Домрачев_Задание КР уск-2003

		11
i1		R2
R2	i2 R3	R1
		i
		1	i2
uC	C	L
E	L		C
		uC		R3
		E
R1	R4
		R4
	Рис. 2.9	Рис. 2.10

Примеры выполнения заданий курсовой работы

3.1. Расчет линейной электрической цепи синусоидального тока

	I&1	&		c		I&3
		ϕc
L1	нок	I&2				нок	E&′
b							1
							d
E&		R					C3
1			2				e
a							E&1′′
C1
	W			g		L2	f
					= 0
				ϕg
				&
		Рис. 3.1
Исходные данные:					f = 100 Гц;
L1 = 25,47 мГн;
L3 = 71,66 мГн;					е1	= 141,4 sin(ωt +300 )В;
С1 = 19,9 мкФ;					е3′	= 282,8 sin(ωt +150		0	)В;
С3 = 79,62 мкФ;
R2 = 65 Ом;					е3′′= 212,1 sin(ωt −450 )В.

3.1.1. Уравнения Кирхгофа для цепи (рис.3.1): - интегро-дифференциальная форма

−i

−i

2

+i

3

=

0

(ддлузлас);

1

di1

1

L1

+

∫i1dt − R2i2 = −e1;

dt

C

1

1

di3

'

"

R2i2 + L3

+

∫i3dt = e3

+ e3

;

dt

C3

12

- символическая форма

&

&

&

= 0;

− I1

− I

2 + I3

&

1

&

&

&

jωL1I1

− j

ωC

I1

− R2 I 2

= −E1

;

1

1

&

&

&

&'

&

"

R

2

I

2

+

jωL I

3

− j

I

3

= E

3

+ E

3

.

3

ωC3

Примечание. Направления токов и направления обхода контуров (НОК) на схеме (рис. 3.1) выбраны произвольно.

3.1.2. Расчет цепи символическим методом

Используем метод узловых потенциалов (двух узлов). Потенциал узла g примем равным нулю (ϕ& g = 0), для второго узла с составим уравнение

ϕ&c Y cc = I&c ,

где ϕ&c - комплексный потенциал узла с;

Y cc =Y 1 +Y 2 +Y 3 ,

Y cc - собственная проводимость узла с;

Y 1,Y 2 ,Y 3 - комплексные проводимости ветвей, сходящихся в узле с;

I&c - узловой ток;

I&c =Y 1E&1′ +Y 3 (E&3′ + E&3′′).

Примечание. В последнем выражении слагаемые учтены со знаком "плюс", так как ЭДС в первой и третьей ветвях направлены к узлу с.

Угловая частота

ω= 2πf = 2π 100 = 628c−1.

Найдем сопротивления реактивных элементов цепи (рис. 3.1):

X

L1

= ωL = 628 25,47

10−3

=16 Ом;

1

X С1

=

1

=

1

= 80 Ом;

628 19,9 10−6

ωC1

X

L3

= ωL = 628 71,66

10−3

= 45 Ом;

3

X С3

=

1

=

1

= 20 Ом.

628 79,62 10−6

ωC3

13

Комплексные сопротивления ветвей

Z1 = j ωL1 − ω1С1 = j(16 −80)= − j64 Ом;

Z 2 = R2 = 65 Ом;

1

Z 3 =

ωL3

−

25 Ом;

j

= j(45 −20)= j

ωС3

Комплексные проводимости ветвей

Y

1

=

1

=

1

= j0,0156 = 0,0156e j90o Cм;

Z1

− j64

1

1

Y

2

=

=

= 0,0154 Cм;

65

Z 2

Y

3

=

1

=

1

= − j0,04 = 0,04e− j90oCм.

j25

Z 3

Собственная проводимость узла с

Y cc

=Y 1 +Y 2 +Y 3 = j0,0156 +0,0154 − j0,04 =

= 0,0154 − j0,0244 = 0,0288e− j57,7o См.

Заданные мгновенные ЭДС запишем в комплексной форме:

&

141,4

j30o

j30o

E

=

е

=100е

= 86,6 + j50 B ;

1

2

E&3′ =

282,8

еj150o

= 200еj150o

= −173,2 + j100 B ;

2

E&3′′ =

212,1

е− j45o

=150е− j45o

=106,1− j106,1 B ;

2

E&3′ + E&3′′ = −67,1− j6,1 B .

Найдем узловой ток:

I&c

=Y 1E&1′ +Y 3 (E&3′ + E&3′′)= j0,0156(86,6 + j50)−

− j0,04(−67,1− j6,1)= j1,35 −0,78 + j2,68 −0,24 =

= −1,02 + j4,03 = 4,16e j104,2o A.

