ДИФГЕМлекц

Дифференциальная геометрия и топология

31

Доказательство. Предположив противное, мы получили бы, что множества Φ1 = M ∩ Gi, i = 1, 2, непусты, открыты в индуцированной топологии подпространства M X и в объединении дают M. Это противоречило бы связности M.

Теорема 3.2. Пусть {Mα} — семейство связных подмножеств тополо-

гического пространства X, имеющее непустое пересечение: ∩Mα ̸= .

α

Тогда объединение M = Mα связно.

α

Доказательство. Допустим, что M = Φ1 Φ2, где Φ1, Φ2 непусты, открыты и Φ1 ∩ Φ2 = . Т.к. все Mα Φ1 Φ2, то по теореме (3.1) каждое из Mα лежит в Φ1, либо в Φ2. Но поскольку их пересечение непусто, то все они лежат лишь в одном Φi, i = 1, 2, поэтому другое пусто вопреки предположению.

Теорема 3.3. Если M — связное подмножество топологического пространства X, то связным является любое множество M0, лежащее между M и его замыканием: M M0 M. В частности, замыкание связного множества связно.

Доказательство. Представим M0 в виде M0 = Φ1 Φ2, где Φi — открыты и Φ1 ∩ Φ2 = . Т.к. M M0 связно, то по теореме (3.1) оно лежит в одном из Φi, скажем, в Φ1. В силу открытости Φ2, имеем M ∩ Φ2 = , откуда

M0 M Φ1, т.е. Φ2 = .

Теорема 3.4. Образ при непрерывном отображении связного постран-

ства связен.

Доказательство. Пусть f : X → Y = f(X) — непрерывное отображение. Если Y — несвязно, то Y = Φ1 Φ2, где Φ1 ∩Φ2 = , Φ1, Φ2 — открыты, непусты. Следовательно, X = f−1(Φ1) f−1(Φ2), где f−1(Φi) — непусты, открыты (в силу непрерывности f) и не пересекаются. Полученное противоречие со связностью X доказывает теорему. Из теоремы (3.4) и примера

4 вытекает важное

32	О.В. Знаменская, В.В. Работин

Следствие 3.1 (Обобщение теоремы Коши). Действительнозначная непрерывная функция f : X → R на связном пространстве X, принимающая значения a и b, принимает и все промежуточные значения между a и b.

Упражнение 18. Доказать, что пространства R1 и R2 не гомеомеорфны.

Упражнение 19. Доказать, что топологическое произведение связных

пространств связно.

3. Связная компонента

Если топологическое пространство X несвязно, то естественно его разбить в объединение связных подпространств.

Определение 3.3. Cвязной компонентой топологического пространства X называется всякое максимальное связное подмножество в X.

Например, в дискретном пространстве связными компонентами являются одноточечные подмножества и только они.

Если x0 X — фиксированная точка, то по теореме (3.2) объединение

K(x0) = Mx0 всех связных подмножеств Mx0 X, содержащих x0 связно. Нетрудно показать, что K(x0) не является собственным подмножеством никакого другого связного множества, т.е. K(x0) — связная компонента, содержащая точку x0. При этом связные компоненты K(x0) и K(y0) различных точек x0 и y0 либо совпадают, либо не пересекаются. Поэтому мы приходим к такому утверждению.

Теорема 3.5. Всякое топологическое пространство разбивается в объединение непересекающихся связных компонент. Каждая связная компонента замкнута.

Замкнутость связной компоненты вытекает из теоремы о том, что множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием, определения (3.3), и теоремы (3.3).

Дифференциальная геометрия и топология

33

Заметим, что связная компонента не обязана быть открытым подмножеством. Например, пусть X = {0} {n1 }n N — подмножество в R с индуцированной топологией. Здесь подмножество {0} X образует замкнутую связную компоненту, но не является открытым.

4. Линейная связность

Понятие связности пространства тесно связано с понятием линейной связности.

Определение 3.4. Непрерывное отображение f : [0, 1] −→ X отрезка

[0, 1] в топологическое пространство X называется путем. Точка a = f(0) называется началом пути, а точка b = f(1) — концом пути.

Заметим, что путем мы назвали не множество точек в X, а отображение f. Образ пути f([0, 1]) X называется носителем пути f.

