ppmanual

Приложения

111

x	ϕ(x)	x	ϕ(x)	x	ϕ(x)	x	ϕ(x)	x	ϕ(x)
1.55	0.12001	1.96	0.05844	2.37	0.02406	2.78	0.00837	3.19	0.00246
1.56	0.11816	1.97	0.0573	2.38	0.02349	2.79	0.00814	3.2	0.00238
1.57	0.11632	1.98	0.05618	2.39	0.02294	2.8	0.00792	3.21	0.00231
1.58	0.1145	1.99	0.05508	2.4	0.02239	2.81	0.0077	3.22	0.00224
1.59	0.1127	2.	0.05399	2.41	0.02186	2.82	0.00748	3.23	0.00216
1.6	0.11092	2.01	0.05292	2.42	0.02134	2.83	0.00727	3.24	0.0021
1.61	0.10915	2.02	0.05186	2.43	0.02083	2.84	0.00707	3.25	0.00203
1.62	0.10741	2.03	0.05082	2.44	0.02033	2.85	0.00687	3.26	0.00196
1.63	0.10567	2.04	0.0498	2.45	0.01984	2.86	0.00668	3.27	0.0019
1.64	0.10396	2.05	0.04879	2.46	0.01936	2.87	0.00649	3.28	0.00184
1.65	0.10226	2.06	0.0478	2.47	0.01888	2.88	0.00631	3.29	0.00178
1.66	0.10059	2.07	0.04682	2.48	0.01842	2.89	0.00613	3.3	0.00172
1.67	0.09893	2.08	0.04586	2.49	0.01797	2.9	0.00595	3.31	0.00167
1.68	0.09728	2.09	0.04491	2.5	0.01753	2.91	0.00578	3.32	0.00161
1.69	0.09566	2.1	0.04398	2.51	0.01709	2.92	0.00562	3.33	0.00156
1.7	0.09405	2.11	0.04307	2.52	0.01667	2.93	0.00545	3.34	0.00151
1.71	0.09246	2.12	0.04217	2.53	0.01625	2.94	0.0053	3.35	0.00146
1.72	0.09089	2.13	0.04128	2.54	0.01585	2.95	0.00514	3.36	0.00141
1.73	0.08933	2.14	0.04041	2.55	0.01545	2.96	0.00499	3.37	0.00136
1.74	0.0878	2.15	0.03955	2.56	0.01506	2.97	0.00485	3.38	0.00132
1.75	0.08628	2.16	0.03871	2.57	0.01468	2.98	0.0047	3.39	0.00127
1.76	0.08478	2.17	0.03788	2.58	0.01431	2.99	0.00457	3.4	0.00123
1.77	0.08329	2.18	0.03706	2.59	0.01394	3.	0.00443	3.41	0.00119
1.78	0.08183	2.19	0.03626	2.6	0.01358	3.01	0.0043	3.42	0.00115
1.79	0.08038	2.2	0.03547	2.61	0.01323	3.02	0.00417	3.43	0.00111
1.8	0.07895	2.21	0.0347	2.62	0.01289	3.03	0.00405	3.44	0.00107
1.81	0.07754	2.22	0.03394	2.63	0.01256	3.04	0.00393	3.45	0.00104
1.82	0.07614	2.23	0.03319	2.64	0.01223	3.05	0.00381	3.46	0.001
1.83	0.07477	2.24	0.03246	2.65	0.01191	3.06	0.0037	3.47	0.00097
1.84	0.07341	2.25	0.03174	2.66	0.0116	3.07	0.00358	3.48	0.00094
1.85	0.07206	2.26	0.03103	2.67	0.0113	3.08	0.00348	3.49	0.0009
1.86	0.07074	2.27	0.03034	2.68	0.011	3.09	0.00337	3.5	0.00087
1.87	0.06943	2.28	0.02965	2.69	0.01071	3.1	0.00327	3.51	0.00084
1.88	0.06814	2.29	0.02898	2.7	0.01042	3.11	0.00317	3.52	0.00081
1.89	0.06687	2.3	0.02833	2.71	0.01014	3.12	0.00307	3.53	0.00079
1.9	0.06562	2.31	0.02768	2.72	0.00987	3.13	0.00298	3.54	0.00076
1.91	0.06438	2.32	0.02705	2.73	0.00961	3.14	0.00288	3.55	0.00073
1.92	0.06316	2.33	0.02643	2.74	0.00935	3.15	0.00279	3.56	0.00071
1.93	0.06195	2.34	0.02582	2.75	0.00909	3.16	0.00271	3.57	0.00068
1.94	0.06077	2.35	0.02522	2.76	0.00885	3.17	0.00262	3.58	0.00066
1.95	0.05959	2.36	0.02463	2.77	0.00861	3.18	0.00254	3.59	0.00063

