_gmurman2[1]
.pdf324. Нормально распределенная случайная величина X задана плотностью flx) = —i==-e-<^-^>*/*«. Найти матема-
тическое ожидание и дисперсию X.
325. Дана функция распределения нормированного
X
нормального закона F (х) == -^ — \ е-^'/М/. Найти HVIOT-
ность распределения f{x).
326. Доказать, что параметры а и о—плотности нормального распределения — являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением X.
У к а з а н и е . При нахождении М(Х) и D (X) следует ввести новую переменную г^(х—а)/а и использовать интеграл Пуассона
00
— 00
327. Доказать, что функция Лапласа
X
нечетна: Ф(—х) =—Ф(д:).
Указание . Положить z = — / в равенстве
У~2л
328. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 10 н 2. Найти вероят ность того, что в результате испытания X примет значе ние, заключенное в интервале (12, 14).
Решение. Воспользуемся формулой
Я ( « < Х < р ) = ф ( & = - « ) - ф ( « ^ ) .
Подставив а=12, Р = 14, ^==10 и 0=^2, получим Р {\2 < X < I4)=s = Ф(2)—Ф(1). По таблице приложения 2 находим: Ф (2) = 0,4772, Ф(1) = 0,3413. Искомая вероятность Р (\2 < X < 14) = 0,1359.
329. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной
110
величины X соответственно равны 20 и 5. Найти вероят ность того, что в результате испытания X примет значе ние, заключенное в интервале (15, 25).
330. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена нормально с математи ческим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фак тически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.
У к а з а н и е . Из равенства Р (32 < X < 68) = 1 предварительно найти а.
331. Производится измерение диаметра вала без си стематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения X подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением а=10мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не пре восходящей по абсолютной величине 15 мм.
Решение. Математическое ожидание случайных ошибок равно нулю» поэтому применима формула Р{\Х\< о) = 2Ф(6/а). Положив 6=15, а=10, находим Я ( | Х | < 15)=2Ф(1,5). По таблице прило жения 2 находим: Ф (1,5) =0,4332. Искомая вероятность
Р(\Х\ < 15)^2.0,4332 = 0,8664.
332.Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвеши вания подчинены нормальному закону со средним квад ратическим отклонением а = 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не пре восходящей по абсолютной величине 10 г.
333.Случайные ошибки измерения подчинены нор мальному закону со средним квадратическим отклонением
а= 20 мм и математическим ожиданием а = 0. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного не ь^^евзойдет по абсолютной величине 4 мм.
334. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение X диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально со средним квадратическим отклонением а = 0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста из готовленных.
Решение. Так как X—отклонение (диаметра шарика от про ектного размера), то Af(X) = a = 0.
Ill
Воспользуемся формулой Р (\Х\ < 6) -^2Ф (6/а). Подставив в = 0,7, а5^0,4, получим
Р(\Х\ < 0,7) = 2 ф ( ^ ) = 2 Ф ( 1 , 7 5 ) = 2.0,4599 = 0,92.
Таким образом, вероятность отклонения, меньшего 0,7 мм, равна 0,92. Отсюда следует, что примерно 92 шарика из 1СЮ окажутся годными.
335.Деталь, изготовленная автоматом, считается год ной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нор мальному закону со средним квадратическим отклонением 0=^5 мм и математическим ожиданием а = 0. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?