Определение 3.5. Топологическое пространство X называется линейно связным, если любые две его точки можно соединить путем, т.е. для любых a, b X найдется путь f : [0, 1] −→ X, такой, что f(0) = a, f(1) = b.

Теорема 3.6. Линейно связное пространство связно.

Доказательство простое и предлагается в качестве упражнения. Обращение теоремы (3.6) не имеет места, т.е. связное пространство

может не быть линейно связным. Приведем соответствующий пример. Пусть X — замыкание в R2 графика функции y = sin x1 (см. рис.) Очевидно, X = X− X0 X+, где

X− = {(x, y) X : x < 0},

X+ = {(x, y) X : x > 0},

X0 = {x = 0, −1 6 y 6 1} — отрезок на оси OY .

Множества X− и X+ связные как образы при непрерывном отображении f : R1 −→ R2, x → (x, sin x1 ) связных интервалов (−∞, 0) и (0, +∞) соответственно. Далее, по теореме (3.3) замыкания X−, X+ также связны,

34 О.В. Знаменская, В.В. Работин

и т.к. X− = X− X0, X+ = X+ X0, то по теореме (3.2) множество X, равное объединению X = X− X+ связно.

Докажем, что X не является линейно связным пространством. Рассмотрим две точки: a = (−π1 , 0) и b = (π1 , 0) в X. Предположим, что

точки a и b можно соединить путем f : [0, 1] −→ X, f(0) = a, f(1) = b. Отображение f задается в виде f(t) = (x(t), y(t)), где x(t), y(t) — непрерывные функции и y(t) = sin x(1t), если x(t) ̸= 0. Т.к. x(0) = −π1 , x(1) = π1 , то найдется t [0, 1], для которого x(t) = 0. Пусть E = {t [0, 1] : x(t) = 0}

и t0 = inf E. По определению точной нижней грани найдется последовательность {tn}, tn E, tn → t0. Ввиду непрерывности x(t) имеем

x(t0) = lim x(tn) = 0. Таким образом, x(t) < 0 при t < t0 и x(t0) = 0,

n→∞

но это противоречит тому, что функция y(t), равная на полуинтервале

[0, t0) функции sin x(1t), является непрерывной.

5. Понятие компактности

Фундаментальную роль в анализе играет лемма Гейне-Бореля, которая состоит в следующем: из любого покрытия отрезка [a, b] числовой прямой интервалами можно выбрать конечное подпокрытие. Другими словами, ес-

ли [a, b] (xα, yα), то в множестве индексов A найдется конечное под-

α A

n

множество {α1, . . . , αn} такое, что [a, b] (xαk , yαk ).

k=1

Т.к. любое открытое множество на числовой прямой является объединением непересекающихся интервалов, то утверждение леммы Гейне-Бореля остается верным в такой формулировке: из всякого покрытия отрезка [a, b]

открытыми множествами можно извлечь конечное подпокрытие. Это свойство отрезка леит в основе слдующего важного понятия.

Договоримся покрытие σ = {Uα} топологического пространства X называть открытым, если все элементы Uα этого покрытия — открытые множества в X.

Определение 3.6. Топологическое пространство X называется компактным, если всякое его открытое покрытие σ = {Uα} содержит конечное подпокрытие {Uαk }k=1,N .

Дифференциальная геометрия и топология

35

Подмножество A топологического пространства X называется компактным, если A — компактное в пространстве индуцированной топологии.

Согласно лемме Гейне-Бореля отрезок [a, b] компактен. Позднее мы увидим, что в Rn (n < ∞) все замкнутые отрганиченные подмножества (и

только они) компактны. Примером некомпактного пространства является

∞

числовая прямая R : R = (−n, n), но никакое конечное подсемейство

n=1

покрытия {Un = (−n, n)}n=1,∞ не покрывает R. Точно также легко заключить, что не компактно любое неограниченное множество в R, а также — всякий интервал (a, b).

Заметим, что если постранства X и X′ гомеоморфны, то из компактности одного следует компактность другого, т.е. компактность является топологическим инвариантом.

6. Свойства компактных пространств

Теорема 3.7. Всякое замкнутое подмножество F компактного пространства X компактно.

