Mec-lab-2006

РАБОТА № 10

ИЗУЧЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ

Цель работы: определить собственные частоты и формы собственных коле- баний струны, скорость волны в струне.

Оборудование: струна, груз, генератор электрических колебаний, магнит, ли- нейка.

Описание метода

Колебания, возникнув в какой-либо точке среды, не остаются локализованны- ми, а распространяются в среде благодаря наличию упругих сил связи между час- тицами. Процесс распространения колебаний в среде называют волной. Уравне- ние плоской волны, распространяющейся в направлении оси ОХ, может быть за-

писано в виде

	æ	x ö
ξ1	= Ao cos 2π çν t -		÷ ,	(1)
	è	λ ø

где ξ — смещение колеблющейся точки от положения равновесия, А0 — амплиту- да колебаний, ν — частота, х — координата колеблющейся точки, λ — длина волны.

Если навстречу данной волне против оси ОХ распространяется плоская волна

той же частоты и амплитуды		x ö
	æ
ξ 2	= Ao cos 2π çν t +		÷ ,	(2)
	è	λ ø

то в результате интерференции возникает стоячая волна, в которой смещение час-

тиц происходит по закону

ξ = ξ	1	+ ξ	2	= 2A cos 2π	x	cos 2πν t .	(3)
				o	λ

Сомножитель cos2πνt зависит от времени и показывает, что частицы среды со- вершают колебания с той же частотой, что и источник.

Сомножитель

A = 2Ao cos 2λπ x

имеет смысл амплитуды колебаний частиц. Как видно, амплитуда колебаний час- тиц в стоячей волне неодинакова. Точки, в которых амплитуда колебаний равна

нулю (х = λ4 , 43 λ , 54 λ и т.д.), называются узлами стоячей волны. Между узлами

находятся частицы, которые совершают колебания в одной фазе и с амплитудой, возрастающей к середине отрезка между соседними узлами. Точки, в которых ам- плитуда колебаний максимальна А = 2А0, называются пучностями стоячей волны

61

. Одна полуволна и наименьшая частота

(х = 0, λ2 , λ, 32 λ ). Расстояние между соседними узлами или пучностями равно λ2 .

На рис. 1 указано положение точек в стоячей волне и направление их движения.

Рис.1 Рис. 2

В данной работе стоячая волна создается в струне. Если в натянутой струне в каком-либо месте возбудить колебания, возникнет бегущая волна. Достигнув точ- ки закрепления, волна отразится. При наложении бегущей и отраженной волн может возникнуть стоячая волна, но при условии, что в местах закрепления стру- ны будет узел (рис.2). Как видно, в этом случае на длине струны должно уложить-

ся целое число k полуволн, т.е. l = k λ2k

соответствуют k = 1 (основной тон). Числу полуволн k = 2, k = 3 и т.д. соответст- вуют более высокие частоты собственных колебаний струны, называемые обер- тонами. Наблюдая форму стоячей волны на струне, можно определить длину вол- ны и, зная частоту колебаний, определить экспериментально скорость волны в струне:

U = λν .

(4)*

Скорость волны в струне можно определить теоретически. При воздей- ствии на струну с некоторой силой от мес- та возмущения бежит “горбик“ со скоро- стью волны (рис. 3). Для наблюдателя, движущегося вместе с “горбиком“, малые элементы струны движутся по дугам ок- ружности.

Рис. 3

Согласно второму закону Ньютона dmV 2 = F , где F — результирующая сил

R

натяжения, F = Ndα. Тогда с учетом, что Rdα = dl, а масса элемента dm = σ dl, где σ — линейная плотность массы, получим

62

	U =		N		,	(5)*
			σ

где N — сила натяжения струны, σ — линейная плотность, т.е. масса единицы длины струны.

Описание установки

Струна натягивается между стойками. Один конец закреплен неподвижно, а к другому концу, перекинутому через блок, прикреплен груз массой m, создающий натяжение N = mg (рис. 4).

