ИнМu_sam

Кратное интегрирование. Когомологии

11

2.5. Пусть на X, dim X = 2m, введена структура гладкого комплексного

виде.	′
	|IP|
многообразия. Переписать форму ω =	aI	(x)dxI	в комплексном
	=p

Когомологии де Рама

3.1.Доказать, что для любого многообразия Mn группа H0(Mn) есть линейное пространство размерности q, равной числу связных компонент,

из которых состоит многообразие.

n

3.2. Пусть H (Mn) = P Hk(Mn) — прямая сумма групп когомологий.

k=0

Ввести в H (Mn) структуру кольца.

3.3. Вычислить H (R2 \{P, Q}), где P, Q — точки в R2. Найти замкнутые

DR

формы, представляющие соответствующие классы когомологий.

3.4.Доказать, что если многообразие X стягиваемо, то для любой формы

ω, (dω = 0) разрешимо уравнение dΩ = ω.

Интегрирование дифференциальных форм

4.1.Проверить, ориентируемы ли следующие многообразия: a) сфера Sn;

b)тор T n; c) проективное пространство RPn; d) комплексное проективное пространство CPn.

4.2.Доказать, что произвольное комплексно–аналитическое многообразие ориентируемо.

4.3.Доказать ориентируемость (n − k)-мерной поверхности в Rn, которая задается системой гладких уравнений f1(x) = · · · = fk(x) = 0 с

выполнением условий теоремы о неявных функциях.

4.4.Вывести из формулы Стокса теорему Коши о вычетах.

4.5. Вычислить интеграл Z Z

dxdy

(1 + x2 + y2)2 .

R2

12	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, Е.К. Лейнартас, А.К. Цих
4.6. Вычислить интеграл
	Z Z2	(1 + z1
			2 + z2 2)3
		dz1 dz2		dz1	dz2		.
	C	| |	|		|

4.3. Решения и указания к решению заданий комплекта 1

Многообразия

1.10.Достаточно записать все прямые уравнениями ax + by + c = 0 и сопоставить прямой набор чисел (ее коэффициенты):

ax + by + c = 0 → (a, b, c), a2 + b2 ̸= 0,

(a, b, c) λ(a, b, c).

Следовательно, множество всех прямых на плоскости гомеоморфно проективному пространству RP2 без точки (0, 0, 1), т.е. листу Мебиуса.

1.11. Пространство		RPn			есть			множество наборов (α0		: α1 : . . . : αn),
	: xn) P(		0	:		1	:	:	n)	RP
где	αi R,	αi2		̸= 0			с соотношением эквивалентности (x0 : x1 :
. . .		λx			λx			. . .	λx . Введем на		n вещественно-

аналитическую структуру. Для этого покроем RPn набором из (n + 1)

карт. Рассмотрим наборы (α0 : α1 : . . . : αn) такие, что αi ̸= 0. Множество таких наборов естественно отождествляется с Rn, а именно,

(α0	: α1	: . . . : αn) →	αi , . . . ,		αi−i 1	,	αi i	, . . . , αi
				α0	α		α +1	αn

Легко видеть, что это соответствие корректно определено. Осталось рассмотреть функции перехода от i-й карты к j-й карте. Пусть xik – k-я координата набора (α0 : α1 : . . . : αn) в i-й карте соответственно, xjl – l-я координата в j-й (пусть для простоты i < j). Тогда

i	x1j		i	xij+1		i	1
x1	=		, . . . , xi	=		, . . . , xj	=		, . . . .
		xij			xij
							xij

Таким образом, функции перехода не только гладкие, но и вещественно-аналитические.

