telnov-machanika-and-TO

модействиях таким переносчиком является фотон, в гравитационных – гравитон, в слабых – W и Z бозоны, в сильных – глюоны. Электромагнитное и гравитационное поле на больших расстояниях можно описывать на языке классической физики, в которой считается, что частицы создают вокруг себя некое (материальное) поле, которое оказывает воздействие на другие частицы с силой, зависящей от напряженности поля.

Понятие поля возникло и плодотворно используется в классической физике уже давно, давайте и мы рассмотрим некоторые свойства поля на примере электрического взаимодействия (выводы легко перенести на гравитационное взаимодействие). Детально электрические явления изучаются в курсе электродинамики, здесь мы рассмотрим только некоторые механические аспекты.

Электромагнитное взаимодействие

Взаимодействие первого заряда на второй можно записать в виде

	F	=	q1q2	r = q	E,	E =	q1	r,	(34.7)
			r3				r3
	21			2

где E – электрическое поле, создаваемое первой частицей. В этом случае потенциальная энергия взаимодействия будет

	U21 = q2j ,	q1		(34.8)
	r
где	j = -ò¥ Edl =		.	(34.9)
		r
	Теорема Гаусса
	Поля, спадающие с расстоянием как 1/r2			удобно изображать сило-

выми линиями, плотность которых пропорциональна напряженности поля. Нетрудно видеть, что поток поля через любую сферическую поверхность, охватывающую заряд не зависит от расстояния этой поверхности от заряда. Действительно

	плошадь сферы´E = 4pr2	q		= 4pq	(34.10)
		r2
	В общем случае, определим поток как
	ò Eds ,				(34.11)
	S
	где ds = ds n , где n – единичный вектор,			перпендикулярный к

поверхности в каждой ее точке и направленный наружу из рассматриваемой замкнутой поверхности, тогда

81

ò E ds = ò		q	rds = qò	ds^	= qò dW = 4pq	(34.12)
		3		2
S	S	r		r

Полученное соотношение называется теоремой Гаусса. Это основная теорема электродинамики, которая применяется для вычисления электрических полей, входит в систему уравнений Максвелла. Она выражает связь между потоком напряжённости электрического поля сквозь замкнутую поверхность и зарядом в объёме, ограниченном этой поверхностью. Эта теорема справедлива только для полей, спадающих

с расстоянием как 1/r2 .

Используя теорему Гаусса легко найти электрические поля в простейших конфигурациях.

Поле от заряженной плоскости.

Пусть плоскость имеет заряд с поверхностной плотностью s = QS .

Охватываем заряд поверхностью в виде цилиндра с единичной площадью дна (рис. 25), тогда из теоремы Гаусса (боковые поверхности не дают вклад в поток) находим 2E = 4ps , отсюда

					E = 2ps .	(34.13)
	E		Примечание. Для обозначения величи-
			ны заряда здесь используются буквы q или
			Q , первая для точечного заряда, вторая для
			заряда, распределенного в пространстве.
	Рис. 25		Поле заряженной нити.
			Пусть нить заряжена с линейной плот-
ностью l = Q		. Охватывая нить цилиндром радиуса r				и единичной
	l
длины и применяя теорему Гаусса, находим 2pr E = 4pl, отсюда
			E =	2l	.	(34.14)
				r

Поле снаружи и внутри заряженной сферы

Из симметрии силовые линии поля заряженной сферы представляет собой симметричный ежик. Охватывая заряженную сферу с зарядом Q

82

сферической поверхностью радиуса r , из теоремы Гаусса получаем 4pr2E = 4pQ и поле

E = Q	,	(34.15)
r

такое же, как поле точечного заряда.

Внутри заряженной сферы, если и есть какое-то поле, то из симметрии оно должно быть радиальное. Охватывая центр сферы поверхность с радиусом меньшим, чем радиус заряженной сферы, получаем, что охваченный поверхностью заряд равен нулю, а, следовательно, и поле внутри заряженной сферы равно нулю.

Потенциал заряженной сферы

Раз поле от заряженной сферы такое же, как и от точечного заряда, то и потенциал на поверхности сферы будет таким же

j = Q	,	(34.16)
R

где R – радиус сферы.

Потенциальная энергия заряженной сферы

Мы знаем, как находить потенциальную энергию для дискретных зарядов, здесь же заряд размазан по поверхности. Рассмотрим несколько подходов к этой задаче.