Комплексный потенциал узла С

ϕс =

I&с

=

4,16e j104,2o

=144,4e

j161,9o

= −137,3 + j44,9 B .

o

&

Y cc 0,0288e− j57,7

14

Используя обобщенный закон Ома, найдём токи в ветвях:

I&1 = (ϕ&c −ϕ& g − E&1 ) Y 1 =

= (−137,3 + j44,9 −0 −86,6 − j50) 0,0156e j90o =

= (−223,9 − j5,1) 0,0156e j90o = 224e j181,3o 0,0156e j90o =

= 3,49e j271,3o				= 3,49e− j88,7o			A = 0,08 − j3,49 A;
&		&	&		=144,4e		j161,9o	0,0154 = 2,22e	j161,9o	A =
I2	= (ϕc		−ϕg ) Y 2
= −2,11+ j0,69 A;
	&		&	&	&′	&′′
	I3	= (ϕg −ϕc + E3				+ E3 ) Y 3 =
	= (0 +137,3 − j44,9 −67,1− j6,1) 0,04e− j90o =
	= (70,2 − j51) 0,04e− j90o						= 86,77e− j36o 0,04e− j90o =
	= 3,47e− j126o A = −2,04 − j2,81 A.

Проверим правильность вычислений, подставив найденные значения токов в уравнения Кирхгофа.

1) − I&1 − I&2 + I&3 = 0;

−0,08 + j3,49 +2,11− j0,69 −2,04 − j2,81 =

=−0,01− j0,01 ≈ 0

2) Z	1	I&		− Z	2	I&	= −E&	;
		1				2	1
− j64			(0,08 − j3,49)−65 (−2,11+ j0,69)=

= − j5,12 −223,36 +137,15 − j44,85 = −86,21− j49,97 ≈

≈ −E&1 = −86,6 − j50 B.

3) Z 2 I&2 + Z 3 I&3 = E&3′ + E&3′′;

65 (−2,11+ j0,69)+ j25(−2,04 − j2,81)=

= −137,15 + j44,85 − j51+70,25 = −66,9 − j6,15 ≈

≈ E&3′ + E&3′′ = −67,1− j6,1 В.

Таким образом, тождества выполняются с приемлемой точностью, что свидетельствует о правильности найденных токов и уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

Ответы: I&1 =3,49e− j88,7o A ; I&2 = 2,22e j161,9o A ; I&3 =3,47e− j126o A .

3.1.3. Определение показаний ваттметра Выражение для мощности в комплексной форме имеет вид

S~ =U& I ,

где U& =Ue jαu - комплексное напряжение,

15

	&	= Ie	jαi		− jαi
				, т.е. I = Ie		.
I - комплекс, сопряженный с комплексным током I
Таким образом,	=UIe j(αu −αi ) = Se jϕ =UI cosϕ+ jUI sin ϕ= Р + jQ
S =Ue jαu Ie− jαi
~

Здесь S =U I полная мощность, Р =UI cos ϕ - активная и Q =UI sin ϕ - реактивная мощности.

Ваттметр - прибор, предназначенный для измерения активной мощности P . На рис. 3.1 ваттметр W реагирует на ток I&1 и напряжение U&cg , направления

которых на схеме согласованы с генераторными зажимами прибора (обозначены

				&			;
звездочками). Тогда P = Re U cg I						1
&	= ϕc −ϕg		=144,4e	j161,9o	−0 B;
Ucg
	&	&

I&1 =3,49e− j88,7o A;

= j88,7o

I 1 3,49e A;

P = Re[144,4e j161,9o 3,49e j88,7o ]= 504cos 250,6o = −167,4 Bт

Определим показание ваттметра по формуле

P =Ucg I1 cos ϕ,

где U cg =144,4B, I1 =3,49A,

ϕ = αu − αi =161,9o − (−88,7o )= 250,6o;

P=144,4 3,49cos 250,6o = −167,4 Вт.

Вобоих случаях P получилась отрицательной. Как известно, активная мощность всегда положительна, так как это мощность, поступающая от источника энергии в нагрузку и целиком переходящая в тепло.

Знак "минус" означает, что "случайное" включение ваттметра на схеме рис.

3.1неправильное, что привело к тому, что угол сдвига фаз ϕ между током и на-

пряжением больше 90o, а косинус этого угла отрицательный.

Для правильного включения ваттметра зажимы одной из обмоток, например токовой, необходимо поменять местами, при этом ваттметр будет реагировать на

U&W =144,4e j161,9o B и I&W = −I&1 =3,49e j(180o−88,7o)= =3,49e j91,3o A .