Доказательство. Если {Vα} — открытое покрытие множества F , то

Vα = Uα ∩ F , где Uα открыты в X. Тогда семейство {{Uα}, X \ F } — открытое покрытие пространства X. В силу компактности X найдется конечное семейство {{Uαk }k=1,N , X \ F }, покрывающее X. Поэтому семейство {Vαk }k=1,N покрывает F .

Теорема 3.8. Всякое компактное подмножество хаусдорфового пространства замкнуто.

Доказательство см. в [1].

Теорема 3.9. Пусть f : X −→ X′ — непрерывное отображение компактного топологического пространства X в топологическое пространство

X′. Тогда образ f(X) компактен.

Доказательство. Пусть σ = {Uα} — открытое покрытие образа f(X). Тогда {f−1(Uα)} — открытое покрытие пространства X. Извлекая из это-

36	О.В. Знаменская, В.В. Работин

го покрытия конечное подпокрытие {f−1(Uαk )}k=1,N , мы получим, что

{Uαk }k=1,N — конечное подпокрытие покрытия σ.

Теорема 3.10. Пусть X — компактное топологическое пространство и f : X −→ R — непрерывная функция. Тогда f ограничена и достигает на X верхней и нижней граней.

Доказательство. По теореме (3.9) образ f(X) компактен. Поэтому из хаусдорфовости числовой прямой R по теореме (3.8) получаем, что f(X)

R замкнут. Далее, в предыдущем пункте мы отмечали, что компактное подмножество в R ограничено. Итак, образ f(X) замкнут и ограничен, поэтому он содержит верхнюю и нижнюю грани.

7. Критерий компактности подмножеств в Rn,

(n < ∞)

Теорема 3.11. Подмножество A Rn компактно тогда и только тогда, когда A замкнуто и ограничено.

Доказательство. Пусть A компактное подмножество в Rn. По теореме (3.8) A замкнуто. Если {B1(a)}a A — открытое покрытие A шарами радиуса 1 с центрами в точках a A, то и некоторое конечное семейство B1(a1), . . . , B1(aN ) покрывает A. Поэтому A ограничено.

Обратно, пусть A Rn замкнуто и ограничено. В силу ограниченности,

A помещается в некоторый куб P = [−r, r] × · · · × [−r, r]. По теореме (??) куб P компактен, откуда с помощью теоремы (3.7) получаем компактность

A.

Дифференциальная геометрия и топология

37

8. Компактность метрических пространств

Компактность метрических постранств можно выразить на языке последовательностей.

Теорема 3.12. Метрическое пространство X компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности {xn} в X можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Приведем набросок доказательства теоремы (3.12).

Необходимость. Пусть X — компактное метрическое пространство и

{xn} — последовательность в X. Предположим, что {xn} не имеет сходящихся подпоследовательностей. Тогда {xn} состоит из изолированных точек и замкнута. Поэтому последовательность {xn} может быть покрыта семейством непересекающихся шаров {Bεn(xn)}, из которого нельзя извлечь конечного подпокрытия. Таким образом, подмножество {xn} X не компактно. Противоречие с теоремой (3.7).

Достаточность. Применим лемму о числе Лебега, имеющую самостоятельный интерес. Пусть {Uα} — открытое покрытие метрического пространства X. Если число ε > 0 таково, что покрытие шарами {Bε(x)}x X

вписано в покрытие {Uα}, то ε называется числом Лебега покрытия {Uα}. Другими словами, ε — число Лебега покрытия {Uα}, если каждый шар

Bε(x) радиуса ε полностью лежит в некотором Uα.

Лемма 3.1. Если метрическое пространство X таково, что каждая последовательность в нем имеет сходящуюся подпоследовательность, то свякое покрытие X имеет положительное число Лебега.

Доказательство. Пусть σ = {Uα} — открытое покрытие X. Для каждой точки x X положим ε(x) = sup{δ : шар Bδ(x) лежит в некотором Uα σ}.

Если точная нижняя грань ε0 = inf ε(x) > 0, то число ε0/2 является числом

x X

Лебега покрытия σ. Если inf ε(x) = 0, то найдется последовательность

x X

{xn}, такая, что ε(xn) −→ 0. По условию леммы существует сходящаяся последовательность {xnk } : xnk → x0. Поэтому для достаточно больших

38 О.В. Знаменская, В.В. Работин

номеров k имеем:			(xnk ) B			(x0) Uα.
Bε(40		)		20	)
	x			ε(x

Это означает, что ε(xnk ) > 14ε(x0); противоречие с тем, что ε(xnk ) → 0. Лемма доказана.