Потенциальная энергия – это фактически работа поля, которую нужно затратить, чтобы заряды, находящиеся на бесконечности друг от друга, собрать на сфере. Пусть на сфере уже есть некий промежуточный заряд Q , тогда потенциал сферы j =Q/R . Работа по переносу

очередной порции заряда dQ с бесконечности на поверхность сферы

dA = jdQ = QR dQ .

Интегрируя заряд от нуля доQ0 , получаем

Q0		2
U = ò dA = ò jdQ = ò	QdQ =	Q0	.
0	R	2R

(34.17)

(34.18)

Следует заметить, что в (34.18) нет привычного знака минус перед интегралом, поскольку в данном случае dA – это не работа, которую совершают заряды, а работа, которую совершают над зарядами. Она имеет противоположный знак.

83

Потенциальная энергия заряженного шара.

Пусть заряд Q0 однородно распределен по объему шара радиуса R .

Поле внутри шара на расстоянии r от центра создается только зарядами, которые находятся ближе к центру, тогда

E =		Q0		4 pr3	1	=	Q0	r .	(34.19)
					r2		R3
	4	pR	3 3
	3

Поле равно нулю в центре и линейно растет от центра до поверхности шара, а далее спадает как поле от точечного зарядаE = Qr20 .

Для нахождения потенциальной энергии шара будем, как и в предыдущей задаче, добавлять заряд малыми порциями, при этом размер шара будет нарастать с нуля доR . Если шарик уже имеет размер r , то его потенциал

j =		Q0		4 pr3 1	=	Q0	r2 .	(34.20)
						R3
	4	pR	3 3 r
	3

Далее заметим, что приращение заряда связано с приращением радиуса как произведение плотности заряда на объем сферического слоя

dQ =

Q

0

4pr2dr =

3Q

r2dr .

(34.21)

0

4

3

R3

3

pR

Потенциальную энергию находим аналогично (34.18)

Q0

Q0

R

Q0

3Q0

R

2

2

U = ò dA = ò

r2dQ = ò

r2

r2dr = ò

3Q0

r4dr =

3Q0

(34.22)

3

3

3

6

5R

0

R

0

R

R

0

R

§ 35. Энергия поля, классический радиус электрона, черные дыры

Мы нашли потенциальную энергию для сферы, шара, а где сидит эта энергия? В поле, где же еще. Найдем эту связь.

Q2

Возьмем заряженную сферу. Ее энергия (34.18) U = 2R0 . Уменьшим радиус на dR (положительная величина), изменение потенциаль-

84

ной энергии будет (дифференцируем U и учитываем, что изменение радиуса равно -dR )

	dU =	Q2	dR .	(35.1)
		0
		2R2

В чем разница в конфигурации полей? Во втором случае добавилось поле в слое толщиной dR вблизи поверхности, где его величина

составляла E = QR02 . Нетрудно заметить, что

çæQ0		÷ö2	4pR2dR		E2
dU = ç		÷		=	dV ,	(35.2)
	2
ç		÷
ç		÷	8p		8p
èR		ø

т.е. можно скзать, что добавочная потенциальная энергия в объеме сидит в добавочном объеме поля dV и плотность энергии электрического поля

u = dU	= E2 .	(35.3)
dV	8p

Это важный результат! Поле – это не фиктивная конструкция передающая взаимодействие, а это материальная среда, обладающая плотностью энергии.

Потенциальная энергия – это энергия, сосредоточенная в поле, точнее это не вся энергия поля, а только ее изменение, связанное с тем, что поля отдельных частиц перекрылись, и это привело к изменению суммарной энергии поля.

Классический радиус электрона

У электрона есть масса me , а какой радиус? Это один из самых ин-

тригующих вопросов, на который уже более 50 лет пытаются дать ответ. Пусть электрон имеет размер re , по которому равномерно разма-

зан заряд. Тогда, он должен обладать электромагнитной энергией

E ~ e2 .

(35.4)

эм re

Мы еще не рассматривали, но все слышали, что полная энергия лю-

бого тела равна E = mc2 . Поскольку электромагнитная составляющая энергии не может быть больше полной энергии, то, казалось бы, радиус электрона должен быть больше чем

85

	r =	e2	=	(4.8 10-10 )2		= 2.8 10-13 см.	(35.5)
		mc2		9 10-28(3 1010 )
	e

Здесь все выражено в единицах СГСЭ. Этот размер называют

классическим радиусом электрона.