От генератора электрических колебаний на струну подается переменный ток. В поле постоянного магнита на струну действует периодическая сила Ампера, частота которой равна частоте электрических колебаний генератора. При совпа- дении частоты генератора с одной из собственных частот струны в ней устанав- ливается стоячая волна. Частота генератора устанавливается вращением ручки “Частота“ и переключателем диапазонов. Частота определяется произведением показаний по шкале лимба на множитель диапазона.

Выполнение работы

1.Измерить длину l струны. Оценить систематическую погрешность ее изме- рения. Результаты записать в таблицу. Форма отчета приведена в приложении.

2.Включить генератор. Вращая плавно лимб генератора в области частот ос- новного тона (20…60 Гц), добиться максимальных колебаний струны. Опреде- лить по лимбу частоту. Оценить систематическую погрешность измерения часто-

ты θν как цену деления лимба генератора.

Увеличивая частоту генератора, получить на струне устойчивые собственные колебания последующих обертонов (k = 2, k = 3 и т.д.).

63

Результаты измерений и параметры установки записать в таблицу. Зарисовать формы наблюдаемых колебаний струны.

							Таблица
l ±ql = …м			N = …H		s = …кг/м		qn = …Гц
Форма		k	l, м	n, Гц	U, м/с	U – áUñ,	(U – áUñ)2,
колебания						м/с	(м/с)2
					áUñ =		å(U–áUñ)2 =

Обработка результатов

1. Определить длины волн, соответствующие разным формам стоячей волны: l = 2kl .

2.Определить скорость распространения волны в струне для каждого собст- венного колебания по формуле (4).

3.Определить среднее арифметическое значение скорости волны áUñ.

4.Оценить случайную погрешность измерения скорости по методу оценки по- грешностей при прямых измерениях, см. формулу (2) на с. 6:

	dU = t p		å (U i - áUñ)2	.
			n(n - 1)

5. Оценить суммарную погрешность измерения скорости волны в струне в соответствии с формулами (4а) и (10) на с. 8, 10:

DU = áUñ	æql ö2
	ç	÷
	è	l ø

æqn ö2			æ dU ö			2
+ ç	n	÷	+ ç		÷ .
è		ø	è	áUñ ø

6. Записать результат в виде U = áUñ ± DU, P = 0,95. Сделать выводы. Сравнить экспериментальное значение скорости с теоретическим, рассчитанным по форму- ле (5). Если совпадение отсутствует, то проверить расчеты. При необходимости произвести более тщательные измерения.

64

РАБОТА №11

ИЗУЧЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН В ВОЗДУХЕ

Цель работы: определить скорость звука в воздухе методом стоячих волн, оп- ределить показатель адиабаты для воздуха.

Оборудование: звуковой генератор, телефон, микрофон, стеклянная труба, электронный осциллограф.

Описание метода

В звуковой волне, распространяющейся в газах, вследствие кратковременно- сти процессы сжатия — разрежения происходят адиабатически, без теплообмена. Поэтому скорость звука зависит от показателя адиабаты γ:

V =	γRT	,	(1)
	М

где R — универсальная газовая постоянная; Т — абсолютная температура; М — масса моля газа. На использовании этой формулы основан акустический метод определения показателя адиабаты:

γ =	МV	2	.	(2)*
	RT
Скорость звука можно определить по длине волны и ее частоте:
V = λν .				(3)*

Для определения длины звуковой волны можно использовать метод стоячих волн. Стоячая волна образуется при интерференции двух когерентных волн, рас- пространяющихся навстречу друг другу, например бегущей волны и волны, отра- женной от границы раздела сред. В этом случае волны имеют одинаковую частоту и направление колебаний и постоянную во времени разность фаз, т.е. когерентны. В результате интерференции прямой и обратной волн возникает стоячая волна.

Колебания частиц среды будут происходить по закону

	æ	x ö		æ	x ö
ξ = ξ1 + ξ 2	= Ao sin 2π çνt -		÷	+ Ao sin 2π çνt +		÷	=
	è	λ ø		è	λ ø		(4)

= 2Ao cos 2π λx sin 2πνt

Сомножитель sin 2πνt показывает, что частицы среды совершают колебания с той же частотой, что и источник.