Приложения

112

Приложение 2. Таблица значений функции

					1				x
									Z e−t		2	/2 dt
			Φ(x) =			√
							2π
								0
x	Φ(x)	x		Φ(x)		x		Φ(x)			x		Φ(x)	x	Φ(x)
0.	0.	0.31		0.12172	0.62			0.23237		0.93			0.32381	1.24	0.39251
0.01	0.00399	0.32		0.12552	0.63			0.23565		0.94			0.32639	1.25	0.39435
0.02	0.00798	0.33		0.1293	0.64			0.23891		0.95			0.32894	1.26	0.39617
0.03	0.01197	0.34		0.13307	0.65			0.24215		0.96			0.33147	1.27	0.39796
0.04	0.01595	0.35		0.13683	0.66			0.24537		0.97			0.33398	1.28	0.39973
0.05	0.01994	0.36		0.14058	0.67			0.24857		0.98			0.33646	1.29	0.40147
0.06	0.02392	0.37		0.14431	0.68			0.25175		0.99			0.33891	1.3	0.4032
0.07	0.0279	0.38		0.14803	0.69			0.2549			1.		0.34134	1.31	0.4049
0.08	0.03188	0.39		0.15173	0.7			0.25804		1.01			0.34375	1.32	0.40658
0.09	0.03586	0.4		0.15542	0.71			0.26115		1.02			0.34614	1.33	0.40824
0.1	0.03983	0.41		0.1591	0.72			0.26424		1.03			0.34849	1.34	0.40988
0.11	0.0438	0.42		0.16276	0.73			0.2673		1.04			0.35083	1.35	0.41149
0.12	0.04776	0.43		0.1664	0.74			0.27035		1.05			0.35314	1.36	0.41309
0.13	0.05172	0.44		0.17003	0.75			0.27337		1.06			0.35543	1.37	0.41466
0.14	0.05567	0.45		0.17364	0.76			0.27637		1.07			0.35769	1.38	0.41621
0.15	0.05962	0.46		0.17724	0.77			0.27935		1.08			0.35993	1.39	0.41774
0.16	0.06356	0.47		0.18082	0.78			0.2823		1.09			0.36214	1.4	0.41924
0.17	0.06749	0.48		0.18439	0.79			0.28524			1.1		0.36433	1.41	0.42073
0.18	0.07142	0.49		0.18793	0.8			0.28814		1.11			0.3665	1.42	0.4222
0.19	0.07535	0.5		0.19146	0.81			0.29103		1.12			0.36864	1.43	0.42364
0.2	0.07926	0.51		0.19497	0.82			0.29389		1.13			0.37076	1.44	0.42507
0.21	0.08317	0.52		0.19847	0.83			0.29673		1.14			0.37286	1.45	0.42647
0.22	0.08706	0.53		0.20194	0.84			0.29955		1.15			0.37493	1.46	0.42785
0.23	0.09095	0.54		0.2054	0.85			0.30234		1.16			0.37698	1.47	0.42922
0.24	0.09483	0.55		0.20884	0.86			0.30511		1.17			0.379	1.48	0.43056
0.25	0.09871	0.56		0.21226	0.87			0.30785		1.18			0.381	1.49	0.43189
0.26	0.10257	0.57		0.21566	0.88			0.31057		1.19			0.38298	1.5	0.43319
0.27	0.10642	0.58		0.21904	0.89			0.31327			1.2		0.38493	1.51	0.43448
0.28	0.11026	0.59		0.2224	0.9			0.31594		1.21			0.38686	1.52	0.43574
0.29	0.11409	0.6		0.22575	0.91			0.31859		1.22			0.38877	1.53	0.43699
0.3	0.11791	0.61		0.22907	0.92			0.32121		1.23			0.39065	1.54	0.43822