P =UW IW cos ϕW =144,4 3,49cos(161,9o −91,3o )= 504 cos 70,6o =167,4 Bm.

Векторная диаграмма тока и напряжения, на которые реагирует ваттметр, приведена на рис. 3.2.

16

Примечание. При неправильном включении ваттметра ϕ = +250,6o или ϕ = −109,4o (показан на рис.3.2). При правильном включении ваттметра

ϕW = 70,6o.

3.1.4. Построение векторной и топографической диаграмм (ТД)

Каждая точка электрической цепи имеет свое значение комплексного потенциала относительно одной произвольно выбранной точки, потенциал которой может быть принят равным нулю. Эту точку совмещают с началом координат. Совокупность точек комплексной плоскости, изображающих комплексные потенциалы точек цепи, называют топографической диаграммой. По ней удобно определить напряжение между любыми двумя точками схемы и сдвиг по фазе этого напряжения относительно любого другого напряжения или тока (при совмещении ТД с векторной диаграммой токов на одном графике).

Пусть ϕ&a = 0 . Обойдя внешний контур схемы рис. 3.1, найдем комплексные

потенциалы остальных точек: b-c-d-e-f-g-a.

ϕ&в = ϕ& а + Е&1 = 0 + 86,6 + j50В;

ϕ&c = ϕ&в + jХLI I&1 =86,6 + j50 + j16(0,08 − j3,49)= =86,6 + j50 + j1,28 +55,84 =142,44 + j51,28B,

так как комплексный потенциал точки с выше потенциала точки в на величину падения напряжения на индуктивном сопротивлении ХLI .

&	&	&′	+ j51,28	+173,2 − j100 =
ϕd	= ϕc	− E3 =142,44
= 315,64 − j48,72 B;				− j48,72 − j20(−2,04 − j2,81)=
ϕe	= ϕd	&
		+(− jX c3 I3 )= 315,64
&	&

=315,64 − j48,72 + j40,8 −56,2 = 259,44 − j7,92 B; ϕ& f = ϕ&e − E&3′′ = 259,44 − j7,92 −106,1+ j106,1 =

=153,34 + j98,18 B;

			17
ϕg		&	=153,34 + j98,18 + j45(−2,04	− j2,81)=
	= ϕf + jX L3 I3
&	&
=153,34 + j98,18 − j91,8 +126,45 = 279,79 + j6,38				B;
ϕa			&
	= ϕg +(− jX c1 I1 )= 279,79 + j6,38 − j80(0,08 − j3,49)=
&	&

= 279,79 + j6,38 − j6,4 −279,2 = 0,59 − j0,02 B.

Полученное значение ϕ& a незначительно отличается от ϕ&a = 0 и объясняет-

ся погрешностями округления чисел.

На рис. 3.3 изображена топографическая диаграмма, совмещенная с векторной диаграммой токов. Диаграммы необходимо построить на миллиметровой бумаге, формат которой должен соответствовать размеру листа курсовой работы. Масштабы MU и M I следует выбрать такими, чтобы диаграммы уместились в

выбранном формате. Шкалы на осях координат наносить не надо. При построении каждой из диаграмм масштаб по обеим осям должен быть одинаковым.

Потенциалы точек на комплексной плоскости следует обозначить буквами и соединить прямыми линиями в последовательности обхода каждого контура схемы. Расстояние между двумя соседними точками в масштабе U равно модулю (действующему значению) комплексного напряжения на соответствующем элементе цепи.

Например, длина отрезка cg, измеренного на топографической диаграмме, равна l =11,6 дел и U cg = MU l =12,5 11,6 =145B. Так как Ucg - это напряжение

на сопротивлении R2, то U&cg совпадает по фазе с током I&2 , т.е. прямая cg должна

быть параллельна вектору тока I&2 , что и следует из рис. 3.3.

Топографическая диаграмма в графической форме показывает равновесие комплексных напряжений и ЭДС для каждого контура и, таким образом, позволяет проверить соответствие полученных токов второму закону Кирхгофа.

Векторная диаграмма токов отображает равновесие токов в узле (с или g): I&1 + I&2 − I&3 = 0 (первый закон Кирхгофа).