65

Выражение A =	2A cos 2π	x		является амплитудой колебаний частиц в стоя-
	o	λ

чей волне. Как видно, амплитуда колебаний частиц различна. Точки, где ампли- туда колебаний достигает максимума 2А0, называют пучностями стоячей волны. Точки, где амплитуда колебаний равна нулю, называют узлами стоячей волны. Расстояние между двумя соседними узлами или между двумя соседними пучно- стями, как видно из выражения для амплитуды стоячей волны, равно половине длины волны.

Среда, в которой возникла стоячая волна, разделена узлами на участки, в каж- дом из которых частицы совершают колебания в одной фазе. Если на одном уча- стке сжатие через полпериода сменяется разрежением, то в соседней пучности — наоборот.

В работе стоячую звуковую волну создают в столбе воздуха между телефоном Т и микрофоном М внутри стеклянной трубы. При этом должно выполняться условие резонанса:

расстояние между Т и М должно быть кратно половине длины волны:

l = k	λ .	(5)*
	2

Это обусловлено тем, что около теле-

фона и микрофона может возникнуть только узел смещения частиц воздуха в стоячей волне (рис. 1).

Рис. 1

Описание установки

Установка состоит из звукового генератора, стеклянной трубы с телефоном Т и микрофоном М, осциллографа, предназначенного для регистрации колебаний мембраны микрофона (рис. 2).

Звуковой генератор создает электрические колебания частотой 20 … 20000 Гц. Телефон Т превращает их в звуковые. Колебания от телефона распространяются в воздухе трубы, отражаются от микрофона М. Если расстояние между Т и М крат- но половине длины волны, то в трубе возникает стоячая волна. На слух воспри- нимается усиление звука в трубе, а объективно это регистрируется увеличением амплитуды колебаний на экране осциллографа, соединенного с микрофоном. Микрофон перемещается совместно с трубкой, на которой он установлен. Рас- стояние между микрофоном и телефоном измеряется линейкой.

66

Рис. 2

Выполнение работы

1.Пододвинуть микрофон к телефону.

2.Включить генератор. Установить частоту генератора в пределах 900…1500 Гц. Для этого ручку переключателя диапазонов поставить в положение х10, пере- ключателями частоты установить 90…150. Должен быть слышен звук. При необ- ходимости увеличить напряжение на выходе.

Измерить установленную частоту. Оценить погрешность qn.

3.Включить осциллограф ручкой “Яркость“. Переключателем “Частота“ до- биться развертки. Переключатель “Усиление“ — в положение “max“. На экране должна быть видна осциллограмма электрических колебаний от микрофона.

4.Перемещая микрофон от телефона, отметить не менее четырех координат, при которых наблюдается усиление звука, высота изображения на экране осцил-

лографа максимальна. Оценить погрешность измерения qх.

Опыт повторить не менее трех раз при других частотах, результаты опытов записать в таблицу. Форма отчета приведена в приложении. Измерить температу- ру воздуха по термометру лаборатории: Т = 273 + t.

					Таблица
Т = …К		m = 28,9×10–3 кг/моль		R = 8,31 Дж/(моль×К)
n, Гц x1, м,	x2, м,	x3, м,	x4, м, álñ, м	V, м/с (V–áVñ),	(V–áVñ)2,
k = 1	k = 2	k = 3	k = 4	м/с	(м/с)2

qn =

qx =

áVñ =

—

å(V –

–áVñ)2=

67

Обработка результатов

1. Построить графики прямо пропорциональной зависимости расстояний меж- ду телефоном и микрофоном х, при которых возникает стоячая волна, от числа пучностей k для всех частот (рис. 3 и см. с. 11).

2. Определить среднее значение длины

волны звука в воздухе для каждой из частот по графику, как удвоенное значение

углового коэффициента экспериментальных прямых.

Для этого выбрать на концах прямых по две точки (например, начало координат и k = 4). Определить ординаты этих точек l1, l2

и l3.

Рис. 3

Рассчитать средние значения длины волны ál1ñ = 2 lk1 , ál2 ñ = 2 lk2 , ál3 ñ = 2 lk3 .

3.Определить скорость звука для каждой частоты по формуле (3).