Для проверки этого утверждения в 1965 году Институте ядерной физики в Новосибирске был построен ускоритель со встречными элек- трон-электронными пучками. С его помощью было установлено, что

радиус электрона меньше, чем 10-14 см. В дальнейшем, с ростом энергии ускорителей, эта граница была опущена до 10-17 см. Пока имеется только верхнее ограничение на размер электрона, но ясно, что он существенно меньше классического радиуса электрона. Получается, что вышеприведенные рассуждения не верны. С одной стороны на таких размерах нужно применять квантовую механику, но этого оказывается тоже недостаточно. По-видимому, кроме положительной электромагнитной массы нужно учитывать какие-то еще взаимодействия, которые дают отрицательную массу (это силы притяжения).

Интересно, чем ограничена точность, с которой измеряют размер электрона (и других частиц)? Одно из ограничений – это необходимость энергии частиц, достаточной для сближения на исследуемое расстояние. Для расстояний равных классическому радиусу электрона

достаточна энергия порядка mc2 ~ 1 МэВ (мегаэлектронвольт). Однако есть еще более жесткое ограничение – это волновые свойства час-

	тиц. Длина волны частицы равна l =	2p	»	2 10-14	см и невозможно
		p		E[ГэВ]

почувствовать размер объекта, размер которого существенно меньше длины волны частиц, сталкивающихся в ускорителе. Поэтому для исследования размеров порядка классического радиуса электрона потребовался ускоритель с энергией более 100 МэВ.

Гравитационное взаимодействие

Практически все сказанное выше про электрическое поле справедливо для гравитационного взаимодействия. На самом деле, физическая природа этих взаимодействий совершенно разная, но пока мы рассматриваем слабые гравитационные поля, малые скорости, то разница между ними только в том, что одноименные электрические заряды отталкиваются, а в гравитационные силы – это силы притяжения.

F	G m1m2	r,	G 6.667 10 8 см3с-1г-1 6.667 10 11 м3с-1кг-1	(35.6)
гр	r3

86

Соответственно, Электрическое взаимодействие

F	q1q2				r
	r3
j	q
	r
E	q		r
	r3
u (пл. энергии)	E2
	8p

	U сферы	q2
		2R
	U шара	3q2
		5R

Гравитационное взаимодействие.

-G m1m2 r r3

-G mr -G rm3 r

- 1 E2

G 8p

-G m2

2R

G3 m2

-5 R

Примечание. При сравнении формул для плотности энергии вы заметите разницу, которая связана с наличием константы гравитационного взаимодействия в гравитационной силе и отсутствием таковой в электрической силе. Это связано с тем, что в системе единиц СГСЭ единица электрического заряда определена так, что в формуле для силы константа равна единицы (в системе СИ это не так). Можно было бы так же переопределить единицу массы, чтобы в гравитационном взаимодействии константа G равнялась единицы, тогда была бы полная симметрия в формулах.

Аналогично проблеме радиуса электрона для гравитационных взаимодействий есть проблема, когда при уменьшении радиуса тела его (отрицательная) гравитационная энергия сравнивается по модулю с

полной энергией mc2 . Радиус тела, соответствующий равенству энергии покоя тела и потенциальной гравитационной энергии

mc2 ~ G m2		r	= Gm	(35.7)
r		S	c2
S

соответствует радиусу, при котором происходит гравитационный коллапс и образуется черная дыра. Из черной дыры не может вылететь даже свет, потому они «черные», зато ч. д. захватывают пролетающую мимо материю.

Первые представления о черных дырах относятся к концу 18 века, однако математически их удалось описать только с возникновением

87

общей теории относительности Эйнштейна (1916). Позднее были найдены условия, при которых образуются черные дыры. При массах больше 3 масс Солнца после выгорания термоядерного топлива никакие силы не могут предотвратить гравитационный коллапс. Для такой

массы радиус rS составляет примерно 10 км. Однако очень часто в

конце выгорания ядерного топлива происходит сброс внешней оболочки, и масса звезды становится недостаточной для коллапса. Зато в центрах галактик черные дыры образуются очень хорошо. В нашей Галак-

тике в центре находится черная дыра с массой (M – масса Солнца) M = 4.3 106 M . В центре многих галактик находятся черные дыры с

массами до 109 масс Солнца.

Для внешнего наблюдателя коллапсирующая материя сжимается до шварцшильдовского радиуса rS и далее картинка как бы застывает (это

эффект замедления времени, описывается общей теорией относительности), однако в системе падающей к центру материи все развивается быстро и плотность дорастает формально до бесконечности.