336.Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста, длина которого 30 м и ширина 8 м, сбросил бомбы. Случайные величины X н Y (расстояния от вертикальной и гори зонтальной осей симметрии моста до места падения бомбы) независимы и распределены нормально со средними квад-
ратическими отклонениями, соответственно равными 6 и 4 м, и математическими ожиданиями, равными нулю. Найти: а) вероятность попадания в мост одной сброшен ной бомбы; б) вероятность разрушения моста, если сбро
шены две бомбы, причем известно, что для |
разрушения |
|||||
моста достаточно одного попадания. |
|
|||||
337. Случайная величина X распределена нормально |
||||||
с математическим ожиданием а = |
10. Вероятность попада |
|||||
ния X в интервал (10, 20) равна |
0,3. Чему |
равна веро |
||||
ятность попадания X в интервал |
(О, 10)? |
|
||||
Р е ш е н и е . |
Так как |
нормальная |
кривая симметрична относи |
|||
тельно |
прямой |
д: = а=10, |
то площади, |
ограниченные сверху нор |
||
мальной |
кривой |
и снизу—интервалами |
(О, 10) и |
(10, 20), равны |
между собой. Поскольку эти площади численно равны вероятностям попадания X в соответствующий интервал, то
Я (О < JV < 10) = Р (10 < X < |
20)==0,3. |
|
338. Случайная |
величина X распределена нормально |
|
с математическим |
ожиданием а ^25. |
Вероятность попа |
дания X в интервал (10, 15) равна 0,2. Чему равна веро |
||
ятность попадания |
X в интервал (35, 40)? |
339.Доказать, что
Р( | Х — а | < а О = 2Ф(0,
т.е., что значение удвоенной функции Лапласа при за данном / определяет вероятность того, что отклонение
112
X—а нормально распределенной случайной величины X по абсолютной величине меньше ot.
У к а з а н и е . Использовать формулу Р (| X—а \ < 6) ==2Ф (6/0), положив б/а--/.
340. Вывести «правило трех сигм»: вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормально распре деленной случайной величины б>^дет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.
У к а з а н и е . Использовать решение задачи 339, положив / = 3.
341. Случайная |
величина |
X распределена нормально |
с математическим |
ожиданием |
0 = 1 0 и средним квадра- |
тическим отклонением а - ^5 . Найти интервал, симмет
ричный относительно |
математического ожидания, в кото |
|
рый с вероятностью |
0,9973 попадет величина |
X в ре |
зультате испытания. |
|
нормально |
342. Случайная величина X распределена |
||
со средним квадратическим отклонением а = 5 мм. Найти |
длину интервала, симметричного относительно математи ческого ожидания* в который с вероятностью 0,9973 попадет X в результате испытания.
343. Станок-автомат изготовляет валики, причем кон тролируется их диаметр X. Считая, что X—нормально
распределенная случайная величина |
с |
математическим |
||
ожиданием а = 1 0 м м и средним квадратическим |
откло |
|||
нением а = 0,1 мм, найти |
интервал, симметричный |
отно |
||
сительно математического |
ожидания, |
в |
котором с |
веро |
ятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.
344. Нормально распределенная случайная величина X задана плотностью
Найти моду и медиану X.
Р е ш е н и е . Модой Af© (X) называют то возможное значение X, при котором плотность распределения имеет максимум. Легко убе диться, что при х = а производная /' (а)=0; при х < а производная
/' (х) > О, при X > а |
производная /' (х) < 0; |
|
таким образом, точка |
|||
х = а есть точка максимума, |
следовательно, |
MQ(X)=^a, |
||||
Медианой |
М^ (X) |
называют то |
возможное |
значение X, при ко |
||
тором ордината / (х) делит пополам |
площадь, ограниченную кривой |
|||||
распределения. Так как нормальная |
кривая |
[график функции f (х)] |
||||
симметрична |
относительно |
прямой |
jc = a, то |
ордината f (а) делит |
ПЗ
пополам площадь, ограниченную нормальной кривой. Следовательно, А!^(Х) = а.
Итак, мода и медиана нормального распределения совпадают
сматематическим ожиданием а.
345.Случайная величина X распределена нормально» причем математическое ожидание а = 0 н среднее квадратическое отклонение равно а. Найти значение а, при котором вероятность того, что X примет значение, при надлежащее интервалу (а, Р) (а > О, р > а), будет наи большей.
У к а з а н и е . Воспользоваться формулой
Р (а < X < Р) = Ф (Р/а)—Ф (а/о) =
Э/а |
а/а |
У^ i |
1/-2Л J |
найти а из уравнения ф'(а)=:0.