4.Определить среднее арифметическое значение скорости звука áVñ.

5.Определить по формуле (2) среднее значение показателя адиабаты ágñ.

6.Оценить случайную погрешность косвенного измерения скорости звука как при прямых измерениях, см. формулу (2) на с. 6:

	dV = t p		å (Vi - áV ñ)2		,
			n(n - 1)

убедиться, что относительные систематические погрешности

тельны по сравнению с áδVVñ и ими можно пренебречь.

θ l , θν незначи- l1 n

7. Оценить случайную погрешность измерения показателя адиабаты в соот- ветствии с формулой (4а) на с. 8:

dg = ág ñ		2δV	.
		áV ñ
8. Записать результаты: V = áVñ ± dV;	g = ágñ ± dg; Р = 0,95.

Сделать выводы. Сравнить найденное значение показателя адиабаты с теоретиче-

ским g теор = i +i 2 , где число степеней свободы двухатомных молекул воздуха

i = 5. Сравнить измеренную скорость звука с табличной (340 м/с). Если совпаде- ние отсутствует, то следует повторить расчеты или измерения более тщательно.

68

Fсопр

РАБОТА № 12

ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: изучить затухающие колебания, определить коэффициент зату- хания, логарифмический декремент затухания.

Оборудование: физический маятник, секундомер.

Описание метода

Если маятник вывести из положения равновесия и отпустить, то он будет со- вершать свободные колебания под действием возвращающей силы. При малых колебаниях, в первом приближении, возвращающую силу можно считать пропор- циональной смещению маятника F = – kx. Здесь k — коэффициент упругости.

Собственные колебания являются затухающими, т.е. их амплитуда со време- нем уменьшается. Это обусловлено действием сил сопротивления движению. Примем, что сила сопротивления пропорциональна скорости тела:

= −rV = −r dxdt . Так бывает при движении тел с малой скоростью в жидко-

сти или газе.

Тогда уравнение движения маятника, второй закон Ньютона будет иметь вид

m

d 2 x

= −r

dx

− kx ,

(1)

dt 2

dt

или, обозначив β =

r

и ωo2 =

k

, получим:

2m

m

d 2 x

+ 2β

dx

+ ωo2 x = 0.

(2)

dt 2

dt

Решением этого дифференциального уравнения является функция

x = A e−β t sin(ω t + ϕ ).

(3)

o

Это уравнение затухающих колебаний. Здесь β — коэффициент затухания, ω — циклическая частота затухающих колебаний, которая при малом затухании близка

к частоте ω0 незатухающих колебаний ω = ωo2 − β 2 .

Выражение перед функцией синуса имеет смысл амплитуды затухающих ко- лебаний:

A = A e−β t .	(4)
o
69

Со временем амплитуда затухающих колебаний уменьшается по экспоненци- альному закону (рис.1).

В качестве меры затухания колебаний применяют несколько параметров. Во-первых, коэффициент затухания β, который характеризует уменьшение ам- плитуды колебаний со временем: за время τ = 1/β, называемое временем релакса- ции, амплитуда, как видно из (4), уменьшается в е = 2,72 раза.

Другим параметром затухания является логарифмический декремент затуха- ния, который по определению равен натуральному логарифму отношения ампли- туды некоторого колебания к амплитуде последующего:

κ = ln	At	.	(5)
	At+T

Если подставить в (5)уравнение амплитуд двух следующих друг за другом коле- баний, то получим

	A e−β t
	o
κ = ln		= βT ,	(6)
	A e−β (t+T )
	o

где Т — период колебаний.

Уравнение для амплитуды (4) можно переписать как функцию числа колеба-

ний при β = κТ :

A = A e−κ	t	= A e−κN ,
	T		(7)
o		o

так как N = t /T — это число колебаний. Логарифмический декремент затухания характеризует затухание в зависимости от числа совершенных колебаний. За чис-

ло колебаний Np = 1/κ амплитуда уменьшается в е = 2, 72 раза.

Логарифмический декремент затухания можно экспериментально определить по уравнению (7). Если его прологарифмировать, то оно сводится к линейному:

ln A = ln Ao − κN	(8)
70