Приложения

113

x	Φ(x)	x	Φ(x)	x	Φ(x)	x	Φ(x)	x	Φ(x)
1.55	0.43943	1.76	0.4608	1.97	0.47558	2.36	0.49086	2.78	0.49728
1.56	0.44062	1.77	0.46164	1.98	0.47615	2.38	0.49134	2.8	0.49744
1.57	0.44179	1.78	0.46246	1.99	0.4767	2.4	0.4918	2.82	0.4976
1.58	0.44295	1.79	0.46327	2.	0.47725	2.42	0.49224	2.84	0.49774
1.59	0.44408	1.8	0.46407	2.02	0.47831	2.44	0.49266	2.86	0.49788
1.6	0.4452	1.81	0.46485	2.04	0.47932	2.46	0.49305	2.88	0.49801
1.61	0.4463	1.82	0.46562	2.06	0.4803	2.48	0.49343	2.9	0.49813
1.62	0.44738	1.83	0.46638	2.08	0.48124	2.5	0.49379	2.92	0.49825
1.63	0.44845	1.84	0.46712	2.1	0.48214	2.52	0.49413	2.94	0.49836
1.64	0.4495	1.85	0.46784	2.12	0.483	2.54	0.49446	2.96	0.49846
1.65	0.45053	1.86	0.46856	2.14	0.48382	2.56	0.49477	2.98	0.49856
1.66	0.45154	1.87	0.46926	2.16	0.48461	2.58	0.49506	3.	0.49865
1.67	0.45254	1.88	0.46995	2.18	0.48537	2.6	0.49534	3.2	0.49931
1.68	0.45352	1.89	0.47062	2.2	0.4861	2.62	0.4956	3.4	0.49966
1.69	0.45449	1.9	0.47128	2.22	0.48679	2.64	0.49585	3.6	0.49984
1.7	0.45543	1.91	0.47193	2.24	0.48745	2.66	0.49609	3.8	0.49993
1.71	0.45637	1.92	0.47257	2.26	0.48809	2.68	0.49632	4.	0.49997
1.72	0.45728	1.93	0.4732	2.28	0.4887	2.7	0.49653	4.5	0.5
1.73	0.45818	1.94	0.47381	2.3	0.48928	2.72	0.49674	5.	0.5
1.74	0.45907	1.95	0.47441	2.32	0.48983	2.74	0.49693	5.5	0.5
1.75	0.45994	1.96	0.475	2.34	0.49036	2.76	0.49711	6.	0.5

Приложения

114

Приложение 3. Критические точки распределения Стьюдента

Число	Доверительная					Число	Доверительная
степеней	вероятность β					степеней	вероятность β
свободы	0.95		0.99		0.999	свободы	0.95		0.99		0.999
n						n
1	12.7		63.7		637.	18	2.1		2.88		3.92
2	4.3		9.92		31.6	19	2.09		2.86		3.88
3	3.18		5.84		12.9	20	2.09		2.85		3.85
4	2.78		4.6		8.61	21	2.08		2.83		3.82
5	2.57		4.03		6.87	22	2.07		2.82		3.79
6	2.45		3.71		5.96	23	2.07		2.81		3.77
7	2.36		3.5		5.41	24	2.06		2.8		3.75
8	2.31		3.36		5.04	25	2.06		2.79		3.73
9	2.26		3.25		4.78	26	2.06		2.78		3.71
10	2.23		3.17		4.59	27	2.05		2.77		3.69
11	2.2		3.11		4.44	28	2.05		2.76		3.67
12	2.18		3.05		4.32	29	2.05		2.76		3.66
13	2.16		3.01		4.22	30	2.04		2.75		3.65
14	2.14		2.98		4.14	40	2.02		2.70		3.55
15	2.13		2.95		4.07	60	2.00		2.66		3.46
16	2.12		2.92		4.01	120	1.98		2.62		3.37
17	2.11		2.9		3.97	∞	1.96		2.58		3.29
	0.05		0.01		0.001		0.05		0.01		0.001
		Уровень						Уровень
	значимости 2α						значимости 2α

Приложения

115

Приложение 4. Критические точки распределения

χ2 Пирсона (Решение уравнения

Fχ2 (x) = 1 − α)