Кратное интегрирование. Когомологии

13

1.13 . Из очевидных соображений комплексную структуру можно вводить только на четно-мерных многообразиях. Пусть Γ – группа, действующая на Cn \ {0}, порождена преобразованием z → 2z. Рассмотрим фактор-пространство (Cn \ {0}) /Γ. Оно несет комплексную структуру, индуцированную структурой пространства Cn \ {0} и гомеоморфно S2n−1 × S1. Следовательно, комплексную структуру имеет и S2n−1 ×S1. Существует, расслоение S2n−1 ×S2n−1 → CPn−1 ×CPn−1 со слоем F = S1 ×S1 = T 2. По доказанному слой и база имеют комплексную структуру. На CPn комплексную структуру можно определить с помощью формы, являющейся ограничением эрмитовой формы Cn на сферу

X X X

S2n−1 : ds2 = dzkdz¯k − ( zkdz¯k)( z¯kdzk).

Эта форма получается из формы на CPn−1, так как инвариантна отно-

сительно действия S1 (здесь S2n−1				S1
				→ CPn−1). Действие S1 определим
так: (z0, . . . , zn−1)eıα → (eıαz0 , . . .),
zk → ωk = eıαzk, dω = eıα(dzk + iαzkdα),
dωk	=	e−ıα	dzk		ıαzkdα	,
¯		(		¯ −	)
Xdωkdω¯k = Xdzkdz¯k + ıα[(X(dzkdz¯k − z¯kdzk)]dα + α2dα2,
Xωkdω¯k = Xzkdz¯k − ıαdα,				Xω¯kdωk = Xz¯kdzk + ıαdα.

Следовательно,

X X X

dωkdω¯k − ( ωkdω¯k)( ω¯kdωk) =

X X X

= dzkdz¯k − ( zkdz¯k)( z¯kdzk).

Пусть zk – координаты 1-го сомножителя S2n−1, z′j – 2-го сомножителя S2n−1. Пусть

Vkj = {(z, z′) S2n−1 × S2n−1 : zkz′j ̸= 0}.

14 И.А. Антипова, О.В. Знаменская, Е.К. Лейнартас, А.К. Цих

Множества Vkj образуют открытое покрытие пространства S2n−1 ×

S2n−1. Введем в каждом множестве Vkj комплексные координаты

X	1		X	1	X	1
	kωrkω¯r =		k=r zrz¯r =			zrz¯r − 1 =		− 1.
		zkz¯k		zkz¯k	r		|zk|2
			̸

Аналогично определены числа |z′j| (однозначно), кроме того

ln zk = ln |zk| + ı arg zk,

откуда

2πtkj = −ı(ln |zk| + γ ln |z′j|) + arg zk + γ arg z′j.

Зная		|zk и |z′j|, можно найти arg zk и arg z′j	(γ выбиралось так,
что		̸	и z′j. Функции пере-
		γ = 0). Значит, однозначно определены zk

хода в Vkj ∩ Vuv являются комплексно-аналитическими, так как определяются по формулам

uωr =	kωr	,	vω′s =	jω′s	,
				jω′v
kωu

tuv = tkj + 21πı(ln kωu + γ ln jω′v).

Тем самым на S2n−1 × S2n−1 введена комплексная структура. Это построение вводит комплексные структуры на любых произведениях S2p−1 × S2q−1, где p, q > 0, и могут быть различны.

Дифференциальные формы на многообразиях

2.4.

d(p(−k−a))qω = −(k + a)p(−k−a−1)qdp ω+

+p(−k−a)dq ω + p(−k−a)qdω = −(k + a)p(−k−a−1)pqdz+

kp−k−aqdz + aqp(−k−a)dz + aqp(−k−a)dz =

(−(k + a)p(−k−a) + kp(−k−a) + ap(−k−a))qdz = 0.

Когомологии де Рама

Кратное интегрирование. Когомологии

15

3.2.Указание: операция умножения индуцируется внешним умножением форм. Проверить, что если ω Zp(Mn), ϕ Zp(Mn), то ω ϕ, (ω + dψ) ϕ — замкнуты и когомологичны.