§6. Показательное распределение
иего числовые характеристики
Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описы
вается плотностью |
|
/ О |
при |
д: < 0 , |
. , |
||
|
|
||||||
где X—постоянная |
положительная |
величина. |
|
||||
Функция распределения |
показательного |
закона |
|
||||
|
F(*)={ |
|
при JC < о» |
(*•) |
|||
|
.-х,_: |
|
: г г |
||||
|
-{.-V^ при |
|
х^О. |
|
|||
Вероятность попадания в интервал (а, |
Ь) непрерывной |
случай* |
|||||
ной величины X, |
распределенной |
по показательному закону» |
|||||
|
Р{а<Х< |
6) = е - ^ — е - ^ . |
|
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного распределения соответственно равны:
Л1(Х) = 1А, D(X) = 1A«, а(Х) = 1А.
Таким образом, математическое ожидание и среднее квадрати ческое отклонение показательного распределения равны между собой.
346. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр Х==5.
114
Р е ш е н и е . Подставив л = 3 в соотношения (*) и (**), получимг ( о при X < О,
|
|
-5-^' при дс^О; |
|
г (л) = |
/ |
О |
п р и х < 0 , |
< , |
при х:>0. |
||
^ ' |
\ |
1 —е-5дг |
347. Написать плотность п функцию распределения |
|
показательного закона, если параметр Х,а=6, |
|
348. Найти параметр К показательного распределе |
|
ния: а) заданного плотностью / {х)=0 при х < О, / (л:)==2е""^^ |
|
при х^О; |
б) заданного функцией распределения F(x)=0 |
при х < 0 |
и F(x) = l—е-^'*^ при х > 0 . |
349. Доказать, что если непрерывная случайная вели |
|||||||
чина X распределена по показательному закону, то вероят |
|||||||
ность |
попадания X |
в интервал (а, Ь) равна е*"^^—е"^ |
|||||
Р е ш е н и е . П е р в ы й с п о с о б . |
Пусть |
величина X задана |
|||||
функцией |
распределения |
F{x)=^l—e-^ix^O), |
Тогда вероятность |
||||
попадания |
X |
в интервал |
(а, Ь) (см. гл. VI, § 1) |
||||
Р(а< |
X < b)^F(b)-^F |
(а) = |
[1 —е-^^] — [1 —е-^^] =е->^—е-^*. |
||||
В т о р о й |
с п о с о б . Пусть |
величина |
X задана плотностью рас |
||||
пределения /(д:)=Хе-^-^ (х^О). В этом случае |
(см. гл. VI, § 2) |
||||||
|
|
|
|
а |
|
|
. -ч |
|
|
|
|
и |
|
|
|
350. Непрерывная случайная величина X распреде лена по показательному закону, заданному плотностью вероятности f(x) = 3e^^'^ при л'^О; при ;с<0 /(jc) = 0. Найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (0,13, 0,7).
Р е ш е н и е . Используем форм> лу
Р(а< X < fc) = e-^«—е-^ь.
Учитывая, что, по условию, а = 0,13, 6 = 0,7, А. = 3, и пользуясь таблицей значений функции е-*, получим
Р (0,13 < X < 0,7) = е-з.о.1з _е-з-о,7 =е-о.39^е-зД =
=0,677—0,122 = 0,555.
351.Непрерывная случайная величина X распреде лена по показательному закону, заданному при х^О плотностью распределения /(х) = 0,04-е""®'<>*-^; при х < 0 функции f{x) = 0. Найти вероятность того, что в резуль тате испытания X попадает в интервал (1, 2).