				18
	j
					f
I&2			b		c
	a					g
						+
	0					e
						d
I&3	I&1
	M I	= 0,5	А	; MU	=12,5	В
			дел			дел
			Рис 3.3

3.1.5. Уравнения Кирхгофа для цепи с индуктивно-связанными катушками Положим, что между индуктивными катушками L1 и L3 (рис.3.1) имеется индуктивная связь, заданная величиной взаимной индуктивности М. Включение L1 и L3 встречное, что показано точками возле катушек (одноименные зажимы). Для выбранных на рис.3.1. направлений токов и направлений обхода контуров со-

ставим в общем виде систему уравнений Кирхгофа: - интегро-дифференциальная форма

−i

−i

2

+i

3

=

0 ;

1

di1

− M

di3

1

∫i1dt − R2i2 = −e1;

L1

+

dt

dt

C

di

1

1

di

∫i3dt = e3' +e3" ;

R2i2 + L3

3

− M

1

+

dt

dt

C3

- символическая форма

&

&

&

= 0;

− I

− I

2

+ I

3

1

1

&

&

&

&

&

jωL1I1

− jωMI3

− j

ωC

I1

− R2I2

= −E1;

1

1

&

&

&

&

&'

&"

R I

2

+ jωL I

3

− jωMI

− j

I

3

= E

+ E

.

2

3

1

ωC3

3

3

19

3.2. Расчет переходного процесса в линейной электрической цепи

3.2.1. Решение задачи классическим методом

Составим характеристическое уравнение
								1				(R		+ R			+ pL)
Z ( p) = R +							рС						3		4						= 0;
					1			1				+ R			+ R			+ pL
								рС
													3		4
R1 + R1Cp (R3 + R4 + pL) + R3 + R4 + pL = 0;
R LCp2	+(R R C + R R C + L)p + R + R + R = 0;
1	1		3					1	4										1		3		4
p2 +		R1R3C + R1R4C + L													+	R1 + R3 + R4							= 0.
				R LC														R LC
					1														1
Подставив численные значения, получим уравнение
		р2 +7 104 р+7 108 р = 0;
p = −				7		104							7	104					2				;
								±											−7 108
	1,2					2									2
		p1 = −12087c−1;											p2 = −57913c−1.

Корни характеристического уравнения действительные и различные - переходный процесс апериодический и общее решение для uc имеет вид

u

c

=u

c пр

+u

c св

+u

c св2

= u

c пр

+ А ер1t + B ер2t ,

1

1

где uc пр - принужденное (установившееся) значение uc ;

u

c пр

=

E(R3

+ R4 )

=

200 60

=171,43 В;

R + R + R

4

70

1

3

i2 пр = 0.

20

Найдем постоянные интегрирования А1 и В1 . На основании второго закона

коммутации

E(R3

+ R4 )

200

60

uc (0− )= uc (0+ )

=

=

=120 В;

R1

100

Для момента t = 0+

+ R2 + R3 + R4

u

c

(0

+

)=u

+ Аер10 + B ер2 0;

c пр

1

1

120 =171,43 + A1 + B1;

A1 + B1 = −51,43.

(*)

Для составления второго уравнения для А1 и В1 найдем i2 :

duc

p t

p

t

i

2

= C

= Cp A e 1

+Cp

2

B e

2

.

dt

1

1

1

Вычислим ток i2 (0+ ).

По первому закону Кирхгофа, i1 (0+ )= i2 (0+ )+i3 (0+ ). В этой формуле для

тока i3 (0+ ) должен выполняться первый закон коммутации

i

3

(0

−

)= i (0

+

)

=

E

=

200

= 2 A,

3

R1 + R2 + R3 + R4

100

а ток i1 (0+ ) найдем, используя второй закон Кирхгофа для левого контура (рис.

3.4),

E = uc (0+)+ R1i1(0+).

Отсюда i

(0

+

)=

E −uc (0

+ )

=

200 −120

= 8 A .

1

R1

10

Тогдаi

(0

+

)=i

(0

+

)−i

(0

+

)=8 − 2 = 6A и

2

1

3

i

(0

+

) =Cp A e p10 + Cp

2

B e p2 0,

2

1

1

1

6 =10−5(−12087)A +10−5(−57913)B .

(**)

1

1

Объединим уравнения (*) и (**) в систему:

A1 + B1 = −51,43;

0,12087A1 +0,57913B1 = −6;

B1 = −51,43 − A1;

0,12087A1 + 0,57913(−51,43 − A1)= −6;

0,45826A1 = −23,78466;

A1 = −51,9;

B1 = −51,43 +51,9 = 0,47.

u

c

= u

c пр

+ Аер1t

+ B ер2t =171,43 −51,9e−12087t +

1

1

+0,47e−57913t , B.

i

= C

duc

=10−5(−12087)(−51,9)e−12087t +10−5(−57913) 0,47e−57913t =

2

dt

= 6,273e−12087t −0,272e−57913t , A.