an_geom

8

< x = ¡4 + 2t;

2) y = 4 ¡ t; : z = ¡1 ¡ 2t

3)	x + 5		=	y + 5	=	z ¡ 1
	3
			2		¡2

51

8

< x = ¡5 + 4t;

è y = 5 ¡ 3t;

: z = 5 ¡ 5t;

8

< x = 9 + 6t;

y = ¡2t; è : z = 2 ¡ t:

13.22 Написать канонические уравнения прямой, которая симметрична

прямой

x = ¡1 + 4t;

8 y = 1

¡

3t;

x

< z = 1

5t

:

2

1 = 0

относительно плоскости

y

z

¡

.

¡

¡

¡

13.23

Написать параметрические уравнения прямой, которая симметрична

прямой

x ¡ 1

y ¡ 4

z + 7

=

=

2

¡3

2

относительно плоскости 2x ¡ 5y ¡ z ¡ 1 = 0.

13.24

Написать уравнение плоскости, которая симметрична плоскости

3x ¡ 4y + z ¡ 2 = 0 относительно прямой

x ¡ 5

=

y + 2

=

z ¡ 1

:

2

3

¡2

13.25 Написать уравнение плоскости, которая симметрична плоскости x + z ¡ 4 = 0 относительно прямой

8

< x = ¡1 + t;

y = 2 ¡ t;

:z = 3 ¡ 2t:

52

Ÿ14 Элементарные свойства поверхностей второго порядка.

В евклидовом пространстве существует 17 типов поверхностей второго

порядка. Приведем список.

1)

x2

y2

z2

= 1 -

эллипсоид,

+

+

2

b

2

c

2

a

2)

x2

y2

z2

= ¡1 - мнимый эллипсоид,

+

+

a2

b2

c2

3)

x2

y2

z2

= 1 -

однополостный гиперболоид,

+

¡

a2

b2

c2

4)

x2

y2

z2

= ¡1 - двуполостный гиперболоид,

+

¡

a2

b2

c2

5)

x2

y2

z2

= 0 -

конус,

+

¡

a2

b2

c2

6)

x2

y2

z2

= 0 -

мнимый конус,

+

+

2

b

2

c

2

a

7)

x2

y2

-

эллиптический параболоид,

+

= z

2

b

2

a

8)

x2

y2

-

гиперболический параболоид,

¡

= z

a2

b2

9)

x2

y2

+

= 1 -

эллиптический цилиндр,

2

b

2

a

10)

x2

y2

¡

= 1 -

гиперболический цилиндр,

a2

b2

11)

x2

y2

+

= ¡1 - мнимый цилиндр,

a2

b2

12)

x2

y2

¡

= 0 -

пара пересекающихся плоскостей,

a2

b2

13)

x2

y2

+

= 0 -

пара мнимых пересекающихся плоскостей,

a

2

b

2

14)

y2

= 2px

-

параболический цилиндр,

15)

x2

= 1 -

пара параллельных плоскостей,

a

2

16)

x2

= ¡1 -

пара мнимых параллельных плоскостей,

a2

17)

x2 = 0 -

пара совпавших плоскостей,

ãäå a, b, c - отличные от нуля вещественные постоянные. Уравнение сферы с центром (x0; y0; z0) и радиусом r имеет вид:

53

(x ¡ x0)2 + (y ¡ y0)2 + (z ¡ z0)2 = r2. Плоскость касается сферы тогда

и только тогда, когда расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы. Сфера (x ¡ x0)2 + (y ¡ y0)2 + (z ¡ z0)2 = r2 разбивает

множество точек пространства, отличных от точек сферы, на два подмножества. Для точек одного подмножества вполняется неравенство:

(x ¡ x0)2 + (y ¡ y0)2 + (z ¡ z0)2 < r2 (внутренность сферы), а для точек

другого подмножества неравенство: (x ¡ x0)2 + (y ¡ y0)2 + (z ¡ z0)2 > r2 (внешность сферы).

