

если

a L

aL

прL a

.

если

a L

| a |,

Следствие. (О модуле координаты вектора оси.) Модуль координаты вектора оси равен модулю этого вектора: | aL | | a | .

Следствие. (О координатах противоположных векторов оси.) Координаты противоположных векторов – противоположны, т.е.

2