Интересно, если черная дыра имеет массу порядка солнечной (M ) ,

то ее плотность (масса, деленная на объем внутри шварцшильдовского радиуса) больше плотности ядерной материи (1015 г/см3), однако с рос-

	том массы r	µ m , поэтому r m		c6	. Для черных дыр с мас-
				m2G3
	S	r3
		S

сой 109 M средняя плотность будет 10-3 г/см3, т.е. в 1000 раз меньше

плотности воды. Наблюдатель, счастливо живущий недалеко от центра такой галактики может не заметить, как со временем к центру галактики соберется столько материи, что он окажется живущим в черной дыре. Размер такой ч.д. пропорционален массе, т.е. для рассматриваемого случая будет R~1010 км, время схлопывания будет порядка R/c , что

составляет несколько часов.

§ 36. Распады, упругие и неупругие столкновения частиц

Столкновения частиц на ускорителях (коллайдерах, collide – сталкивать) являются основным способом изучения материи. В этой лекции рассматривается динамика столкновений и распадов в нерелятивистском случае.

88

Распады.

Пусть частица массой m, двигавшаяся со скоростью v , распадается на две частицы с массами m1 и m2 с выделением энергии Q . Какие

будут скорости частиц, если после распада первая частица полетела под углом q относительно исходного направления?

В нерелятивистской механике суммарная масса частиц сохраняется, т.е. m = m1 +m2 . Кинетическая энергия осколков Q в системе покоя

исходной частицы возникает за счет, например, химической энергии взрывчатки. Отсюда находим импульсы и скорости осколков в системе покоя исходной частицы

Q =

p2

+

p2

;

p

=

2Qm m

2

;

v

=

p

0

.

(36.1)

0

0

1

0

2m1

2m2

m1 +m2

10

m1

2

Скорость первого

осколка

в

1

лабораторной системе отсчета

v1

= O1 или O2

v10

v

v1

= v + v10

(36.2)

O

q

10

Поскольку

у

нас

задано

v

направление

первой

частицы

после столкновения, т.е. угол

Рис. 26

между

v

и

v1 ,

то

нужно

переписать

это соотношение

в

виде v1 - v = v10 ,

тогда после

возведения

в

квадрат обеих

частей

получаем

v2

-2vv

cos q +v2 -v2

= 0 .

(36.3)

1

1

10

Отсюда

v

1

= v cos q

v2 cos2 q -v2

+v2

= v cos q

v2

-v2 sin2 q .

(36.4)

10

10

Происхождение двойного решения ясно из рис. 26.

При v > v

имеется максимальный угол sin q =

v10

, при этом век-

10

v

тор v1 является касательным к окружности на рис. 26.

При v < v10 имеется всего одно решение, соответствующее знаку “+” в (36.4), иначе v1 была бы отрицательна.

89

Неупругие столкновения (слипания)

Тело массы m1 , летящее со скоростью, v слипается с покоящимся телом массы m2 . Какая будет конечная скорость и сколько энергии пе-

рейдет в тепло?

Из закона сохранения импульса конечная скорость равна

v¢ =	m1v1			,	(36.5)
	m	+m	2
1

тогда из закона сохранения энергии количество выделенного тепла равно

	¢		m1v12	v¢2	m1v12		m2
Q = K -K		= 2		-(m1 +m2 ) 2 =	2		m +m	. (36.6)
						1		2

§ 37. Упругие столкновения

Частица с массой m1 , летящая со скоростью v1 , упруго рассеивает-

		p ¢		ся на частице с массой m2 , летящей на-
				встречу со скоростью v2 . Какая будет ко-
		1
	p1	q	p2	нечная скорость первой частицы, если она
				рассеялась на угол q ?
				В упругом столкновении, по определе-
		p ¢		нию, кинетическая энергия сохраняется, т.е.
		2		не переходит во внутреннюю энергию тел
		Рис. 27		(тепло). Дополнительно мы предполагаем,
				что тела после удара не вращаются. В слу-

чае бильярдных шаров для этого необходимо, чтобы шары были абсолютно гладкими (нулевая сила трения), тогда при столкновении между шарами будут действовать только радиальные силы и вращения не возникнет. В этом случае для решения задачи достаточно воспользоваться законами сохранения импульса и энергии:

p1 + p2

= p1¢ + p2¢

(37.1)

p12

+

p22

=

p1¢2

+

p2¢2

.

(37.2)

2m

2m

2m

2

2m

2

1

1

Уравнение (37.1) представляет собой фактически два уравнения: сохранение продольного и поперечного импульсов. Т.е. всего есть три

90