14.1 Используя параллельный перенос прямоугольной декартовой системы координат, определить тип и нарисовать следующие поверхности:

1) 2x2 + y2 + z2 ¡ 4x + 6y + 8z ¡ 1 = 0, 2) x2 ¡ 3y2 ¡ 4z2 ¡ 9y ¡ 16z ¡ 10 = 0,

3) 5x2 + 2y2 ¡ 6z2 ¡ 10x + 8y ¡ 12z + 23 = 0, 4) y2 + 4z2 ¡ x + 4y ¡ 16z ¡ 3 = 0,

5) x2 ¡ 4z2 + 2x ¡ 3y + 24z = 0, 6) y2 + z2 ¡ 4x ¡ 8z + 5 = 0,

7) x2 ¡ 2z2 + 10x ¡ 12z + 7 = 0, 8) x2 ¡ 6x ¡ 3z + 3 = 0,

9) z2 + 20z ¡ 3 = 0,

10) x2 ¡ z2 + 4x + 4z = 0.

14.2 Используя поворот вокруг прямой прямоугольной декартовой системы координат, определить тип и нарисовать следующие поверхности:

1) 2xy + 3z2 ¡ 12 = 0, 2) 5xz + 7y = 0,

3) 2(x ¡ y)2 + 9z2 ¡ 32 = 0, 4) 3(x ¡ z)2 ¡ 5y = 0.

14.3 Используя поворот вокруг прямой и параллельный перенос прямоугольной декартовой системы координат, определить тип и нарисовать следующие поверхности:

1) 4xy + 2z2 + 8x ¡ 8y + 4z ¡ 12 = 0, 2) yz ¡ 2x + 4y ¡ 8z + 1 = 0,

3) (x ¡ z)2 + y2 ¡ 4x ¡ 2y ¡ 4z = 0, 4) (y ¡ z)2 + 2x + 2y ¡ 4z ¡ 2 = 0.

14.4 Найти точки пересечения поверхности 2x2+y2¡z2¡4x+6y+8z¡1 = 0 с прямыми:

54

	x = ¡3 + 2t;			x		y	¡	1		z + 3
1)	y =	2 + 3t;	2)		=				=		:
				2			3			1
8		¡
< z =		1 ¡ t;								¡

14.5			Доказать, что плоскость							x ¡ 2y + z ¡ 2 = 0	пересекает сферу
x	2	+ y		2		:2
					+ z		= 25. Найти центр окружности пересечения.
14.6			Доказать, что плоскость							2x + 3y + 2z ¡ 1 = 0	пересекает сферу
					2		2	2
(x ¡ 2)						+ (y + 1) + z			= 100. Найти центр окружности пересечения.

14.7Как расположены точки: (3; 0; 4), (3; 5; 0), (3; 4; 4), (5; 4; 6) относительно

сферы (x ¡ 1)2 + (y + 2)2 + (z ¡ 1)2 = 49.

14.8Написать уравнение касательной плоскости к сфере x2+y2+z2 = 36,

ортогональной вектору (1; 2; 3).

14.9 Написать уравнение касательной плоскости к сфере (x ¡ 1)2 + (y + 2)2 + (z ¡ 1)2 = 25, ортогональной вектору (0; 2; ¡3).

55

Ÿ15 Поверхности вращения. Цилиндрические и конические поверхности.

Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат в пространстве. Опуская определения, приведем здесь основные формулы.

Поверхности вращения.

Пусть в плоскости Y OZ дана кривая с уравнением f(y; z) = 0, y > 0. Будем вращать данную кривую вокруг оси OZ. Уравнение поверхности

вращения имеет вид: p

f( x2 + y2; z) = 0:

Цилиндрические поверхности.