Интегрирование дифференциальных форм

4.2.Многообразие называется ориентируемым, если существует набор карт, что якобианы всех функций перехода будут положительны (т.е. существует хотя бы один такой набор карт на многообразии). Пусть ϕij – функции перехода от переменных z1, . . . , zn (∂ϕij/∂z¯α ≡

0). Пусть A – якобиан функции перехода ϕij, A = (aij). Отображение A можно рассматривать как линейный оператор Cn → Cn.

Овеществление отображение f : GL(n, C) → GL(2n, R) имеет вид

f(A) = RA =	D	−B !	,
	B	D

где A = B + ıD. В R2n берем базис e1, . . . , en, ıe1, . . . , ıen. Имеет место формула: det RA = | det A|2. Докажем это равенство индукцией по n.

При n = 1 для A = a + bı получаем

| det A|2 = a2 + b2, RA =	b	−a !	, det RA = a2	+ b2.
	a	b

Пусть для k ≤ n утверждение доказано. Докажем его для k = n + 1.

Приведем оператор A к нормальной жордановой форме (определитель от этого не изменится).

	01 +	ıb	1	..1. ...	0
	a			ε
A =					εn					,
					a	n+1	+ ıb	n+1

16						И.А. Антипова, О.В. Знаменская, Е.К. Лейнартас, А.К. Цих
где εi = {0, 1}.
	a1		.ε.1. ...				0		−b1 ...				...			0
							εn
RA =		0					an+1		0						−	bn+1					det A						2		2 2
							0		a1		ε1														|			= (an+1+bn+1)Dn,
	b1																		|
	..			.							..	.	..	.		0
					...											εn
		0					bn+1		0						an+1
где								1
																										2
										0		1	..1.		...					0
							det		a	+ ıb			ε
				D	n	=									..
																.		εn+1
																	a	n		+ ıb		n
Вычислим detR A разложением											по последней строке
													a1				.ε.1.			−b1			...						+
			det RA = (−1)3n+3bn+1 det b1																	a1			ε1
																	...						...
									a1
													.ε.1.		−b1 ...						=
						+an+1 det b1									a1		ε1
																	...
									...

= (−1)3n+3bn+1(−bn+1)(−1)3n+2Dn + a2n+1Dn = (b2n+1 + a2n+1)Dn.

Итак, мы ввели такой набор карт, что при замене координат (замена гладкая) (z1, . . . , zn, z¯1, . . . , z¯n) → (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) (овеществление) якобианы всех функций перехода положительны.

4.4.Пусть функция f голоморфна в области D всюду за исключением изолированного множества особых точек. Пусть область G вместе с

Кратное интегрирование. Когомологии

17

ее границей ∂G содержится в области D и ∂G не содержит особых точек. В случае, когда в области G нет особых точек по формуле Стокса

ZZ

f(z)dz =	d(f(z)dz).
∂G	G

Так как функция f голоморфна, то, по определению,

∂f∂z¯ = 0,

d(f(z)dz) = ∂f∂z dz dz¯ + ∂f∂z¯dz¯ dz,

Z

f(z)dz = 0.

∂G

Пусть теперь в области G есть особые точки a1, . . . , an. Построим

окружности Sν	= {z : |z − aν|		= r}			столь малого радиуса r,				что
¯	|z − aν| ≤ r}, ими ограниченные, не пересекаются
круги Uν = {z :
друг с другом и содержатся в G. Пусть Sν							ориентированы против
часовой стрелки. Обозначим G \					n	¯				не
					ν=1 Uν через Gν. Функция f
имеет особых точек в Gν.		Поэтому по доказанному							∂Gν f(z)dz =
				S
0. Ориентированная граница ∂Gν состоит из							∂G и	окружностей
									R	Sν,
поэтому
Z∂Gν						n
	f(z)dz = Z∂G f(z)dz − ν=1 ZSν f(z)dz = 0.
						X

Вычисляя интегралы по окружностям Sν, получаем

Z n

X

f(z)dz = resaν fdz.