Пусть {Uα} — открытое покрытие X. По лемме для этого покрытия найдется положительное число Лебега ε, т.е. покрытие {Bε(x)}x X вписано в {Uα}. Чтобы доказать компактность X, достаточно установить, что существует конечный набор шаров Bε(xk), k = 1, . . . , N, покрывающий X. Пусть x1 X — произвольная точка. Если шар Bε(x1) не покрывает все X, то найдется x2 X такая, что ρ(x1, x2) > ε. Если пара шаров Bε(x1), Bε(x2) не покрывает X, то найдется x3 X, такая, что ρ(x1, x3) > ε, ρ(x2, x3) > ε. Продолжая по индукции построение шаров Bε(xn), мы либо построим конечное семейство шаров, покрывающих X, либо получим последовательность {xn} (xn — центры шаров) со свойством ρ(xn, xm) > ε m, n, m ̸= n. Покажем, что вторая возможность исключается. Действительно, извлекая из последовательности {xn} сходящуюся подпоследовательность {xnk }, мы получим, что ρ(xnk , xnk+1 ) −→ 0 при k −→ ∞. Противоречие с тем, что

ρ(xn, xm) > ε. Теорема (3.12) доказана.

Раздел 2. Кривые и поверхности в Rd

Лекция 4

Кривые в n-мерном пространстве. Кривизна

кривой

Кривые в n-мерном пространстве. Определения, механическая интерпретация. Касательный вектор. Длина кривой. Определение натурального параметра. Теорема о возможности натуральной параметризации. Вектор кривизны. Кривизна кривой. Теорема о перпендикулярности вектора ускорения вектору скорости.

Всякий знает, что такое кривая, пока не выучится математике настолько, что вконец запутается в бесчисленых исключениях.

Ф. Клейн Понятие кривой прошло более чем двухтысячелетний путь развития. В основу теории мы положим формализацию интуитивного представления о кривой как о траектории движущейся точки, которая в каждый момент

времени имеет вполне определенную скорость. Пусть D — область в Rd.

Определение 4.1. Параметризованной кривой γ в D называется гладкое непостоянное отображение x¯ некоторого промежутка I R в D;

γ : x¯ = x¯(t), t I. Если I = [a, b], то x¯(a) называется началом кривой γ, а x¯(b) — ее концом. Параметризованая кривая называется регулярной, если x¯′(t) ̸= 0, t I.

Определение 4.2. Связное множество γ в D называется гладкой кривой в D, если у каждой точки p¯ γ существует такая окрестность

40	О.В. Знаменская, В.В. Работин

Up¯, что γ ∩ Up¯ есть образ некоторой регулярной параметризованной кривой. Параметризовать гладкую кривую γ, значит найти такую параметризованую кривую x¯ = x¯(t), образ которой будет совпадать с

γ.

В определении 4.2 утверждается, что у каждой точки гладкой кривой имется окрестность, в которой кривая допускает параметризацию. Такую параметризацию иногда называют локальной.

Пример 4.1. Окружность — гладкая кривая, граница квадрата — нет. (Докажите!)

Очевидна механическая интерпретация параметризованной кривой γ. Промежуток I представляет в этом случае промежуток времени t, параметризация x¯ = x¯(t) — закон движения точки по траектории γ(I). Поскольку у всякой движущейся точки имеется вектор скорости и он касается траектории движения, то мы приходим к следующему определению.

Определение 4.3. Касательным вектором или вектором скорости параметризованной кривой γ : x¯ = x¯(t) в точке x¯0 = x¯(t0) называется вектор v¯(¯x0) := ddtx¯ (¯x0) = x¯′(t0).

Механическая аналогия ведет нас и при определении длины кривой. Действительно, если бы движение происходило по прямой с постоянной скоростью, то длина пройденного пути вычислялась бы как произведение величины скорости на длину промежутка времени,

l = |v¯| · ∆t.

(4.1)

Но так как траектория движения — криволинейная и скорость движения

— переменна, то необходимо разбивать траекторию на достаточно малые участки, на которых мы могли бы приближенно считать длину участка по формуле (4.1), суммировать полученные величины по всем участкам и завершить вычисление предельным переходом, устремляя к нулю длины