Рассмотрим цилиндрическую поверхность, направляющая которой имеет

уравнения:	f(x; y; z) = 0;
	½ g(x; y; z) = 0;

а образующие параллельны вектору p~(a; b; c). Параметрические уравнения

образующих цилиндрической8поверхности имеют вид:

< x = x0 + at;

:y = y0 + bt; z = z0 + ct;

где точка (x0; y0; z0) лежит на направляющей цилиндрической поверхности. Чтобы получить уравнение цилиндрической поверхности, нужно из системы

уравнений:
				>	x = x0	+ at;
				>		+ bt;
				8 y = y0
исключить ,		,	è .	> z = z0 + ct;
				>
	x0	y0 z0	t	> f(x ; y ; z ) = 0;
				>
				>	0	0 0
				<
				:
				> g(x0; y0; z0) = 0

Конические поверхности.

Рассмотрим коническую поверхность,½ направляющая которой имеет уравнения:

f(x; y; z) = 0; g(x; y; z) = 0;

56

а вершина координаты (x0; y0; z0). Параметрические уравнения образующих

конической поверхности имеют вид:

8

< x = x0 + (~x ¡ x0)t;

:y = y0 + (~y ¡ y0)t; z = z0 + (~z ¡ z0)t;

где точка (~x; y~; z~) лежит на направляющей конической поверхности. Чтобы получить уравнение конической поверхности, нужно из системы уравнений:

								x = x0 + (~x x0)t;
							8 y = y0 + (~y		¡y0)t;
							>
							>		¡
							> z = z0 + (~z		¡ z0)t;
							<
							> g(~x; y;~ z~) = 0
							>
							> f(~x; y;~ z~) = 0;
							>
исключить		,	,	è		.	>
	x~		y~ z~		t		:

15.1 Вывести уравнения сферы, конуса, цилиндра как уравнения поверхностей вращения. Сферу, как поверхность, полученную вращением окружности:

½ y2 + z2 = r2; x = 0

вокруг оси OZ. Конус, как поверхность, полученную вращением прямой:

½z = ky; x = 0

вокруг оси OZ. Цилиндр, как поверхность, полученную вращением прямой:

½y = c; x = 0;

ãäå c = const, вокруг оси OZ.

15.2 Написать уравнение поверхности (уравнение тора), полученной вращением

окружности: ½ (y ¡ y0)2 + z2 = r2;

x = 0;

											57
ãäå 0 < r < y0, вокруг оси OZ.
15.3		Установить, какие поверхности определяются следующими уравнениями
и нарисовать эти поверхности:
	x2		y2			y2		z2		3) y2 = 12z;	4) x2+y2¡z2 = 0:
1)		+		= 1;	2)		¡		= 1;
	25		36			16		4

15.4 Написать уравнение конуса, вершина которого находится в начале координат, а направляющая задана уравнениями:

½ x2 + y2 + (z ¡ 5)2 = 9; z = 4:

15.5 Написать уравнение конуса, вершина которого имеет координаты (4; 0; ¡3), а направляющая задана уравнениями:

8

<

y2 z2

25 + 9 = 1;

: x = 0:

15.6 Написать уравнение конуса, вершина которого имеет координаты (¡3; 0; 0), а направляющая задана уравнениями:

½ 3x2 + 6y2 ¡ z = 0; x + y + z = 1:

15.7 Найти геометрическое место касательных, проведенных из начала координат к сфере (x ¡ 5)2 + (y + 1)2 + z2 = 16.

15.8 Написать уравнение прямого кругового конуса, проходящего через все три координатныyå îñè.

15.9 Прямая x¡3 2 = 2 = z6 вращается вокруг оси OX. Найти уравнение описанной ею поверхности.

15.10 Написать уравнение цилиндрической поверхности, направляющая которой имеет уравнения: ½ x2 + y2 = 25;

z = 0;

а образующие параллельны вектору ~a(5; 3; 2).

15.11 Написать уравнение цилиндрической поверхности, направляющая которой имеет уравнения:

½ (x ¡ 1)2 + (y + 3)2 + (z ¡ 2)2 = 25; x + y ¡ z + 2 = 0;

58

àобразующие параллельны прямой:

½x = y; z = c;

ãäå c = const.