Число		Уровень значимости α
степеней
свободы	0.005	0.025	0.05	0.95	0.975	0.995
n
1	7.88	5.02	3.84	0.0039	0.001	0.0000
2	10.6	7.38	5.99	0.1026	0.0506	0.01
3	12.84	9.35	7.81	0.3518	0.2158	0.0717
4	14.86	11.14	9.49	0.7107	0.4844	0.207
5	16.75	12.83	11.07	1.1455	0.8312	0.4117
6	18.55	14.45	12.59	1.6354	1.2373	0.6757
7	20.28	16.01	14.07	2.17	1.69	0.99
8	21.95	17.53	15.51	2.73	2.18	1.34
9	23.59	19.02	16.92	3.33	2.7	1.73
10	25.19	20.48	18.31	3.94	3.25	2.16
11	26.76	21.92	19.68	4.57	3.82	2.6
12	28.3	23.34	21.03	5.23	4.4	3.07
13	29.82	24.74	22.36	5.89	5.01	3.57
14	31.32	26.12	23.68	6.57	5.63	4.07
15	32.8	27.49	25.	7.26	6.26	4.6
16	34.27	28.85	26.3	7.96	6.91	5.14
17	35.72	30.19	27.59	8.67	7.56	5.7
18	37.16	31.53	28.87	9.39	8.23	6.26
19	38.58	32.85	30.14	10.12	8.91	6.84
20	40.	34.17	31.41	10.85	9.59	7.43
21	41.4	35.48	32.67	11.59	10.28	8.03
22	42.8	36.78	33.92	12.34	10.98	8.64
23	44.18	38.08	35.17	13.09	11.69	9.26
24	45.56	39.36	36.42	13.85	12.4	9.89
25	46.93	40.65	37.65	14.61	13.12	10.52
29	52.34	45.72	42.56	17.71	16.05	13.12
30	53.67	46.98	43.77	18.49	16.79	13.79
39	65.48	58.12	54.57	25.7	23.65	20.
40	66.77	59.34	55.76	26.51	24.43	20.71
49	78.23	70.22	66.34	33.93	31.55	27.25
50	79.49	71.42	67.5	34.76	32.36	27.99
59	90.72	82.12	77.93	42.34	39.66	34.77
60	91.95	83.3	79.08	43.19	40.48	35.53
99	139.	128.4	123.2	77.05	73.36	66.51
100	140.2	129.6	124.3	77.93	74.22	67.33

Уровень значимости 2α = 0.005

H	k1
HH		5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
k2	HH
	H
5		14.9	14.5	14.2	14.	13.8	13.6	13.5	13.4	13.3	13.2	13.1	13.1	13.	13.	12.9	12.9
6		11.5	11.1	10.8	10.6	10.4	10.3	10.1	10.	9.95	9.88	9.81	9.76	9.71	9.66	9.62	9.59
7		9.52	9.16	8.89	8.68	8.51	8.38	8.27	8.18	8.1	8.03	7.97	7.91	7.87	7.83	7.79	7.75
8		8.3	7.95	7.69	7.5	7.34	7.21	7.1	7.01	6.94	6.87	6.81	6.76	6.72	6.68	6.64	6.61
9		7.47	7.13	6.88	6.69	6.54	6.42	6.31	6.23	6.15	6.09	6.03	5.98	5.94	5.9	5.86	5.83
10		6.87	6.54	6.3	6.12	5.97	5.85	5.75	5.66	5.59	5.53	5.47	5.42	5.38	5.34	5.31	5.27
11		6.42	6.1	5.86	5.68	5.54	5.42	5.32	5.24	5.16	5.1	5.05	5.	4.96	4.92	4.89	4.86
12		6.07	5.76	5.52	5.35	5.2	5.09	4.99	4.91	4.84	4.77	4.72	4.67	4.63	4.59	4.56	4.53
13		5.79	5.48	5.25	5.08	4.94	4.82	4.72	4.64	4.57	4.51	4.46	4.41	4.37	4.33	4.3	4.27
14		5.56	5.26	5.03	4.86	4.72	4.6	4.51	4.43	4.36	4.3	4.25	4.2	4.16	4.12	4.09	4.06
15		5.37	5.07	4.85	4.67	4.54	4.42	4.33	4.25	4.18	4.12	4.07	4.02	3.98	3.95	3.91	3.88
16		5.21	4.91	4.69	4.52	4.38	4.27	4.18	4.1	4.03	3.97	3.92	3.87	3.83	3.8	3.76	3.73
17		5.07	4.78	4.56	4.39	4.25	4.14	4.05	3.97	3.9	3.84	3.79	3.75	3.71	3.67	3.64	3.61
18		4.96	4.66	4.44	4.28	4.14	4.03	3.94	3.86	3.79	3.73	3.68	3.64	3.6	3.56	3.53	3.5
19		4.85	4.56	4.34	4.18	4.04	3.93	3.84	3.76	3.7	3.64	3.59	3.54	3.5	3.46	3.43	3.4
20		4.76	4.47	4.26	4.09	3.96	3.85	3.76	3.68	3.61	3.55	3.5	3.46	3.42	3.38	3.35	3.32