115
S52. Непрерывная случайная величина X распреде |
||
лена по показательному закону» заданному функцией |
||
распределения F(x)= Г—е~®'** при |
JC^O; при х < 0 |
|
F(jr) = 0. Найти вероятность того, что в результате ис |
||
пытания X попадет в интервал (2, 5). |
|
|
353. Найти математическое ожидание показательного |
||
распределения |
|
|
f(jc) = Xe-^' (JC^O); |
/(х)=-0 |
(х < 0). |
Р е ш е н и е . Используем формулу |
|
|
во |
|
|
M(X)==z \ |
xf (X) dx. |
|
— »
Учитывая, что /(д:)-=гО при дг < О и /<дг)~Хе-^ при д:^О, получим
о»
Af(X) = X JxX ' .ie'^^Vr— A . J C . .
о
Интегрируя по частям по формуле
\ udv ^ wt» I — \ tfda.
положив (/=^дг, (1у = е-*'*(1дг и выполнив выкладки, окончательно по лучим Л1(Х) = 1/Х.
Итак, математическое ожидание показательного распределения равно обратной величине параметра X.
354. Найти математическое ожидание показательного |
|||||
распределения, заданного |
при |
дс^О: а) |
плотностью |
||
f (jc) = 5е-5*; б) функцией распределения F {х) — \ —е"®«^*. |
|||||
355. а) Доказать, что если непрерывная случайная |
|||||
величина распределена по показательному закону, то |
|||||
вероятность того, что X примет значение, меньшее мате |
|||||
матического |
ожидания М{Х), не |
зависит от величины |
|||
параметра Х; б) найти вероятность того, что Х> |
М (X). |
||||
356. Найти: а) дисперсию; б) среднее квадратическое |
|||||
отклонение |
показательного |
распределения, |
заданного |
||
плотностью |
вероятности: /(л-) = Хе"^^ при х^О; |
/(х)=«0 |
при JC < 0.
Р е ш е н и е , а) Используем формулу
D(X)= J x*f{x)dx-lM(X)]\
— 00
116
Учитывая, что / ( х ) = 0 при дг < О, М {Х)^]/К (см. задачу 35S), по лучим
00
О
Интегрируя дважды по частям, найдем
ос
о
Следовательно, искомая дисперсия
т. е. дисперсия показательного распределения равна величине, об ратной X*.
б) Найдем среднее квадратическое отклонение:
а(Л')= К Щ А ) = / Г Д 2 = = 1 Д .
т. е. среднее квадратическое отклонение показательного распределе ния равно величине, обратной Я.
357.Найти дисперсию и среднее квадратическое от клонение показательного распределения, заданного плот ностью вероятности /(х) == 10е~^®^ (л:^0).
358.Найти дисперсию и среднее квадратическое от клонение показательного закона, заданного функцией
распределения F {х) = 1 —е~^»^^ (х^ 0).
359. Студент помнит, что плотность показательного распределения имеет вил /(л)==0 при v < О, /(х)==Се"^^* при х^0\ однако он забыл, чему равна постоянная С. Требуется найти С.
У к а з а н и е . Использовать свойство плотности распределения;
—OD
360.Найти теоретический центральный момент третьего порядка Цз = Л1 [X — М (X)J^ показательного распределе ния.
У к а з а н и е . Использовать решения задач 353 и 356.
361. Найти асимметрию ^, = |11я/о»(Х) показательного распределения.
У к а з а н и е . Использовать решения задач 356 и 360.
117
362.Найти теоретический центральный момент четвер того порядка \1^ = М[Х — Л1 (X)]* показательного распре деления.
363.Найти эксцесс Е,^ = оЧ^Х)—^ показательного рас пределения.