15.12 Написать уравнение цилиндрической поверхности, направляющая которой имеет уравнения:

½x = y2 + z2; x = 2z;

а образующие перпендикулярны к плоскости направляющей. 2 2 15.13 Написать уравнение цилиндра, описанного около сферы x + y +

z2 = 1, зная, что его образующие составляют равные углы с осями

координат.	2		2
15.14 Найти угол между образующей и осью вращения конуса				¡
z2 = 0.	3x	+3y

59

Ÿ16 Поверхности второго порядка, заданные каноническими уравнениями (продолжение Ÿ14).

Напомним уравнения прямолинейных образующих однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида.

Однополостный гиперболоид

x2 + y2 ¡ z2 = 1 a2 b2 c2

имеет два семейства образующих. Образующие одного семейства задаются уравнениями:

>

x

z

y

>

8 Ã

a

¡

c

!m1

= Ã1 ¡

b

!n1;

>

Ãa

c!

Ã

b!

>

1

1

>

x

z

y

ãäå

è

-

>

>

+

n

=

1 +

m ;

<

:

m1

n1

>

постоянные, одновременно не равные нулю; а образующие

второго семейства уравнениями:

8

Ãa ¡ c!m2 = Ã1 + b!n2;

>

x

z

y

>

>

x

z

y

>

c! 2

à ¡ b!

> Ãa

2

>

>

<

+

n

=

1

m ;

>

:

ãäå m2 è n2 - постоянные, одновременно не равные нулю.

Гиперболический параболоид

x2 ¡ y2 = z a2 b2

имеет два семейства образующих. Образующие одного семейства задаются уравнениями:

8		x		y				= n1;
	Ãa		¡ b!m1
>
>
>		x		y
>
<			+	b	!	n	1	= zm	;
> Ãa								1
>
>

>

:

60

ãäå m1 è n1 - постоянные, одновременно не равные нулю; а образующие

второго семейства уравнениями:
8	Ãa ¡ b!m2 = zn2;
>	x			y
>
>		x		y
>				b!
> Ãa						2	2
>
>
<			+			n	= m ;
>
:

ãäå m2 è n2 - постоянные, одновременно не равные нулю.

16.1 Найти проекцию на плоскость XOY линии пересечения эллипсоида

x162 + y42 + z2 = 1 и плоскости x + 4z ¡ 4 = 0. 16.2 Найти точки пересечения

1) поверхности

x2

+

y2

+

z2

= 1

16

12

4

x2

z2

2) поверхности

+ y2 ¡

= 1

4

9

ñпрямой

ñпрямой

x ¡ 4 = y + 6 = z + 2; 2 ¡3 ¡2

x ¡ 3 = y ¡ 1 = z ¡3 6:

16.3 Дан однополостный гиперболоид						x2	+	y2	¡	16z2 = 1. Найти уравнения
						25		36
линий его пересечения с плоскостями, параллельными координатным
плоскостям.
16.4 По эллипсу
	y2		z2
	8		+		= 1;
		b2		c2
	< x = 0
скользят две вершины	другого эллипса, который перемещается так, что
	:

плоскость его остается все время перпендикулярной к оси OY , à ñàì

он деформируется, сохраняя постоянное отношение осей c : a. Найти

уравнение поверхности, описанной вторым эллипсом.	2		2		z	2
16.5 Найти геометрическое место хорд поверхности	x	+ y		+			= 1,
	25
		16		9

проходящих через точку (2; 1; ¡1) и делящихся в этой точке пополам.

16.6			2		2
		Найти геометрическое место прямыõ, проходящих через точку
(5; 1; 2)			и пересекающих поверхность	x	+ y4 ¡z2 = 1 лишь в одной точке.
				9
162	.7	2
x5		Íайти геометрическое место касательных прямых к поверхности
	+ y3		¡ z2 = 1, образующих равные углы с осями координат.