TAU-Lektsia_2_1

Пример 7.2. Определить решение разностного уравнения

y(t+2T0) + y(t+T0) + 0,25y(t) = 1

при нулевых начальных условиях (y(0) = y(T0) = 0).

Решение.

Частное решение будем искать в виде константы yв(t) = а.

Характеристическое уравнение

a a 0,25a 1 a 94

z2 z 0,25 0

z1,2= –0,5

j

j t

j t

k j 1

t /T

C C

C

z

0

1

2

T0

k j

j

T0

t

t / T

y

t C

C

0,5 0

c

1

2

T0

y t y	t y	t	4						t
				C		C				( 0,5)t / T0
в	с	9			1		2	T0
21

Из начальных условий имеем

y 0 94 C1 0

y t	4					t
		C		C			( 0,5)t / T0
					2 T
	9		1
					0

y T0 94 C1 C2 0,5 0

C1 = –4/9, С2 = 4/3

	4		4				4 t				t
y t										0,5
											T0
	9			9			3 T0

22

7.3. Решетчатые функции и z- преобразование

При рассмотрении разностных уравнений важную роль играет z-преобразование. Но прежде чем приступить к изучению этого преобразования, познакомимся с классом дискретных функций, называемых решетчатыми функциями.

23

7.3.1. Решетчатые функции

Решетчатая функция x[kT0] характеризуется тем, что она определяется непрерывной функцией (функцией непрерывного аргумента) x(t) и принимает ее значения в моменты t = kT0 (k = 0,1,2,…).

Смещенная решетчатая функция x[(k+ε)T0] (0<ε<1), которая принимает значения непрерывной функции в моменты

t=(k+ε)T0 (k = 0,1,2,…).

24

7.3.2. Определение z-преобразования

z-преобразованием, или преобразованием Лорана, называется соотношение

X * z x kT0	z k	(7.10)
k 0
ставящее в соответствие дискретной функции x[kT0]		функцию комплексного
переменного X*(z).

При этом x[kT0] называют оригиналом, a X*(z) – изображением или z-изображением.

z-преобразование также условно записывают в виде

X * z Z{x[kT0 ]}

а обратное z-преобразование – в виде

x kT0 Z 1 X * z

25

В z-преобразовании (7.10) дискретная функция обладает следующими свойствами:

1°) существуют положительные числа М и q такие, что x kT0 Mqk при любых k 0 ;

2°) x[kT0] = 0 при всех k < 0.

Свойство 1°) необходимо для существования области сходимости ряда в правой части (7.10), а свойство 2°) используется при выводе некоторых свойств z-преобразования. Функции, удовлетворяющие указанным двум свойствам,

называют функциями-оригиналами.

z-преобразование от смещенной решетчатой функции x[(k+ε)T0], т.е.

соотношение
	X * z, x k T0	z k
	k 0
называют модифицированным z-преобразованием.
Модифицированное z-преобразование также записывают в виде
	X * z, Z x[ k T ] Z x kT
	0	0
26	z-изображение смещенной решетчатой функции x[(k+ε)T 0] или
	модифицированное z-изображение решетчатой функции x[kT 0]

Пример 7.3. Определить z-изображение единичной решетчатой функции

х[kТ0] = 1[kТ0]

и смещенной решетчатой функции

x[(k+ε)T0] = 1[(k+ε)T0].

Решение. Так как при всех k ≥ 1 1[kТ0] = 1[(k+ε)T0] = 1, то

X * z X * z, z k

k 0

По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеем

Z 1 kT0	Z 1 k T0			1		z				z		1	(7.11)
				z 1		z 1
		1

27

7.3.3. Основные свойства z- преобразования

Так как z-преобразование от x[kT0] можно рассматривать как частный случай модифицированного z-преобразования при ε=0, то рассмотрим свойства модифицированного z-преобразования.

1°. Линейность. Модифицированное z-преобразование от линейной комбинации дискретных функций равно линейной комбинации их

модифицированных z-преобразований:
Z n	a x	k T	n	a Z x	k T
	i i	0		i i	0
i 1			i 1

ai (i = 1, 2,..., n) – константы.

2°. Теорема запаздывания. Модифицированное z-преобразование от функции с запаздывающим аргументом определяется следующим образом:

Z x k m T0 z m Z x kT0 z m X * z,

(7.12)

28

3°. Теорема опережения. Модифицированное z-преобразование от функции с опережающим аргументом x[(k+m)T0] определяется следующим образом:

m 1	T0	z i
Z x k m T0 zm X * z, x i
i 0
Если x[εT0] = x[(1+ε)T0] = … = x[(m – 1+ε)T0] = 0 (соответствует нулевым
начальным условиям), то
Z x k m T zm X * z,		(7.13)
0

4°. Умножение оригинала на (k+ε)T0. z-преобразование от произведения x[(k+ε)T0](k+ε)T0 определяется следующим образом:

	Z x k T0	k T0 T0 X * z,				T0 z		dX * z,		(7.14)
								dz
	При ε = 0 имеем				dX * z
	Z	x kT	kT	T z						(7.15)
		0	0	0	dz

29

Пользуясь полученным свойством, найдем обычное и модифицированное z-изображения функции y[kT0] = kT0.

Модифицированное z-изображение для единичной функции (см. формулу имеет вид

	Z 1 k T0		z
			z 1

Поэтому если в (7.14) положим x[(k+ε)T0] = 1[(k+ε)T0], то получим

Z k T Z 1 k T0 k T0 T0	z			T0 z
	z 1			(z 1)2

ε = 0

(7.11))

(7.16)

Z kT0	T0 z		(7.17)
	(z 1)	2

30