∂G ν=1

18	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, Е.К. Лейнартас, А.К. Цих

4.4. Комплект задач к разделу: "Другие типы когомологий. Некоторые методы вычисления кратных интегралов"

Когомологии Чеха и де Рама

1.1.Пусть U = {U1, U2, U3} — открытое покрытие окружности S1 тремя дугами, которые попарно пересекаются по дугам, но све три не пересекаются. Доказать, что группа

HCH1 (S1, U) R.

1.2. Полином от n переменных

Q(x) = Q(x1, . . . , xn)

называется эллиптическим, если его старшая однородная составляющая обращается в ноль лишь при x = 0.

Предположим, что Q(x) — эллиптичен и Q(x) ̸= 0 в Rn. Предположим также, что рациональная n-форма

P(x)

ω= Q(x)dx1 . . . dxn

иее первообразная ϕ не имеют полюсов на бесконечности RP∞n−1

проективной компактификации RPn Rn. Доказать, что

ω =	(−1)n−1	· 2 ·RPn∞−1	ϕ если n — четно,
Z		R

Rn

0	если n — нечетно.

Метод разделяющих циклов в теории локальных вычетов

2.1. Пусть функция f(t) непрерывна при t > 0 и удовлетворяет оценкам:

|f(t)| 6 C1tα, 0 < t 6 1, |f(t)| 6 C2tβ, 1 6 t < ∞,

где α > β. Тогда ее преобразование Меллина является функцией, голоморфной в полосе −α < z < −β. Доказать.

Кратное интегрирование. Когомологии

19

2.2.Вычислить преобразования Меллина для ветви алгебраической функции

g(x1, x2) := y1(x1, x2) · y2(x1, x2),

равной произведению решения системы алгебраических уравнений

			y12 + x1y1 − 1 = 0,
			y22 + x2y1y2 − 1 = 0.						(9.1)
Ветвь соответствует условию g(0) = 1.
2.3. Представить интеграл
(2πi)2	Z	2	Γ2(−z1 + 1)Γ2(−2z1 − z2		+ 1)	1 2	1		2
1			Γ(z1)Γ(z2)Γ(−7z1 − 3z2	+ 1)		t−z1 t−z2 dz		dz

γ+iR

ввиде гипегеометрических рядов.

4.5.Решения и указания к решению заданий комплекта 2

Когомологии Чеха и де Рама

1.1. Указание. Показать, что

(ωij) = (ω23, ω13, ω12) R3

является циклом тогда и только тода, когда (ωij) π — плоскости в

R3, в то время как (ωij) есть кограница δ(ωi) тогда и только тогда, когда (ωij) принадлежит прямой l π.

1.2.Указание. Учесть, что для нечетных n пространство RPn ориентируемо, а для четных n его можно рассмотреть как n-цепь, для которой

∂RPn = (−1)n−1 · 2 · RP∞n−1.

20	И.А. Антипова, О.В. Знаменская, Е.К. Лейнартас, А.К. Цих

Метод разделяющих циклов в теории локальных вычетов

2.1. Указание. Разбить интеграл на сумму интегралов

∞		1	∞
Z0	f(t)tz−1dt = Z0		f(t)tz−1dt + Z1	f(t)tz−1dt.

Каждый из интегралов исследовать на сходимость с помощью признака Вейерштрасса. Далее воспользоваться голоморфной зависимостью от параметра.

2.2. Указание. Использовать замену переменной вида

x1 = ξ1W1−1/2, x2 = ξ2W11/2W2−1/2, Wj = 1 + ξj, j = 1, 2.

Обосновать правомерность замены переменной.

2.3.Указание. Построить полиэдры, согласованные с семейством полярных дивизоров. В каждом из построенных полиэдров интеграл равен сумме вычетов в точках пересечения полярных комплексных прямых.