364.Доказать, что непрерывная случайная величина
Т— время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока с заданной интенсивностью к
(см. гл. IV, § 2)—имеет показательное распределение
Р е ш е н и е . |
Предположим, что в момент to наступило событие At |
||||
потока. Пусть |
ti — to + t |
(рекомендуем для наглядности |
начертить |
||
ось времени и отметить на ней точки ^о и /i). |
|
At, |
|||
Если |
хотя бы одно событие потока, следующее за событием |
||||
произойдет |
в интервале, |
заключенном внутри интервала |
(^о* |
hh |
например, в интервале (/Q» ti)t то время Т между появлениями двух последовательных событий окажется меньшим t, т. е. окажется, что
Т <t. |
Р (Т < /), примем во вни |
|
Для того чтобы найти вероятность |
||
мание, что события — «внутри интервала |
(/о# tf) |
появилось хотя бы |
одно событие потока» и «внутри интервала (to, |
ti) не появилось ни |
одного события потока»—противоположны (сумма их вероятностей
равна единице). |
непоявления за время / ни одного события потока |
Вероятность |
|
Pf(0)= -^—'— |
i = e-^^ Следовательно, интересующая нас веро |
ятность противоположного события Р (Т < 0 = 1—е-^^, или [по оп ределению функции распределения F(() = P(T<i)] имеем F{t) = =1—е-^^, что и требовалось доказать.
365. Задана интенсивность простейшего потока Х = 5. Найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию; в) сред нее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины Т—времени между появлениями двух последо вательных событий потока.
У к а з а н и е . Использовать решение задачи 364.
366. На шоссе установлен контрольный пункт для проверки технического состояния автомобилей. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое от клонение случайной величины Т — времени ожидания очередной машины контролером,— если поток машин про стейший и время (в часах) между прохождениями машин через контрольный пункт распределено по показатель ному закону /(/) = 5e"*^
У к а з а н и е . Время ожидания машины контролером и время прохождения машин через контрольный пункт распределены одинаково.
118
§ 7. Функция надежности
Элементом называют некоторое устройство, независимо от того» «простое» оно или «сложное». Пусть элемент начинает работать в мо мент времени /о = 0, а в момент / происходит отказ. Обозначим через Т непрерывную случайную величину—длительность времени безотказной работы элемента, а через Я—интенсивность отказов (сред нее число откззов в единицу времени).
Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого
|
f |
( / ) = р (Г < / ) = |
!—е-^' |
(Х>0) |
|
определяет в е р о я т н о с т ь о т к а з а элемента за |
время длитель- |
||||
ностью /. |
надежности R (/) называют функцию, |
определяющую |
|||
Функцией |
|||||
в е р о я т н о с т ь |
б е з о т к а з н о й |
р а б о т ы |
элемента за время |
||
длительностью |
/: |
|
|
|
|
^г(0=e-^^
367. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение F (/)= 1 —е-®»®*' (t > 0). Найти вероятность того, что за врек1я длительностью /=50 ч: а) элемент откажет; б) элемент не откажет.
Р е ш е н и е , а) Так |
как функция распределения f (/) = 1 —е-^»<>*' |
определяет вероятность |
отказа элемента за время длительностью /, |
то, подставив / = 50 в функцию распределения, получим вероятность отказа:
f (50) = 1 —е-о.о1.5о= 1 _е-0'* = 1 --0,606 = 0,394;
б) события «элемент откажет» и «элемент не откажет»—противо положные, поэтому вероятность того, что элемент не otкaжeт
Р = 1—0,-394 = 0.606.
Этот же результат можно получить непосредственно, пользуясь функцией надежности /?(0==е-^'', которая определяет вероятность безотказной работы элемента за время длительностью /:
R (50) = е--о,01.бо = е-0.5 = о,606.
Зв8, Длительность времени безотказной работы эле мента имеет показательное распределение F (/)= 1—е'"^»*^*^ Найти вероятность того, что за время длительностью
/= 100 ч: а) элемент откажет; б) элемент не откажет.
369.Испытывают два независимо работающих эле мента. Длительность времени безотказной работы первого
элемента |
имеет |
показательное |
распределение |
Fi{t) = |
|
= \—е""^«®*', |
второго |
F^{t)=\—е"'®'^^?^ Найти вероят |
|||
ность того, что за время длительностью /==6 |
ч: а) оба |
||||
элемента |
откажут; б) оба элемента не откажут; в) только |
||||
один элемент откажет; |
г) хотя |
бы один элемент откажет. |
119