Снедекора-Фишера

распределения точки Критические .5 Приложение

Приложения

116

Приложения

Уровень значимости 2α = 0.05

HHH	k1	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
k2	HH
	H
5		5.05	4.95	4.88	4.82	4.77	4.74	4.7	4.68	4.66	4.64	4.62	4.6	4.59	4.58	4.57	4.56
6		4.39	4.28	4.21	4.15	4.1	4.06	4.03	4.	3.98	3.96	3.94	3.92	3.91	3.9	3.88	3.87
7		3.97	3.87	3.79	3.73	3.68	3.64	3.6	3.57	3.55	3.53	3.51	3.49	3.48	3.47	3.46	3.44
8		3.69	3.58	3.5	3.44	3.39	3.35	3.31	3.28	3.26	3.24	3.22	3.2	3.19	3.17	3.16	3.15
9		3.48	3.37	3.29	3.23	3.18	3.14	3.1	3.07	3.05	3.03	3.01	2.99	2.97	2.96	2.95	2.94
10		3.33	3.22	3.14	3.07	3.02	2.98	2.94	2.91	2.89	2.86	2.85	2.83	2.81	2.8	2.79	2.77
11		3.2	3.09	3.01	2.95	2.9	2.85	2.82	2.79	2.76	2.74	2.72	2.7	2.69	2.67	2.66	2.65
12		3.11	3.	2.91	2.85	2.8	2.75	2.72	2.69	2.66	2.64	2.62	2.6	2.58	2.57	2.56	2.54
13		3.03	2.92	2.83	2.77	2.71	2.67	2.63	2.6	2.58	2.55	2.53	2.51	2.5	2.48	2.47	2.46
14		2.96	2.85	2.76	2.7	2.65	2.6	2.57	2.53	2.51	2.48	2.46	2.44	2.43	2.41	2.4	2.39
15		2.9	2.79	2.71	2.64	2.59	2.54	2.51	2.48	2.45	2.42	2.4	2.38	2.37	2.35	2.34	2.33
16		2.85	2.74	2.66	2.59	2.54	2.49	2.46	2.42	2.4	2.37	2.35	2.33	2.32	2.3	2.29	2.28
17		2.81	2.7	2.61	2.55	2.49	2.45	2.41	2.38	2.35	2.33	2.31	2.29	2.27	2.26	2.24	2.23
18		2.77	2.66	2.58	2.51	2.46	2.41	2.37	2.34	2.31	2.29	2.27	2.25	2.23	2.22	2.2	2.19
19		2.74	2.63	2.54	2.48	2.42	2.38	2.34	2.31	2.28	2.26	2.23	2.21	2.2	2.18	2.17	2.16
20		2.71	2.6	2.51	2.45	2.39	2.35	2.31	2.28	2.25	2.22	2.2	2.18	2.17	2.15	2.14	2.12

117

Литература

[1]М. Холл. Комбинаторика. М.: Мир, 1970.

[2]Н. Я. Виленкин. Комбинаторика. М.: Наука, 1969.

[3]Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. Теория вероятностей. М.: Наука, 1973.

[4]В. Е. Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1979.

[5]В. П. Чистяков. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982.

[6]Сборник задач по математике для вузов. Специальные курсы. / Под ред. А. В. Ефимова. М.: Наука, 1984.

[7]Н. Я. Сотникова. Первоапрельский задачник по теории вероятностей для студентов-нематематиков. http://www.astro.spbu.ru

[8]Н. Я. Виленкин, В. Г. Потапов. Задачник-практикум по теории вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики. М.: Просвещение, 1979.

[9]А. А. Боровиков. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.

Оглавление

Предисловие		3
Теория вероятностей		4
§ 1.	События . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	4
§ 2.	Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	8
§ 3.	Определения вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . .	13
§ 4.	Основные теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	20
§ 5.	Формула Байеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	25
§ 6.	Последовательности испытаний . . . . . . . . . . . . . . .	28
§ 7.	Случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	32
§ 8.	Числовые характеристики случайных величин . . . . . . .	41
§ 9.	Система двух случайных величин . . . . . . . . . . . . . .	50
§ 10.	Характеристические функции . . . . . . . . . . . . . . . .	58
§ 11.	Предельные теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	61

Математическая статистика	66
§ 12. Выборочные распределения . . . . . . . . . . . . . . . . .	66

§13. Интервальные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

§14. Статистическая проверка гипотез . . . . . . . . . . . . . . 81

Указания и ответы	92
Приложения	110
Литература	118

Попов Владимир Александрович Бренерман Марк Хаимович

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

Подписано в печать 30.11.08. Форм. 60×84 1/16. Гарнитура «Литературная». Печать офсетная. Печ. л. 7,5. Тираж 100 экз. Заказ 336.

Лаборатория оперативной полиграфии КГУ 420045, Казань, ул. Кр. Позиция, 2а

Тел. [phone]